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小学数学有关问题解析达县中小学教研室 张洪祥数学课堂的基本追求是什么？语文教学主要是一种“情知教学”，即是以情感来带动知识的学习。“让学生对文本生情，用情来理解文本,用情来感染学生。”（朱小亮 )对于数学教学我们是否也可作出同样的结论？树上有5只鸟，猎人开枪打死2只，还剩下几只”这样一个问题，如果一个学生回答道：“一只也没有剩下，因为它们是一家子，猎人打死的是父母亲，这样三个小鸟就一个也活不下去了。”（黄爱华）这个学生显然也是将数学课误当成了语文课。 如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的“情知教学”，那么，数学教学就主要是“以知贻情”，其涉及的情感也截然不同。语文教学中所涉及的是人类最为基本的一些感情：人世间的爱恨和冷暖，生命的短暂和崇高，社会历史进程中的神奇和悲欢这就是说，即如种种文学作品，在此首先吸引你的不是相应的语言表达形式，而是文字中的精神滋养，包括对大自然的关爱、对弱小的同情、对未来的希冀、对黑暗的恐惧等。与此相对照，在数学课上我们所希望学生养成的则是一种新的精神：它并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神（与原始人类所普遍持有宗教迷信或者说对大自然的敬畏心理直接相抵触的）；一种新的认识方式：客观的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么，为什么）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）；一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐。一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持，。综上可见，这即是一种不同的文化：数学文化，这也正是数学课所应具有的“数学味”！一个没有“数学味”的教师不可能真正上出具有“数学味”的数学课。“教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、思辨的内在气质。”（张齐华）“是啊，当数学能够深入到数学的内部，展现它自身的魅力时，那些从外部添加的趣味性，什么小狗、小猫的故事，五颜六色的教具，就可以少用乃至不用了。这也就是数学教学的的一种返璞归真吧！”（曹培英）下面主要从教学方法和小学数学相关本体性知识两个角度，并以问题的形式和大家作一交流。一、当前小学数学教学方法的改革已取得了哪些共识？数学教学研究的一个永恒主题：教学方法的研究与改革课改10年的回顾：（1）对于新的教学方法的大力提倡以及形式主义的盛行。（2）对于形式主义的必要纠正。已建立的共识第一，由片面强调“数学的生活化”转而认识到了数学教学不应停留于学生的日常生活，更不能以“生活味”去取代数学课所应具有的“数学味”。第二，由片面强调“学生主动探究”转而认识到了人们认识的发展不可能事事都靠自己相对独立地去进行探究，恰恰相反，学习主要是一个文化继承的过程，更必然地有一个优化的过程。第三，由片面推崇“合作学习”转而认识到了教学活动不应满足于表面上的热热闹，而应更加重视实质的效果。第四，由片面强调“动手实践”转而认识到了不应“为动手而动手”，并应注意对于操作层面的必要超越。进一步的思考我们应当如何去看待上面的共识，特别是，这能否被看成一种真正的进步？什么又是这一方向上进一步工作的努力方向？从专业化的角度看过去几年中所取得的“进步”事实上只是“常识”的回归。就教学方法的改革而言我们并应努力做到对“常识”的超越，从而才可能取得真正的进步。一个实例：“不妨请外行来听听数学课”（小学教学2010年第6期）教学内容：用2-6的乘法口诀求商。片断一：教师出示问题：12个桃子，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？师：谁会列式？生：123=4。师：（板书123）123你们会算吗？生：（整齐响亮地）会！师：那好，请大家用三角形摆一摆。学生摆，教师巡视，请一名学生往黑板上摆。刘：学生明明说出了123=4，老师为什么视而不见，不板书得数呢？陪同者：老师只要求学生列式，没让学生说出得数，列式是列式，计算是计算。刘：全班学生都说会算，老师为什么不让学生说说他们是怎么算的，而非要按老师的要求来摆三角形？