浅谈圆锥曲线在高考及竞赛中的地位与作用-数学及应用数学毕业论文.doc

专业代码：XXXXXX学号：XXXXXXXX0X X X X 大 学（本 科）毕 业 论 文题 目：浅谈圆锥曲线在高考及竞赛中的地位与作用 学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级：YYYY级姓 名： ZZZZ指导教师：XXXX（讲师）完成时间：2010年 月 日 浅谈圆锥曲线在高考及竞赛中的地位与作用 XXX摘要：本论文主要从高考解析几何及竞赛试题中圆锥曲线的定义、几何性质、直线和圆锥曲线的位置关系这三个方面进行了探究。其中定义的探究主要是揭示圆锥曲线的本质特征，几何性质的探究主要从方程的角度，将代数语言转化为几何语言去理解圆锥曲线的几何性质，其目的在于说明圆锥曲线在中学数学中的地位与作用。关键词：圆锥曲线;椭圆；双曲线；抛物线;准线方程；焦点弦；离心率Abstract：This thesis is mainly the definition of the curve of taper from analytic geometry of college entrance examination and examination question of the contest, geometirc property, straight line, taper position relation 3 these of curve probe into. Define it probes into to be to announce taper essential characteristic of curve mainly among them, to probe into, in terms of equation, turn algebra language into geometirc language go, understand the geometirc properties of curve of taper mainly geometirc property. its purpose lies in explaining taper curve position and function in mathematics of middle school.Keyword：Curve of taper; Oval; Hyperbola; Parabola; Directrix equation; Focus string; At odds with the community or the leadership rate引言 圆锥曲线在生活或生产中被广泛应用。是一种常见的曲线，主要是椭圆、双曲线、抛物线，比如倾斜着的圆柱形水杯的水面的边界线，电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线方程，如果在增设一个观测点还可以确定爆炸点的准确位置，这是双曲线的一个重要应用；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。1. 圆锥曲线的定义及标准方程1.1. 椭圆的定义及标准方程（1） 椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.（2） 椭圆的第二定义;平面内点M(,)与一个定点F（c，0）的距离和它到定直线：x=的距离比试常数e=(ac0)的点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.（3） 椭圆的标准方程：焦点在x轴上： (ab0)焦点 (-c,0)、（c，0）；焦点在y轴上:（ab0）焦点是（0，-c）、(0,c)1.2. 双曲线的定义及标准方程（1） 双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距.（2） 双曲线的第二定义：平面内点M(,)与一个定点F（c，0）的距离和它到定直线：x=的距离比试常数e= (ca0)的点M的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.（3） 双曲线的标准方程：焦点在x轴上：（a0，b0）焦点（-c，0）、（c，0）；焦点在y轴上：（a0，b0）焦点（0，-c）、（0， c）.1.3. 抛物线的定义及标准方程（1） 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点.直线叫做抛物线的准线.（2） 抛物线的标准方程：焦点在x轴上=2px(p0)、F(，0)、x=-或=-2px（p0）、F(-，0)、x=.焦点在y轴上=2py（p0）F(0，)、y=-或=-2py（p0）、F(0，-)、y=.2. 圆锥曲线的发展背景解析几何的产生：(主要是圆锥曲线)十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 3. 圆锥曲线的意义：圆锥曲线的研究方面，高度综合了二次方程，二次不等式和二次函数等的有关知识，将繁杂的问题简单化，使问题轻松易快的得以解决，通过学习解析几何知识，由于解析几何在研究数学及其他自然科学时所具有的方法论意义上的重要性；同时对解决生活中的实际问题具有深远意义。