初三数学二次函数知识点总结及经典习题

1 二次函数 知识点总结 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 这2yaxbc a何0a 里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而 可以为零 二次函数的定义域是0 bc何 全体实数 2 二次函数 的结构特征 2yaxbc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 bc何 bc 二 二次函数的图像和性质 表达式 a 0 a 值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐 标 增减性 最值 a 0 向上 y 轴 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 有最小值 即 0最 小 值 y ax 2 a 0 向下 y 轴 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 有最大值 即 0最 大 值 a 0 向上 y 轴 0 k 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 有最小值 即 k最 小 值 y ax 2 k a 0 向下 y 轴 0 k 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 有最大值 即 k最 大 值 a 0 向上 直线 x h h 0 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x h 时 y 有最小值 即 0最 小 值 y a x h 2 a 0 向下 直线 x h h 0 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 有最大值 即 0最 大 值 y a x h 2 k a 0 向上 直线 x h h k 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 x h 时 y 有最小值 即 k最 小 值 2 a 0 向下 直线 x h h k 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 有最大值 即 k最 大 值 a 0 向上 直线 x ab2 ab2c4 当 x 时 yab2 随 x 的增大而增大 当 x 时 yab2 随 x 的增大而减小 当 x 时 ab2 y 有最小值 最 小 值abc42 y ax2 bx c 可化为 y a x 2ab 2 c4 a 0 向下 直线 x ab2 ab2c4 当 x 时 yab2 随 x 的增大而减小 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 时 y 有最大值 即 y 最大值 abc42 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2yaxhk hk何 保持抛物线 的形状不变 将其顶点平移到 处 具体平移方法如下 2yax 何 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 自变量 上加下减 常数项 温馨提示 二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移 因此只要掌握了顶点是如何平移的 就掌握了 二次函数图像间的平移 四 二次函数 与 的比较 2yaxhk 2yaxbc 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得 3 到前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 何 五 二次函数解析式的三种表示方法 名称 解析式 使用范围 一般式 0 2 acbxy 已知任意三个点 顶点式 kha已知顶点 h k 及另一点 交点式 21已知与 x 轴的两个交点及另一个点 温馨提示 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式x240bac 的这三种形式可以互化 将顶点式 交点式去括号 合并同类项就可转化为一般式 把一般式配方 因式分解就可转化为顶点式 交点式 六 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 a 决定抛物线开口的大小 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 a 的值越小 开口越大 0 当 时 抛物线开口向下 的值越大 开口越大 的值越大 开口越大 a 注 a 越大 抛物线的开口越小 a 越小 抛物线开口越大 抛物线的形状相同 即 a 相同 2 一次项系数 由 a 和对称轴共同决定 b 对称轴在 y 轴的左侧 a b 同号 对称轴在 y 轴的右侧 a b 异号 左同右异 b 为 0 时 对称轴为 y 轴 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 xy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 0 y 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 c 七 二次函数图象 抛物线 与 x 轴交点情况的判断 y ax 2 bx c a 0 a b c 都是常数 1 b 4ac 0 抛物线与 x 轴有两个交点 2 b 4ac 0 抛物线与 x 轴有一个交点 3 b 4ac 0 抛物线与 x 轴没有交点 当 时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 a x0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 x 八 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的解之间的关系 1 二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2 bx c 0 的解 因此利用 二次函数图象可求以 x 为未知数的一元二次方程 ax2 bx c 0 的解 从图象上进行判断 2 二次函数 y ax 2 bx c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax2 bx c 0 的解 在 x 轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax2 bx c 0 的解 4 九 二次函数的应用 二次函数应用 何 二次函数抛物线简单的图形变换 1 顶点式 a 0 khxy 2 名称 a 顶点 h k 平移 a h k 左加右减 上加下减 关于 x 轴对称 a h k 关于 y 轴对称 a h k 对 称 关于原点对称 a h k 旋转 绕顶点旋转 180 a h k 2 一般式 a 0 cbxy 2 平移 如将二次函数 向右平移 m m 0 个单位 再向下平移 n n 0 个单位 得到 cbmaxxncmxa 222 对称 名称 a b c 的变化 解析式变化 关于 x 轴对称 a a b b c c y ax bx c y ax bx c 关于 y 轴对称 a 不变 b b c 不 变 y ax bx c y ax bx c 关于原点对称 a a b 不变 c c y ax bx c y ax bx c 注 无论是平移 轴对称还是旋转 最好先把二次函数化成顶点式 然后再根据需要进行求解 5 二次函数对应练习试题 一 选择题 1 二次函数 的顶点坐标是 247yx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线 向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 A B C D 1 yx1yx 21yx 3 函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的 2ykx 0k 4 已知二次函数 的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 2 0 yaxbc 当 和 时 函数值相等 当 时 的值只能取 0 其中正1x34a 2y x 确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数 的顶点坐标 1 3 2 及部分2 图象 如图 由图象可知关于 的一元二次方程 的两个根x20 xbc 分别是 A 1 3 B 2 3 C 0 3 D 3 312 3x 和 6 已知二次函数 的图象如图所示 则点 在 yabc a A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程 的正根的个数为 2x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与 轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为y A B 2y 2x C 或 D 或x 2yx 2yx 二 填空题 9 二次函数 的对称轴是 则 23bxb 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 x 0 时 函数值 y 随自变量 x 的增大而 增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线 的顶点为 C 已知直线 过点 C 则这条直线与两坐标轴所围2 6yx 3yk 成的三角形面积为 13 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位 再向下平移 2412xbc 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米 的地方 桥的高度是 取 3 14 6 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与 轴的交点为 0 30 x y52 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值 随 x 的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 0 t 2 201hvtg 其中重力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 17 如图 抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交2yxbc 3yx 点 A B 此抛物线与 轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 PAPS D 的坐标 3 点 M 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 一 点 写 出 使 点 M A B D 为 平 行 四 边 形 的 点 M 的 坐 标 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物 售 出 后 再 进 行 结 算 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 月 销 售 量 为 45 吨 该建材店为提高 经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量 就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每 吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 19 某商场试销一种成本为 60 元 件的 T 恤 规定试销期间单价不低于成本单价 又获利不 得高于 40 经试销发现 销售量 y 件 与销售单价 x 元 件 符合一次函数 y kx b 且 x 70 时 y 50 x 80 时 y 40 1 求出一次函数 y kx b 的解析式 2 若该商场获得利润为 w 元 试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式 销售单价定为 多少时 商场可获得最大利润 最大利润是多少 二次函数应用题训练 1 心理学家发现 学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x 分 之间满足函数 关系 y 0 1x2 2 6x 43 0 x 30 第 15 题图 7 1 当 x 在什么范围内时 学生的接受能力逐步增强 当 x 在什么范围内时 学生的接受 能力逐步减弱 2 第 10 分钟时 学生的接受能力是多少 3 第几分钟时 学生的接受能力最强 2 如图 已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料 其中 AB AC 20cm BC 24cm 若在 ABC 上截出 一矩形零件 DEFG 使 EF 在 BC 上 点 D G 分别在边 AB AC 上 问矩形 DEFG 的最大面积是多 少 FEB GD C A 3 已知锐角 ABC 中 边 BC 长为 12 高 AD 长为 8 1 如图 矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上 其余两个顶点 E F 分别在 AB AC 边上 EF 交 AD 于点 K 求 的值AK 设 EH x 矩形 EFGH 的面积为 S 求 S 与 x 的函数关系式 并求 S 的最大值 2 若 ABAC 正方形 PQMN 的两个顶点在 ABC 一边上 另两个顶点分别在 ABC 的另两边上 直接 写出正方形 PQMN 的边长 4 如图 ABC 中 B 90 AB 6cm BC 12cm 点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动 点 Q 从点 B 开始 沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动 如果 P Q 同时出发 问经过几秒钟 PBQ 的面 积最大 最大面积是多少 8 B Q C PA 5 如图 隧道的截面由抛物线 AED 和矩形 ABCD 构成 矩形的长 BC 为 8m 宽 AB 为 2m 以 BC 所在的直线 为 x 轴 线段 BC 的中垂线为 y 轴 建立平面直角坐标系 y 轴是抛物线的对称轴 顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6m 1 求抛物线的解析式 2 一辆货运卡车高 4 5m 宽 2 4m 它能通过该隧道吗 3 如果该隧道内设双行道 为了安全起见 在隧道正中间设有 0 4m 的隔离带 则该辆货运卡车还能通 过隧道吗 举一反三 如图 隧道的截面由圆弧 AED 和矩形 ABCD 构成 矩形的长 BC 为 12m 宽 AB 为 3m 隧道的 顶端 E 圆弧 AED 的中点 高出道路 BC 7m 求圆弧 AED 所在圆的半径 如果该隧道内设双行道 现有一辆超高货运卡车高 6 5m 宽 2 3m 问这辆货运卡车能否通过该隧道 6 如图 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离为 2 5 米时 达到最大高度 3 5 米 然后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为 3 05 米 1 建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的表达式 2 该运动员身高 1 8 米 在这次跳投中 球在头顶上方 0 25 米处出手 问 球出手时 他跳离地面 的高度是多少 4 m 0 3 5 3 05 mx y O 9 7 如图 要建一个长方形养鸡场 鸡场的一边靠墙 如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙 的养鸡场 设它的长度为 x m 1 要使鸡场面积最大 鸡场的长度应为多少 m 2 如果中间有 n n 是大于 1 的整数 道篱笆隔墙 要使鸡场面积最大 鸡场的长应为多少 m 比较 1 2 的结果 你能得到什么结论 x 8 某商场以每件 20 元的价格购进一种商品 试销中发现 这种商品每天的销售量 m 件 与每件的销 售价 x 元 满足关系 m 140 2 x 1 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 2 如果商场要想每天获得最大的销售利润 每件商品的售价定为多少最合适 最大销售利润为多少 二次函数专题复习 图像特征与 a b c 符号的关系 1 已知二次函数 如图所示 若 那么它的图象大致是 2yaxbc 0 2 已知二次函数 的图象如图所示 则点 ac bc 在 2yaxbc A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知二次函数 的图象如下 则下列结论正确的是 2yaxbc A B C D 0ab 00abc 0 c 0 b 2 4ac 0 其 中正确的个数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 10 5 二次函数 y ax2 bx c 的图像如图 1 则点 M b 在 ac A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6 二次函数 的图象如图所示 则 2yaxbc A a 0 b 4ac 0 B a 0 b 4ac 0 C a 0 b 4ac 0 D a 0 b 4ac 0 7 已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示 那么下列判断不正确的是 2 A ac 0 B a b c 0 C b 4a D 关于 x 的方程 ax bx c 0 的根是 x1 1 x 2 52 8 已知二次函数 y ax bx c a 0 的图象如图所示 有下列结论 2 b 4ac 0 abc 0 8a c 0 9a 3b c 0 其中 正确结论的个数是 2 A 1 B 2 C 3 D 4 11