高二数学空间向量导学案.doc

高二数学 导学案授课教师姚智鑫授课对象徐梓莹授课时间2013.02.03授课题目空间向量与立体几何课型复习使用课时4课时教学目标1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。4、理解直线的方向向量与平面的法向量。5、能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。6、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。教学重点和难点空间向量及其运算，空间向量的应用。参考教材高中数学1、空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作，则2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使5、平行于同一个平面的向量称为共面向量6、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则7、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：8、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作9、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为10、等于的长度与在的方向上的投影的乘积11、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；12、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得13、若三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底14、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标15、设，则 若、为非零向量，则若，则，则16、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点17、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置18、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量19、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，20、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，21、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，22、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有23、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有24、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则25、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算26、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为27、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接：1空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例1：（2010安徽高考理科18）如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】AEFBCDHGXYZ(1)(2)(3) 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接：1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线的方向向量，是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。例2：（2010辽宁高考理科19）已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，计算的数量积，写出答案；求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】设PA1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0)（I）【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。 （2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。 （3）线面角的范围是090，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。要点考向3：利用空间向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等， 例3：（2010天津高考理科9）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,求异面直线与所成角的余弦值；证明平面求二面角的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设,依题意得,易得,，于是，所以异面直线与所成角的余弦值为。证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为课后作业：一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为( )(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)903. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ） A B C2 D34. 在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为（ ）A B C D5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）ABCD6. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题（每小题6分，共18分）7，是空间交于同一点的互相垂直的三条直线，点到这三条直线的距离分别为,，则,则_ _。8平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1两两之间夹角均为600，则= 9将正方形沿对角线折成直二面角后，有下列四个结论：（1）； （2）是等边三角形；（3）与平面成60 ；（4）与所成的角为60其中正确结论的序号为_（填上所有正确结论的序号）三、解答题（共46分）10. 如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为 2的菱形，BAD=60，对角线AC与BD相交于点O，,E、F分别是BC、AP的中点 （1）求证：EF平面PCD； （2）求二面角ABPD的余弦值 11. 某组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，如图所示，其中，它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为+1，+1（1）求直线与平面所成角的正弦；（2）在线段上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由教师评定：学生上次作业评价： 好 较好 一般 差学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差教务主任签字：