3.1. 应用“圆锥曲线”思想方法，培养学生对数学知识的记忆能力 对圆锥曲线的“相伴”性质的探索中，通过对圆的相关性质与椭圆联系起来，仿照圆性质的相似性对椭圆的探索，定性分析任意离心率相等的圆锥曲线相似，如任意抛物线相似，任意圆相似等，按相似曲线的变换法定义猜测其圆锥曲线的相伴性，同时对一些其他的相似性质：正向变式（变更命题的结论，可以是纵向也可以是横向）、逆向变式（即逆命题）、类比引申或拓展，通过对问题的反思、回顾、总结、概括与提炼，构建自己的知识体系，整理出一类通用模型，从而培养学生对数学知识的记忆能力3.2. 应用“圆锥曲线”思想方法，激发学生的学习兴趣 兴趣是最好的老师，在圆锥曲线的学习过程中，繁杂问题比较多，因此主要是将代数语言转化为几何语言，（无理不等式解方程、无理函数求最值、定点与动点求轨迹方程、焦点弦的长度、图形面积等的求法）与圆锥曲线的联系十分密切，解析几何开创了形与数的对应结合的研究方法，要在教学中渗透数形结合思想，要让学生重视数形互助，培养代数结果与几何意义互相转化的能力，让学生体会如何借助于坐标系用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想。使问题直观、清晰、易懂、易行，这样不仅激发学生的学习兴趣，还能够达到事半功倍的效果。3.3. 应用“圆锥曲线”思想方法，提高学生的理解能力和创新思维能力。 由于在圆锥曲线的研究方面，高度综合了二次方程，二次不等式和二次函数的有关知识。因而在解析几何教学中，特别是在解题过程中，当采用常规方法走不通或较繁时，如果引导学生采用一种易“变通”的方式，将一种语言“等价转化”为另一种语言，来刻画和展示命题的本质含义，就会找到更加巧妙的解题途径，从而提高学生的理解能力和创新思维能力。3.4. 应用“圆锥曲线”思想方法，培养学生的数学素质一个学生不仅要在学习成绩上好，更重要的是在学科中具有良好知识的素质，因此教师在教学中药加强这方面的培养，尤其在复杂的圆锥曲线中更应注重这样的教学，巧妙的构思，化“数”成“形”的思想直观、清晰、易行，故我们在解题中要充分运用这种数学思想方法，培养学生的数学素质是抽象问题具体化，这对解题能力、逻辑思维的提高有很大的帮助。4. 中学数学中的圆锥曲线所涉及的问题 在中学数学中圆锥曲线所涉及的问题十分的广泛：主要研究的是椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程、焦点坐标位置、准线方程位置、离心率的变化、焦点弦长的变化、直线与圆锥曲线的交点关系及直线斜率的变化情况、（相交、相切、相离）、过焦点弦的三角形或四边形的周长面积的求及角度的变化求解问题、过焦点的一些定理的探讨与研究。5. 圆锥曲线思想方法的地位与作用5.1. 圆锥曲线在函数中的地位与作用5.1.1构造圆锥曲线解无理函数最值问题 （1）构造椭圆和抛物线求最值 例 求函数f（x）=6x-的最大值和最小值.（2000年河北省高中数学竞赛试题） 解析：令f（x）=t，则有6x-t=，令C1：y=6x-t，C2：y=，故y0，将C2两边平方后，化简整理得 +y2=1,如图所示，C1表示对称轴为x=3，开口向上的抛物线；C2表示椭圆在x轴上方的图像，且C1与C2有公共点。 当C1过点（3，2）时t=-11；当C1过点（3，0）和（3+，0）时，t=-7.所以函数的最大值为-7，最小值为-11. （2）构造双曲线求最值例 求函数f(x)=的最大值和最小值（第14届2003年“希望杯”高二）分析：令m=，n=（m0，n=0），则m+n= f(x)=y即;n=-m+y,2m2 n2=2,建立mOn坐标系，则原题转化为直线n=m+y与双曲线2m2 n2=2在第一象限（含坐标轴）内有公共点时，直线在n轴上的截距.如图，根据数形结合，不难看出y只有最小值，而无最大值，当直线过（1，0）时，y的最小值为y=1故f(x)=的最小值为1 从以上几个例题中，此类问题题型新颖，构思巧妙，具有极强的探索性和开放性，其目的在于考查学生的想象能力和创造能力，解决这类问题，重在对图形的观察、审视，并利用形象思维产生创意，总言之，构造圆锥曲线解决无理函数最值问题的关键在于：按照题设条件，正确选择构造方法，其方法具有较强的灵活性和创造性，是因为在解决过程中往往可以找到结论和条件的逻辑通道，使问题简洁明快地获得解决，运用这些方法加以引申、拓展能够解决更多的难题，这一专题的内容进行探讨研究，其最终目的在于说明圆锥曲线在高考及竞赛中的重要地位与作用，故值得重视。5.2. 圆锥曲线在三角形中的地位与作用 5.2.1过圆锥曲线焦点弦的三角形的面积 例（08年宁夏）经过椭圆的又焦点F作斜率为2的直线交椭圆与A，B两点，O是坐标原点，求OAB的面积S 分析：因为a=，b=2，c=1，e=，ep=（p为焦点F到相应准线的距离）F（1，0），k=2，则AB方程y=2（x1），代入椭圆整理得（1+k2e2）x22pe2xe2p2=0由弦长公式知易得AB=，原点（0，0）到直线AB方程y=2（x1）的距离d=，所以OAB的面积S=ABd,代入数据化简得S=. 