高中数学第二讲参数方程2.1曲线的参数方程课件新人教A版.ppt

第二讲参数方程 一曲线的参数方程 1 参数方程的概念 1 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 参数是联系变数x y的桥梁 可以是一个有几何意义或物理意义的变数 也可以是没有明显实际意义的变数 名师点拨对参数方程的理解1 参数方程的形式 方程组中有三个变数 其中x和y表示点的横 纵坐标 第三个变数t叫做参变数 而且x与y分别是t的函数 由于横坐标 纵坐标都是变数t的函数 因此给出一个t能唯一地求出对应的x y的值 因而能得到唯一的点 2 参数的取值范围 在写曲线的参数方程时 必须指明参数的取值范围 取值范围不同 所表示的曲线也可能会有所不同 同一曲线选取的参数不同 曲线的参数方程可以有不同的形式 3 参数方程与普通方程的统一性 普通方程是相对参数方程而言的 普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系 而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系 普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式 参数方程可以与普通方程进行互化 4 参数的意义 如果参数选择适当 那么参数在参数方程中可以有明确的几何意义 也可以有明确的物理意义 可以给问题的解决带来方便 即使是同一条曲线 也可以用不同的变数作为参数 写参数方程时必须注明哪个字母是参数 做一做1以下表示x轴的参数方程的是 答案 D 2 圆的参数方程 1 设圆O的半径是r 点M从初始位置M0 t 0时的位置 出发 按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动 点M绕点O转动的角速度为 以圆心O为原点 OM0所在直线为x轴 建立直角坐标系 如果在时刻t 圆周上某点M转过的角度是 坐标是 x y 那么 t 设 OM r 那 数 这就是圆心在原点O 半径为r的圆的参数方程 其中参数t有明确的物理意义 质点作匀速圆周运动的时刻 2 若取 为参数 因为 t 于是圆心在原点O 半径为r的圆的参数方程为 为参数 其中参数 的几何意义是OM0 M0为t 0时点M的位置 绕点O逆时针旋转到OM的位置时 OM0转过的角度 名师点拨若圆心在点M0 x0 y0 半径为R 则圆的参数方程为 做一做2 圆x2 y2 16的参数方程为 为参数 3 参数方程与普通方程的互化 1 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 2 一般地 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 如果知道变数x y中的一个与参数t的关系 例如x f t 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系y g t 那么就是曲线的参数方程 3 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 特别提醒1 将参数方程化为普通方程时 要注意防止变量x和y取值范围的扩大或者缩小 必须根据参数的取值范围确定f t 和g t 的值域 即x和y的取值范围 2 参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法 当使用代入消参数法比较复杂时 可对式子先进行化简 再消参数 有时要利用代数恒等式的方法消去参数 做一做3 1 将参数方程 为参数 化为普通方程是 2 直线y 2x的一个参数方程可以是 解析 1 由于sin2 cos2 1 所以x y 1 并且0 x 1 2 设t为参数 令x t 则y 2t 答案 1 x y 1 0 x 1 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 参数方程是通过参数反映坐标变量x y之间的间接联系 2 参数方程中的参数没有任何意义 探究一 探究二 探究三 思维辨析 参数方程的概念 例1 已知曲线C的参数方程为 t为参数 1 点M 0 4 是否在曲线C上 2 若点 a 2 4a 在曲线C上 求实数a的值 分析 1 通过参数t的值进行判断 2 建立实数a的等式求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 参数方程是曲线方程的另一种表达形式 点与曲线位置关系的判断 与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的 2 对于曲线C的普通方程f x y 0 若点M x1 y1 在曲线上 则f x1 y1 0 若点N x2 y2 不在曲线上 则f x2 y2 0 同样 对于曲线C的 对应的参数t有解 否则无解 即参数t不存在 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知某条曲线C的参数方程为 t为参数 a R 点M 5 4 在该曲线上 