《指数函数及其性质》教学设计

指数函数及其性质 教学设计 教学目 标 一 知识与技能 1 掌握指数函数的概念 图象和性质 2 能借助计算机或计算器画指数函数的图象 3 能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质 二 过程与方法 1 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法 如 具体到一般的过程 数形结合的方法等 2 通过探讨指数函数的底数 a 0 且 a 1 的理由 明确数学概 念的严谨性和科学性 做一个具备严谨科学态度的人 三 情感态度与价值观 1 通过实例引入指数函数 激发学生学习指数函数的兴趣 2 体会指数函数是一类重要的函数模型 并且有广泛的用途 逐 步培养学生的应用意识 教学重 点 指数函数的概念 图象和性质 教学难 点 对底数的分类 如何由图象 解析式归纳指数函数的性质 教具 多媒体课件 教学过程 教学环节 师生互动 设计意图 一 创设情景 问题 1 某种细胞分裂 时 由 1 个分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个 一 个这样的细胞分裂 x 次 后 得到的细胞分裂的 个数 y 与 x 之间 构成 一个函数关系 能写出 x 与 y 之间的函数关系 式吗 学生思考 教师组织学生交流各自的想 法 捕捉学生交流中与下列结论有关的 信息 并简单板书 学生回答 y 与 x 之间的关系式 可以表 示为 y 2 x 通过问题 引导学生 思考我们 本节课的 教学重点 锻炼学生 的主动思 考能力总 结归纳能 力 问题2 一种放射性物 质不断衰变为其他物质 每经过一年剩留的质量 约是原来的84 求出这 种物质的剩留量随时间 单位 年 变化的函数 关系 设最初的质量为 1 时间变量用 x 表示 学生回答 y 与 x 之间的关系式 可以 表示为 y 0 84 x 教师提问 你能发现关系式 y 2x y 0 84 x 有什么相同的地方吗 学生讨论 教师引导学生观察 两个函 数中 底数是常数 指数是自变量 通过两个 生活中的 例子引导 学生发现 规律 并 总结出指 数函数的 剩留量用 y 表示 学生回答 这两个函数都是函数 y ax 的 具体形式 教师总结 函数 y ax 是一类重要的函数 模型 并且有广泛的用途 它可以解决 好多生活中的实际问题 这就是我们下 面所要研究的一类重要函数模型 指 数函数 定义 教 师通过总 结归纳让 学生学习 到归纳重 点的重要 性 二 讲解新课 一 指数函数的概念 一 般 地 函 数 y ax a 0 a 1 叫 做 指 数 函 数 其 中 x 是 自 变 量 函 数 的 定 义 域 是 R 问题 指数函数定义中 为什么规定 如果不这10 a且 样规定会出现什么情况 教师结合引入 给出指数函数的定义 学生思考 教师适时点拨 给出如下解 释 1 若 a 0 会有什么问题 如 则在实数范围内相应的函21 xa 数值不存在 2 若 a 0会有什么问题 对于 无意义0 xa 3 若 a 1又会怎么样 1x无论 x 取何值 它总是1 对它没有研究 的必要 教师 为了避免上述各种情况的发生 所 以规定 且 0 a1 对于指数 函数的定 义的认识 需要深入 通过问题 启发学生 思考什么 样的函数 才是指数 函数 有 助于帮助 学生更好 的理解定 义 对判 断指数函 数有很大 的优点 三 例题讲解 例 1 指出下列函数那 些是指数函数 y 2 3x y 3x 1 y x3 y 3 x y 4 x y x y 4 2x y xx 例 2 若函数 是指 学生回答 1 只有第 6 个是指数函数 2 a 2 方 法 引 导 指 数 函 数 的 形 式 就 是 y ax ax 的 系 数 是 1 其 他 的 位 置 不 能 有 其 他 的 系 数 但 要 注 意 化 简 以 后 的 形 式 有 些 函 数 貌 似 指 数 函 数 实 际 上 却 不 是 例 如 y ax k a 0 且 a 1 k Z 有 些 函 数 看 起 来 不 像 指 数 函 数 实 际 上 却 是 指 数 函 数 例 如 y a x a 0 且 a 1 这 是 因 为 它 的 解 析 式 可 以 等 价 化 归 为 y a x a 1 x 其 中 a 1 0 巩固学生 对指数函 数定义的 理解 通 过例题检 验学生对 定义的理 解情况 数函数 则 a 且 a 1 1 如 y 23x 