小学五年级奥数三角形的中位线专题分析.doc

在认识三角形的时候，同学们都学过一个概念，叫做三角形的中位线，同学们都会认为这是一非常简单的概念，如果我们对这个概念加深一点认识，就可以看到它是多么的有用。 所谓三角形的中位线，其实就是三角形两条边中点的连线，如图1：图中线段DE就是三角形ABC的一条中位线。关于三角形的中位线有几条重要的结论：1三角形ABC的中位线DE与底边BC平行，并且它的长度是底边长下面我们把三角形中位线的概念稍微推广一这时我们可以得到类似的结论：这几条结论的正确性留给同学们自己思考，下面我们要应用这些结论解决问题。问题1 如图2，在三角形ABC中，D、E是AB边上的三等分点，角形ABC的面积是1，求这四个部分的面积。连接GF如图3，根据前面的结论可以知道：再连接DF和EG，得到梯形DEGF，如图4：在梯形DEGF中，如果设三角形DOE的面积为1，则不难分析出三角形EOG和DOF的面积为2，三角形GOF的面积为4。（参见中小学数学（小学版）1999年第10期“已知整体求局部”），所以三角形BEG和三角形ADF的面积为3。从而三角形DOE的面积为：四边形ADOF和EOGB的面积都为：四边形CFOG的面积为：至此四个部分的面积都求出来了。问题2 把面积为1的三角形ABC的三边三等分，使其构成如图5所示的两个三角形D1E1F1和D2E2F2。求这两个三角形的交点所形成的六边形O1O2O3O4O5O6的面积。用与上题同样的方法，可以得到图中三角形D1D2O2、E1E2O4和F1F2O6 在梯形D1D2F1F2中，下底长度是上底长度的2倍，用本刊1999年第10期“已知整体求局部”一文的方法不难求出三角形 用完全一样的方法可以求出其他5个类似于三角形D1O2O1的图形的面本题的解法貌似复杂，其实它的基本思路就是整体减去部分，所用工具就是三角形中位线的若干性质。模仿以上问题解决的思路，我们还可以解决下面的问题。问题 已知一个长方形ABCD的面积为1，将它的四条边分别三等分，将这些等分点如图7连接，求中间八边形O1O2O3O4O5O6O7O8的面积。首先不难发现，中间八边形的外围出现了如下三种图形：第一种：四个类似于AE1O1F4的四边形；第二种：八个类似于E1O1O2的三角形；第三种：四个类似于E1F1O2的三角形。如果能把这三种图形的面积分别求出来，本题也就迎刃而解了。先把图形简化成如图8形式：连接F4E1和E4F1，如图9：在三角形AF1E4中，线段F4E1就是底边E4F1上的中位线，用前边同样的梯形E1F1E4F4的面积是：三角形E1O1F4的面积是：现在我们已经求出四边形AE1O1E4的面积为：求出第二和第三种三角形的面积，我们画出如图10的简化图形：不难求出这个梯形的面积为：由于下底F4E2长度是上底E1F1长度的3倍，所以三角形E1F1O2的面积为：三角形E1O1O2的面积为：综合以上结论我们可以得到本题答案为：