《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法

第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 流体力学 连续方程推导的巧方法 施春华 高庆九 李忠贤 南京信息工程大学大气科学学院 江苏南京 210044 摘要 针对柱坐标系和球坐标系下 流体力学 中连续方程形式复杂 理解不便的特点 采用欧拉控制体方法 把 质量通量 整体作为一物理量 从而巧妙地推导了这两类连续 方程 该过程物理意义明确 数学算法简单 有助于学生理解 关键词 连续方程 柱坐标系 球坐标系 在大学 流体力学 教学中 连续方程是最基本的内容之一 在很多相关专业课程中得到 广泛应用 相对而言 在直角坐标系中的连续方程形式简单 也易于理解 但在柱坐标系和球 坐标系中 连续方程的形式却相对复杂 理解相对困难 目前 很多参考书 123 对于后两类连续方程要么没有给出具体推导 要么推导过程较为复杂 使数理基础较薄弱的学 生难以理解 在此 笔者结合教学中的实际经验 演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明 确 数学理解简单的连续方程的推导过程 1 连续方程的一般算子形式 流体运动的连续方程 是表示流体运动和其质量分布的关系式 在拉格朗日方法中 某流体块 在运动时其体积和形状尽管可发生变化 但它始终由这些流点构成 因此它的质量不变 由此可见 连续方程实质上是质量守恒定律在 连续介质 流体 中的应用 一般的拉格朗日方法考虑 某个别流体微团 质量体 在运动过程中 其随体 密度的变化 必然与其体积变化趋势相反 如体积膨胀 它的密度减小 体积收缩 则密度增大 其算子形式的通用表达式 1 1 一般的欧拉方法考虑 对于某固定位置的空间单位体积元 控制体 来说 该体积元内单位时间 的质量变化 与该体积元边界上的质量通量变化相联系 如质量往外流 它的密度减小 反之 则增大 其算子形式的通用表达式 1 2 两种方法的区别 拉格朗日方法多从物理量的定义出发 模型简单容易理解 但数学解析在实 际应用中有些困难 欧拉方法则通过适当的数学建模后 能在数学上给出方便的解析 有利于 从数学角度更好地理解概念 在直角坐标系中 通过建立三维空间微元控制体 图略 很多教科书都详细给出 且易于理解 很容易得到 2 式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式 第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 3 2 柱坐标系欧拉连续方程 基于柱坐标系把 质量通量 整体作为一物理量的考虑 物理意义明确 数学理解简单的 欧拉连续方程的推导见图 1 如图 1 所示 柱坐标系体积元控制体 ABCDEFGH 径向方向 r 圆周切向方向 垂直方向 z 径向速度 Vr 圆周切向速度 V 垂直速度 w 则径向线微元 AB 表达为 dr 切向线微元 AD 表达 为 rd 垂直微元 GC 为 dz 体积微元 dV rd drdz 由径向速度 Vr 垂直穿越面元 ADHE 和 BCGF 面积 rd dz 所引起的质量通量均可表达为 Vr rd dz 但 r 坐标值在两个面元处有差异 这使得质量通量沿径向 r 方向不尽相同 就表达了质量通量在穿越面元 ADHE 和 BCGF 时沿径向 r 方向的梯度 乘以 dr 后得 它表示了径向速度 Vr 垂直穿越面元 ADHE 和 BCGF 后导致体积 元 ABCDEF2GH 内质量通量的变化量 略去高阶小量 下同 即径向速度 Vr 引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量 同理 由切向速度 V 垂直穿越面元 DCGH 和 ABFE 面积 rd dr 所引起的质量通量均可表 达为 V drdz 但 坐标值在两面元处不同 质量通量沿切向 方向的梯度描述为 V drdz 而 V drdz d 则描述了切向速度 V 垂直穿越面元 DCGH 和 ABFE 后导致体积元 ABCDEF2GH 内质量通量的变化量 即切向速度 V 引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量 同理 垂直速度 w 垂直穿越面元 EFGH 和 ABCD 面积 rd dr 所引起的质量通量均可表达 为 wrd dr 但 z 坐标值在两面元处不同 质量通量沿 z 方向的梯度描述为 wrd dr z 第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 而 wrd dr z dz 则描述了垂直速度 w 垂直穿越面元 EFGH 和 ABCD 后导致体积元 ABCDEFGH 内质量通量的变化量 即垂直速度 w 引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出 的质量 该柱坐标中 流体所有运动可以分解为在 3 个正交的方向 r 和 z 上运动 所以流体单 位时间净流出控制体 ABCDEFGH 的质量就表达为 式中 r 和 z 相互独立 密度 则是空间的函数 体积微元 dV rd drdz 故有 4 对于该控制体单位时间的质量变化 又可以描述为 dV 由于在质量通量的表达中 t 把流出控制体的方向作为正方向 和实际控制体内质量变化的符号相反 但两者的量值相等 因此 即 5 表达式 5 即柱坐标系下欧拉形式的连续方程 3 球坐标系欧拉连续方程 球坐标系中取一体积元控制体 ABCDEFGH 如图 2 所示 4 坐标系中经度 纬度 球径向 r 沿纬圈方向线微元 AB 为 rcos d 速度为 u 沿经圈 方向线微元 DA 为 rd 速度为 v 球径向线微元为 dr 速度为 w 体积元 ABCDEFGH 为 d r 2 cos d d dr 沿纬圈方向穿越面元 AEHD 和 BFGC 的质量通量均可表达为 urd dr 这两个面元上质量通量沿 方向的梯度表示为 urd dr 乘以 d 后 urd dr d 就描述了纬圈速度 u 穿越面元 AEHD 和 BFGC 后导致体积元 ABCDEFGH 内质量通量的变化量 略去高阶小量 下同 即沿纬圈方向的质量通量所引起的体 积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量 第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 由于 和 r 相互独立 且体积元 ABCDEFGH 为 d r 2 cos d d dr 故沿纬圈方向的 质量通量所引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量为 6 同理 沿经圈方向的质量通量所引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量为 7 沿径向的质量通量所引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量为 8 根据质量守恒 整个体积元单位时间内净流失的质量是沿 3 个方向流失质量之和 应等于该体 积元单位时间的质量减小量 d 故 t 第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 即 9 表达式 9 即球坐标系中欧拉连续方程的表达式 4 小结 通过欧拉控制体方法 把 质量通量 整体作为一个物理量 在各独立方向上偏微分推导后 可以便捷地得到柱坐标和球坐标下欧拉形式的连续方程 该方法过程简单 物理意义明确 有 利于对连续方程的理解