陪同者：可能老师认为不能这么快说出得数，而操作很重要，所以大家都来摆一摆。刘：这样太不自然了。片断二黑板前的孩子摆成的三角形是4堆，每堆有3个师：他摆得对吗？分成了几堆？生：对！分成了4堆。老师在算式后面接着板书得数“4”。师：刚才我们用摆学具的方法算出了得数。请小朋友开动脑筋想一想，“123”还可以怎样想？教室里一片沉寂。刘：还可以怎样想呢？我也不知道啊。陪同者：还可以想乘法口诀呀！因为三四十二，所以123=4。刘：（恍然大悟）哦，没想到。片断三讲解完用乘法口诀求商以后，老师又进一步追问：“123”还可以怎样想？几个孩子答了一些不着边际的想法。教室里又是一片沉寂。刘（疑惑地）：还能有什么方法？陪同者：说不准，看看教材上是怎么写的。我俩开始翻教材，只见教材上写着：第一只分3只，12-3=9；第二只分3只，9-3=6；第三只分3只，6-3=3；第四只分3只，正好分完。生：还可以一只猴子一只猴子地分，分给一只猴子就减一个3，师：（喜不自禁）这位小朋友真不错！生（迟疑地）老师，我还有一种方法：3+3+3+3=12。一只猴子分到3只，2只猴子分到6个，师：你真聪明！也奖你一颗五角星！刘：（皱着眉头）怎么搞得这么复杂啊？陪同者：这不是复杂，这是算法多样化。现在的计算提倡算法多样化。刘：可我怎么觉得很牵强，把简单问题复杂化了？片段四师：请小朋友看黑板，现在有这么多种方法来算123，你最喜欢哪种方法？生：我喜欢减法，因为它最特殊。师：不觉得它很麻烦吗？生：不麻烦！师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？生：我最喜欢加法。师：为什么？生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。师：（无奈地指着用乘法口诀求商的方法）有没有喜欢用这种方法的？有少部分学生响应。师：其实，用乘法口诀求商是最简便的方法。以后我们做除法时，就用这种方法来做。刘（很困惑地）：老师到底想问什么？学生答了，她又不满意，也不理会。陪同者：这一环节是算法的优化，多样化以后一般都会优化。前面两个学生说的不是最优的方法，所以没办法理会。刘：那些方法不是她自己硬“掏”出来的吗？好不容易“掏”出来的东西，这会儿又瞧不上了。他的学生可真不容易当啊！ 作者的反思：“她的感受很本原，很真实，恰好击中了数学教学的积弊，惊醒了我们这些局中人。”努力的方向：对于“常识”的必要超越第一，我们究竟应当如何去处理“情境设置”与“数学化”的关系？什么又是数学教学中实现“去情境化”的有效手段？第二，什么是好的“合作学习”所应满足的基本要求？从数学教学的角度看我们应当如何去实现这些要求，数学教学在这一方面是否又有其一定的特殊性？1、 聚焦“情境设计”基本认识：（1）数学教学中的“情境设计”确有其一定的积极意义。（2）数学教学又必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。关键：什么是数学教学中实现“去情境”的主要手段？例 “找规律” （黄爱华、胡爱民）“师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做咚，第二个音唱做哒，第三个音唱做啦，所以这个乐句就变成咚 哒啦咚 哒啦咚 哒啦“请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。”方法一：用图形表示 方法二：用数字表示1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 1结 论“去情境化”（模式化）的重要手段之一：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。 例 “平均数”的教学引入：最近三（1）班举行了一次趣味运动会比赛，其中的套圈比赛最有意思。第一小组的男生和女生进行了套圈比赛（多媒体出示“套圈比赛的场景），请同学们给他们做个裁判，看看哪一队套得准（出示男女生套圈成绩统计图）“师：同学们可以发表自己的观点，也可以反驳别人的观点。看谁说得最有道理”生：“可以将女生中套中最多的1号与男生中套中的最多的2号进行比较“师：同学们想一想，比某一个人套中的个数来判断男生还是女生套得准，合理吗？”“师：那怎么办呢？先独立思考，再和小组同学商量一下，看能不能找到一个更公平的办法。”“生：把男生套中的个数匀一匀，女生套中的个数也匀一匀。“师：这真是个好主意！匀一匀在数学上就是先求出男、女生每人平均套中的个数。大家认为公平吗？