求常数a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 圆的参数方程及其应用 例2 圆的直径AB上有两点C D 且 AB 10 AC BD 4 P为圆上一点 求 PC PD 的最大值 分析 先建立平面直角坐标系 将点P的坐标用圆的参数方程的形式表示出来 为参数 那么 PC PD 就可以用只含有 的式子来表示 再利用三角函数等相关知识计算出最大值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 以AB所在直线为x轴 以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 则点C 1 0 D 1 0 因为点P在圆上 所以可设点P的坐标为 5cos 5sin 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 圆的参数方程是三角形式 这有利于进行三角代换 运用三角知识解决解析几何中的范围 最值问题 可以使复杂的计算变得十分简洁 2 当动点的轨迹由圆上的点来决定时 可借助圆的参数方程表示出这一点的坐标 从而建立动点与该点的联系 求得动点的参数方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图所示 已知点Q是圆x2 y2 4上的动点 定点P 4 0 若点M满足 求点M的轨迹的参数方程 解 设点M的坐标为 x y xOQ 则点Q的坐标为 2cos 2sin 探究一 探究二 探究三 思维辨析 参数方程与普通方程的互化 例3 1 将下列参数方程化为普通方程 并说明方程表示的曲线 2 设x 2cos 为参数 求曲线4x2 y2 16的参数方程 分析 对于 1 只需消去参数 建立x y的等式即可 对于 2 将x 2cos 代入曲线方程进行求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 由已知得t 将其代入y 4t中 得4x 3y 4 0 故所求的普通方程为4x 3y 4 0 它表示的是一条直线 由y 1 cos2 可得y 2sin2 把sin2 x 2代入y 2sin2 可得y 2 x 2 即2x y 4 0 因为2 x 2 sin2 3 所以所求的普通方程是2x y 4 0 2 x 3 它表示的是一条线段 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 将参数方程化为普通方程 关键是消去参数 常用的消元法有代入消元法 加减消元法 如果参数方程是分式方程 在运用代入消元法或加减消元法之前需做必要的变形 另外 熟悉一些常见的恒等式至关重要 如sin2 cos2 1 ex e x 2 ex e x 2 4 2 把普通方程化成参数方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3化下列曲线的参数方程为普通方程 并指出它是什么曲线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽视参数的取值范围致误 正解由于0 t 则 1 cost 1 0 sint 1 所以 3 x 5 2 y 2 于是 x 1 2 y 2 2 16cos2t 16sin2t 16 因此普通方程为 x 1 2 y 2 2 16 3 x 5 2 y 2 它表示的曲线是以 1 2 为圆心 半径为4的上半圆 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得本题错解在于忽视了参数t的取值范围 导致方程中x y的范围出错 从而方程以及对应的曲线出错 在将参数方程化为普通方程时 务必注意参数的取值范围 根据这一范围确定变量x y的范围 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练将方程 t为参数 化为普通方程 并说明方程表示什么曲线 12345 1 当参数 变化时 由点P 2cos 3sin 所确定的曲线过点 解析 令2cos 2 得cos 1 从而sin 0 即3sin 0 所以曲线过点 2 0 答案 D 12345 2 圆 x 1 2 y2 4上的点可以表示为 A 1 cos sin 为参数 B 1 sin cos 为参数 C 1 2cos 2sin 为参数 D 1 2cos 2sin 为参数 答案 D 12345 3 将参数方程 为参数 化为普通方程是 A y x 2B y x 2C y x 2 2 x 3 D y x 2 0 y 1 解析 由于0 sin2 1 所以x 2 sin2 2 3 故普通方程为y x 2 2 x 3 答案 C 12345 4 将参数方程 为参数 化成普通方程为 解析 因为cos2 sin2 1 所以x2 y 1 2 1 因为 1 cos 1 1 sin 1 所以 1 x 1 0 y 2 故所求的普通方程为x2 y 1 2 1 1 x 1 0 y 2 答案 x2 y 1 2 1 1 x 1 0 y 2 12345 5 已知圆 x 1 2 y 1 2 4上任意一点P x y 求x y的最值