经过圆锥曲线焦点被圆锥曲线截得的线段叫做焦点弦，是一个重要的几何量，是各类考试的重点和热点，常考不衰，角度长变，可谓考试中的常青树，和三角形、四边形在高考中的联系十分的密切，根据不同的性质千变万化，因此在高考中有重要的地位和作用。5.3. 圆锥曲线在直线与圆中的地位与作用直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.例：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.案例探究例：如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法“韦达定理法”.知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0.由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S=2(5+m),从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号. 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8.5.4. 圆锥曲线在数列中的地位与作用 圆锥曲线在数列中的应用十分的广范，最为多的是和圆锥曲线的焦点弦截得的线段长或与准线长的关系成等差或等比，常常正面解法比较困难，很难有成功的把握，因此转换思路，从结论的反面入手，妙用定义或一些相似性质，借助补集的思想或反正法加以求解和论证，通过这样使得两者结合紧密，圆锥曲线在数列中占据重要地位与作用。5.5.圆锥曲线在向量中的地位与作用例:(2005年全国卷理21文22)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与共线。（I）：设M为椭圆上任意一点，且,证明：为定值。 解：（I）证明：由题目可得，所以椭圆可化为.在椭圆上，即 由（I）知又又，代入得 故为定值，定值为1.向量是数学中的重要概念之一，由于它具有几何和代数的双重身份，同时圆锥曲线也有相似的性质，都成为中学数学知识的一个交汇点，都成为联系各种知识的媒体，两者之间独具匠心，向量客串与圆锥曲线，使得内容更为丰富，同时更能体现圆锥曲线在向量中的地位与作用。5.6.圆锥曲线在不等式中的地位与作用 例：解不等式 解析：不等式可化为，这时化静为动，得到一个平面区域.这是一个a=5，c=3的椭圆内部区域 (代数语言划归为几何语言)，再以动制静，令y=2，则有，可得原不等式的解为. 显然该不等式以代数形式给出，但却有明显的几何意义，将代数语言转化为几何语言可使问题变得直观，易于解决，达到事半功倍的效果，在圆锥曲线中有重要的地位和作用6. 综述解析几何是高中数学新课程所必须的内容之一。新教材中的内容能很好地培养和发展学生的空间想象逻辑推理。教材中这一专题的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。运用空间思维和一般思维的比较，使很多复杂问题简单化，从而使问题得到解决。解析几何在竞赛及高考中的地位与作用是很重要的一部分 , 它的应用是非常广泛的，主要是通过对题目的分析，注意题目中各个已知条件所体现的几何意义 , 将代数问题转化为平面几何、立体几何以及解析几何中的问题来解决，将解析几何与数形结合思想的实质联系起来，这样两者具有优越性。当然这要求我们平时要注意总结一些常用的图象、图形和它们的表示，从而在具体的题目中得到应用，实现代数与几何的相互转化，进一步提高解题的能力。在平日的教学和学习中，要紧紧抓代数与几何转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的空间思维逻辑思维的能力。 参考文献：1 徐有标，刘治平.用数学思想方法速解高考题M.北京：中国青年出版社，2009. 2 丘维声, 解析几何, 北京：北京大学出版社，1988.3 耿秉辉.应用图形分析法解数学题M.上海：上海科技教育出版社, 1991.4 曲一线.高中习题化知识清单数学M.北京：首都师范大学出版社,2009年4月第五版.5 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论M.北京：高等教育出版社 2004.6 刘培杰.新编中学数学解题方法全书（高中版下卷二）M.黑龙江： 哈尔滨工业大学出版社 ,2007.7 蔡晔.高考奥数全程对接（高中数学3第五版）M.北京：机械工业出版设 ,2008.8 吕凤祥.中学数学解题方法M.黑龙江： 哈尔滨工业大学出版社 , 2003.9 李世杰.高中数学联赛一试知识与方法M.浙江： 浙江大学出版社 ,2008.10 朱鼎勋，陈绍菱, 空间解析几何, 北京：北京师范大学出版社，,1984.11周沛耕.高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全M.山西：山西教育出版社, 2008.12 吕林根, 许子道等编， 解析几何(第三版)，北京：高等教育出版社, 2001.13 杨文茂，李金英, 空间解析几何(修订版),武汉：武汉大学出版社，2003.14 王敬庚，傅若男, 空间解析几何, 北京：北京师范大学出版社，2003.