“师：方法想出来了，那我想问一问，该怎样求平均每人套中的个数呢？“生：我们想到把男生套中的个数移一移。“师：如果不在图上“移多补少”，还有别的方法求出每人平均套中的个数吗？刚才我对学生而言，“数学化”主要是一个“从无到有、从粗糙到精确”的过程。（香港教育学院冯振业）看到有的同学在纸上写出来了，谁来说一说？ 2. 聚焦“合作学习”一个长期的热点与难点。在一次调查中，在一个学区中有90%的教师表示自己在教学中已经采用了“合作学习”；但在后继的“面对面”调查中，在17个作出肯定性回答的教师中，却只有1人被确认为真正采取了与“正式教学”不同的合作学习。当前常见的一些课堂用语你真聪明！你真棒！让我们大家为他鼓掌！还有什么不同的作法？有益的比较你是怎么知道的？你是否同意，为什么？你赞同哪种方法？为什么？例 “问题解决”的教学（解题策略：画图）问题：动物车展，第一天卖了65辆车，第二天销量增加了1/5，问：第二天卖了多少？教学重点：画图策略在这一内容的教学中我们应当如何去实现学生间的积极互动？特别是，我们在课堂上是否应当充分展示各种不同的画法，如直接画65个小圈，画5个圈去代表65辆车，等等？数学教学中的互动应当真正促进思维（包括方法等）的优化。教学中的常态：学生对于其它方法往往视而不见，根本不予关心，更不用说与自己的方法进行必要的比较。 教学中的关键第一，加强比较；第二，应使优化成为学生的自觉需要。互动“不应被看成线性的和纯因果性的”；恰恰相反，这一过程应被理解成“反思性、循环性和相互依赖的。”（科比）例 这个学生缺的究竟是什么任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：5215012=接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”“数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。但是，思考数学问题需要很长时间。我不知道中小学数学课堂是否能够提供很多的思考时间。”（陈省身）“我认为思考问题的态度有两种：一种是花费较短时间的即席思考型；一种是较长时间的长期思考型。所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人。但是，现在的教育环境不是一个充分培养长期思考型的环境。没有长期思考型训练的人，是不会深刻地思考问题的。无论怎样训练即席型思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。”（广中平佑）二、为什么说“数学是一门关系学”？有人说，数学是一门“关系学”，为什么呢？大百科全书（数学卷）对数学的定义是：“研究现实世界数量关系和空间形式的科学” 这就点明了数量关系是一切数学研究的核心。进一步，空间形式中，也有许多关系，例如，两条直线的平行、垂直、相交、重合，就是位置关系。至于面积、体积的计算，更是直接的数量关系。小学数学中的数量关系主要有三类：等价关系。数的相等，式的恒等，图形的重合，方程的同解，以及各种各样的等价类。顺序关系。数的大小，位置计数，不等式等。对应关系。数的运算关系，函数关系。特别的，自然数的四则运算是两个数和第三个数之间的对应关系。表格、坐标图像，统计图都是对应关系。从关系上认识数学，可以居高临下，在数学结构、数学思想和数学观的高度审视小学数学。不要说小学数学内容浅显，它的内容既能和日常生活相联系，也能在哲学层面进行思考。三、小学数学中数学概念定义都是严密的吗？小学数学中的定义有以下四类：第一类，有些概念不能定义。如点、集合、线段、对应等是原始定义。第二类概念不用定义。如关系，延长，相交，方向，距离，交换，结合等等，照字面意义理解即可。第三类是描述性定义。如图形的面积，数的相等与大小，三年级分数的意义等都不是严格的定义。第四类才是在逻辑上严密的“属和种差”式的定义。如等边三角形定义为三边都相等的三角形。小学数学中的概念，主要是理解其含义，能够把握与运用，不要求外延十分清楚。以为数学概念的定义越严密越好是不对的。严谨性必须和学生的年龄特征相吻合，也要和人的认知规律相适应。四、小学数学和中学数学的区别和联系是什么？小学中的整数、小数和分数的运算是一切数学的基础，当然也是中学数学的基础。小学数学是一个变动着的概念。许多数学内容，早年属于中学数学的范围，现在已渗透到小学数学范围。最值得注意的是代数方法、函数思想、随机数学三个重大数学内容向小学的渗透。小学数学中的算术方法，正和代数方法互相融合。算术基于“数”的运算，方程则基于“式”的运算。