信号处理中常用的正交变换.ppt

第8章信号处理中常用的正交变换 8 1希尔伯特空间中的正交变换8 2K L变换8 3离散余弦变换 DCT 与离散正弦变换 DST 8 4 离散Hartley变换 DHT 8 5 离散W变换 DWT 及正弦类变换8 6 DCT DST及DWT快速算法简述8 7 图象压缩简介8 8 重叠正交变换8 9与本章内容有关的MATLAB文件 目录 希尔伯特空间中的正交变换 赋范线性空间内积空间完备的内积空间 希尔伯特空间 信号的分解 设空间是由N维空间一组向量 概念 对任一 都可作如下分解 所张成 即 信号的离散表示 或信号的分解 是分解系数或信号的变换 设想另有一组向量 Step1 满足 Step2 做内积 对 注意 满足双正交关系的两组基向量各自并不满足正交关系 只是相互之间满足正交关系 如果 信号的正交变换 给定数据向量 及算子 作变换 矩阵的行 列 向量即是前面的向量 若 则上述变换即为正交变换 或保范 数 变换 实际上是正交矩阵 以上正交变换是从线性代数的角度来定义 正交变换的性质 2 正交变换在计算上最为简单 如果是离散信号 且N是有限值 那么变换只是简单的矩阵与向量运算 1 若正变换存在 那么反变换一定存在 且变换是唯一的 性质2 展开系数是信号在基向量上的准确投影 非正交基的情况下 基向量 称为 标架 Frame 这时 展开系数不是准确投影 性质3 正交变换保证变换前后信号的能量不变 此性质又称为 保范 数 变换 此性质实际上是Parseval s定理 即信号变换前后能量保持不变 注意 只有正交变换才有此性质 性质4 信号正交分解具有最小平方近似性质 最小的条件 性质5 正交变换的系数具有去除相关和集中能量的性质 正交基的选择原则 具有所希望的物理意义或实用意义 正交基函数应尽量简单 计算量小 最大限度浓缩信号能量 去除相关性 基函数应能同时具有频域和时域的定位功能 正交变换的实例 FS FT DTFT DFS DFTDCT DST DHTWalsh Hadamard Haar变换SLT 斜变换 正弦类正交变换 非正弦类正交变换 特征值分解 有趣发现 相位不变 阶次与截止频率 K L变换 数据向量 协方差阵 对称阵 体现了信号各元素之间的相互关系 K L变换的思路 寻找正交矩阵 做变换 使的协方差阵为对角阵 这样 之间彻底去除了相关性 1 由 求的特征值 3 将归一化 即令 步骤 4 由归一化的 构成正交阵 5 由实现对的K L变换 K L变换的应用 数据压缩 的K L展开 欲使均方误差 为最小 应是的特征向量 最小 这时 注意 对正交变换 不是时域序列 而是的变换系数 即 如DFT的 正交变换后 信号的能量一般集中在少数的变换系数上 所以可以舍去绝大部分系数 这并不明显损失信号的能量 由剩下的少量系数 如 通过反变换可以很好的恢复出原信号 从而达到数据压缩的目的 K L变换 去相关性最彻底 在此意义上是最佳正交变换 8 3离散余弦变换 DCT 给定 定义 DCT的定义 DCT的核函数 DCT矩阵 离散余弦变换 DCT DCT的特点DCT是实变换 DCT是正交变换 在一定条件下 DCT近似K L变换 DCT有快速算法 正因为DCT有上述特点 因此 DCT在语音和图像压缩中已获得广泛应用 例 8点DCT DCT反变换 在DCT中 正变换矩阵和反变换矩阵是一样的 都是实矩阵 特别有利于实时实现及硬件实现 一阶马尔可夫过程 Markov 1 语音和图象处理中常用的数学模型 一个随机信号 若其pdf满足如下关系 则称为一阶马尔可夫过程 该式的含意是 已知过程在现在时刻的状态 那么 下一个时刻的状态只和现在的状态有关 而和过去的状态无关 令是Markov 1随机序列相邻两元素之间的相关系数 则该序列的协方差矩阵有如下关系 按K L变换的思路 现需要求的特征值及特征向量 以形成变换的正交矩阵 但对Markov 1过程 协方差阵的特征向量可以解析的给出 因此正交变换的矩阵也可解析的得到 是方程 的根 现考虑时的情况 有 由 必有 将 结论 当时 对Markov 1过程做K L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩阵 也即 此时的DCT近似K L变换 因为DCT有快速算法 另外 Markov 1过程可作为一大类信号 语音 图象 的数学模型 因此DCT在图象 语音压缩中起到了关键性的作用 成为国际上许多标准 如JPEG MPEG 的重要工具 给定 定义 反变换 离散正弦变换 DST 离散正弦变换 DST 变换矩阵 DST也是正交变换 可以证明 DST在一定条件下也是对K L变换的近似 如何评判近似的好坏 正弦类变换 变换前相关矩阵非对角线上元素的和 变换后相关矩阵非对角线上元素的和 越小越好 反映了变换后能量集中的程度 若越小 越大 则能量越集中 图象压缩与恢复 a Lena的原图 b bpp 0 95 PSNR 30 60的恢复图 c house的原图 d bpp 1 59 PSNR 35 21的恢复图 比特每像素 bpp 峰值信噪比 谢谢