是 指 数 函 数 因 为 可 以 化 简 为 y 8x 要 注 意 幂 底 数 的 范 围 和 自 变 量 x 所 在 的 部 位 即 指 数 函 数 的 自 变 量 在 指 数 位 置 上 二 指数函数的图 像及性质 在同一平面直角坐标系 内画出指数函数 与 的图xy2 x 1 象 教师提问 作图的基本方法是什么 学生回答 列表 描点 连线 学生动手自行完成x 3 2 1 0 0 5 1 22y x 1 锻炼学生 的动手能 力 更让 学生直观 地了解指 数函数的 图像 学 生观察四 个图像的 特点总结 图像的整 体变化趋 势 从画出的图象中 你能 发现函数的图象与底数 间有什么样的规律 从图中我们看出 12 xxy 与 的 图 象 有 什 么 关 系 通过图象看出 xxy与 的 图 象 关 于 轴 对 称 实质是 上的2y 点 x y1与 上 点 关 于 轴 对 称 问题 2 根据函数的图 象研究函数的定义域 值域 特殊点 单调性 最大 小 值 奇偶性 问题 3 指数函数 a 1 0 a 1 图 象 学生通过 观察图像 总结性质 x y 0 0 且 1 xya a 当 底 数 越 大 时 函 数 图 象 间 有 什 么 样 的 关 系 性 质 1 定义域为 值 域为 0 2 过点 0 1 即 x 0 时 y a0 1 3 若 x 0 则 ax 1 若 x 0 则 0 ax 1 3 若 x 0 则 0 ax 1 若 x 0 则 ax 1 4 在 R 上 是增函数 4 在 R 上是 减函数 四 巩固与练习 例 3 求下列函数的定 义域 1 y 8 12 x 2 y 例 4 比较下列各题中 两值的大小比较下列各 题中两个值的大小 1 1 72 5 1 7 3 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 9 3 1 教师 我们已经有过求函数定义域的一 些实战经验 你觉得求函数定义域时哪 些方面应该引起你的高度注意 学生交流自己的想法 教师归纳 得出 如下结论 1 分式的分母不能为 0 2 偶次根号的被开方数大于或等 于 0 3 0 的 0 次幂没有意义 教 师 这 些 注 意 点 在 我 们 所 要 解 决 的 问 题 中 又 没 有 出 现 是 否 还 有 其 他 新 的 要 求 或 限 制 条 件 学生讨论交流 并板演解答过程 教师 组织学生进行评析 规范学生解题 解 1 2 x 1 0 x 原21 函数的定义域是 x x R x 2 1 21 x 0 x 1 0 函数 y x 在定义域上单调递减 21 x 0 原函数的定义域是 0 教师 你能发现题中所给的各式有哪些 共同点和不同点吗 这些特点能否给你 解答该题有所启示呢 学生讨论 教师适时点拨 得出如下解 析过程 解 1 1 7 2 5 1 7 3 可看作函 学生巩固 练习 也 是对本每 节课学习 内容的检 验 同时 总结方法 是 在解 决比较两 个数的大 小问题时 一般情况 下是将其 看作是一 个函数的 两个函数 值 利用 函数的单 调性比较 当两个数 不能直接 比较时 我们可以 将其与一 个已知数 进行比较 大小 从 而得出该 两数的大 小关系 数 y 1 7x 的两个函数值 由于底数 1 7 1 所以指数函数 y 1 7x 在 R 上是增函数 因为 2 5 3 所以 1 72 5 1 7 3 2 0 8 0 1 0 8 0 2 可看作 函数 y 0 8x 的两个函数值 由于底数 0 8 1 所以指数函数 y 0 8x 在 R 上是减函数 因为 0 1 0 2 所以 0 8 0 1 0 8 0 2 3 因为 1 70 3 0 9 3 1 不能看 作同一个指数函数的两个函数值 所以 我们可以首先在这两个数值中间找一个 数值 将这一个数值与原来两个数值分 别比较大小 然后确定原来两个数值的 大小关系 由指数函数的性质知 1 70 3 1 7 0 1 0 9 3 1 0 9 0 1 所以 1 70 3 0 9 3 1 五 巩固练习 课本课后练习 1 2 学生完成后 同桌之间互相交流解答过 程 六 课堂小结 1 指数函数的定义以及指数函数的 一般表达式的特征 2 指数函数简图的作法以及应注意 的地方 3 指数函数的图象和性质 4 结合函数的图象说出函数的性质 这是一种重要的数学研究思想和研究方 法 数形结合思想 方法 对本节课 的小结 帮助学生 很好的总 结知识点 5 的取值范围是今后应用指数函a 数讨论问题的前提 七 布置作业 课本习题