小学数学基于“逆运算”的思想求得方程的解，方法是用同加同乘保持等式成立，目的是避免负数。函数思想的核心是变量以及对应。小学里多次出现这两个概念，但是没有明确提出函数的概念。小学应该在数学情景和数学思想层面为中学数学提供函数素养。随机数学，即基于概率理论的数学，正在进入小学。小学和中学在这一领域的衔接，还在深入实践和研究中。五、什么是小学数学教学中的“基本数学活动”？什么是基本数学活动呢？广义地说，一切数学过程都是数学活动。包括数学证明，数学解题，数学练习都属于数学思维活动。狭义地说，则是通过对具体事物进行实际的操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所积淀下来的认识。例如测量、折纸、游戏、画图等等都是比较具体的数学活动。我们应该重视所有的广义的数学活动，并在教学中加以组织，但是更提倡哪些狭义的数学活动，使得学生能够克服数学抽象性带来的理解困难，得到具象性或者实际意境的思考支撑。六、小学数学中蕴含了哪些数学方法？数学思想方法的教学，是中国数学教育的特点之一。一些常用的思想方法有：归纳概括。这是小学数学中常用的方法，即从日常生活及已有知识中的个别经验，抽象出一般的数学概念和数学规律。如几何中的一般概念，找规律等。联想类比。如：由自然数的运算定律推广到正分数时，交换律、结合律、分配律都成立，一句话带过，学生通过对比联想就接受了。演绎化归。即转化的思想方法。如平行四边形的面积通过割补转化为长方形面积而求得。分数运算化归为整数计算。三角形两边之和大于第三边，化归为两点之间线段最短等等，化归思想无处不在。这是一种演绎推理。分类辨别。分类是一般的科学思想方法。数学分类方法有两种：一种是不重不漏的分类，如三角形按角分类。另一种是套桶式分类。如正方形是长方形的一部分，长方形又是平行四边形的一部分。思想辨识。整理数学知识，形成结构思想，是理解数学的重要手段。（1）方程关系。数学大师陈省身曾经说过，我们要做“好”的数学，方程就是“好数学”的最佳例子。方程的本质是，为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。为了寻找“未知数”，需要拉关系，请“已知数”先生介绍认识了“未知数”先生。2、函数关系。函数思想是现代数学的核心概念，它的意义是寻求两种变量之间的依赖关系。小学里虽然没有函数概念的出现，但是它的思想已经蕴含在许多知识之中。如乘法中一个因数不变，乘积随另一个因数的变化而变化。应用题中s=vt。小学一年级就有对应的函数思想，如铅笔对应笔记本、锤子对应钉子、找朋友等。函数思想对小学的渗透随着时代的发展还会不断加强。3、不变量。这是一个大家比较生疏的数学思想，但却广泛存在于小学数学之中。如交换律（位置交换，结果不变），轴对称（沿对称轴反射出去，图形的形状大小不变），图形割补（形状变了，但面积不变），一个等式的两边同乘以一个数，等式不变，等等。数学的一个重要思想是在变化中寻找不变的东西。高等数学这样的例子更多，拓扑学正是研究拓扑不变量的学科。小学数学注意体现这一思想是非常重要的！4、等价类。最明显的是分数的表示。一个分数有无限多个表示，彼此相等。它们构成一个等价类，通常以最简分数为代表。但是，这个等价类中的分数，每一个都有它的作用，在分数相加时，就要通分，即从等价类中请出一个以公倍数为分母的分数作为代表，才能进行相加。同底等高的三角形也是一个等价类。偶数全体也是一个等价类。推而广之，一个班级也是一个等价类，这里的“价”就是某年级某班。数学思想方法并不只局限于上述四种，还有分析综合、具体抽象等方法。向更细的方向看，还包括“凑十法”，圆规直尺作图法，几何中的测量方法，解应用题中的图示法等等，然而这些方法只是具有局部的意义。七、如何理解方程思想？（一）什么是代数？即“文字代表数”的学问。如a+b=b+a,s=dh. “文字代表数”的意义：1、给字母赋值。如a+5=8,a=?(92%)2、忽略字母的意义。如:已知a+b=43,问a+b+2=?(97%)3、把字母当作物体。如：2a+5a=7a ,(a-b)+b=a，这里的a可以看着苹果、香蕉等任何具体事物。（86%）4、把字母看成特定的未知量。如：相加的和是多少？答案是3n+4（36%）5、把字母看成广义的数。如，若c+d=10,且cd,判断c的值。答案是c 5或者1,2,3,4.（39%)6、把字母当作变量。例如，2n和n+2哪一个更大？请做出解释。答案是当n2时，2n较大。（6%）（二）恒等变形和同解变形算术问题是通过对数的一串运算获得答案，而方程则要通过式的运算获得答案。式的相等是指恒等变形。例如：2（x+5)=2x+10,等式对任意的数x都是成立的，所以称为恒等变形。在解方程的过程中则是同解变形。例如：因为,2x+6=16, （1）所以,2x=10 （2）于是,x=5 （3）在三个等式中，彼此不能连贯相等，即写成2x+6=16=2x=10=x=5是错误的，并不能用恒等变形来连接。（1）（2）（3）之间的联系在于它们有相同的解x，它们彼此间是同解变形。用下列比喻也许能帮助学生理解：恒等变形相当于：我=张三=25号（学号）=该班第5排右边第一个位置上的学生=变来变去，始终是“我”。 同解变形相当于：因为我是我爸爸的儿子，爸爸是爷爷的儿子，所以我是我爷爷 的孙子。这里的“我”是相同的，但是爸爸的儿子不能等于爷爷的孙子，因为爷爷可能还有另外的儿子，于是他还会有其他的孙子。（三）小学数学中的方程课程标准正式将方程列入小学数学课程内容。值得注意的是，小学数学中的方程思想不能要求过高，课标中反复强调的是“简单的”、形如axb=c、axbx=c的方程。1、什么是方程？几乎所有的教材都这样定义：“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。西南大学代数学博士生导师陈重穆教授曾经指出：这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质，价值和意义。为什么这样说呢?函数也是含有未知数的等式y=1x,容易和方程混淆；a+b=b+a也是含有未知数的等式，是不是方程？0x=0,x-x=0。我们并不是要研究一切含有未知数的等式，只对那些有数学价值的方程，能够帮助我们寻求未知数的方程，才去面对。方程的核心是要“求”未知数，在定义中没有体现。因此这一定义可有可无，没有人会因为记不住这一定义就不会解方程。那么，我们试图重新给方程一个新的定义：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。这样定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。接着告诉我们，方程乃是一种关系，一种“等式”关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。八、如何理解小学数学中函数思想的渗透？19世纪的中小学数学，以算术和方程为主要内容，从二十世纪开始，中学数学以方程为中心的地位，渐渐转到以函数为中心。我国在50年代全面学习苏联，移植的苏联数学教科书明显地以函数内容作为核心概念，一次函数，二次函数，指数函数和对数函数乃至三角函数，成为中学数学的主线。在这样的情景下，函数思想也渐渐地渗入小学数学，成为小学数学不可回避的内容。如：函数概念的两种定义函数有两种定义，变量说和对应说。二者各有所长，我们都要掌握。1、变量说。设x与y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围中变化时，变量y按照一定的规律随x的变化而变化，我们称x为自变量，y为因变量，变量y叫做变量x的函数，记作：y=(x)。2、对应说。设A与B是两个集合，如果按照某一确定的对应关系，对于集合A中每一个确定的元素x，总有集合B中唯一确定的元素y和它对应。当A、B 为数集时，称之为函数。“对应说”虽然较之“变量说”稍觉抽象，但却抓住了函数的本质属性，突出了两个集合之间元素的对应就是函数。总之，两种函数的定义，我们都要掌握。变量说具体、形象，看到变量之间的依赖关系，便于从宏观上动态把握。对应说则深刻、细致，看到集合之间元素的具体对应关系，便于从宏观上静态地认识。函数在小学数学中的渗透 1、函数概念渗入数学运算。小学数学中的四则运算，都是一种“二元”对应关系。以加法为例，加数a与b,相加得到唯一的和a+b，实际上就是二元对应：（a,b）a+b，即二元函数。所以，小学数学里到处充满着对应，只是我们并不用对应和函数这样的名词而已。根据皮亚杰的心理学研究，6岁学生已经有了对应的概念。因此，小学数学从一开始，就通过数字图、韦恩图等形式，一点点地将函数概念渗透在许多例题和习题中。2=9+6=4=8=图中说明，当一个加数固定不变时，“和”是随着另一个加数的变化而变化，对于另一个加数所取得的每一个值，我们都可以算得“和”的唯一的值与之对应。这里虽然没有函数概念的出现，但是已经清楚地说明：一个加数不变，“和”是另一个加数的函数。这些习题就计算而言没什么难度，关键是教师在教学时，要心中有函数思想，可以利用一些能够移动的卡片或课件等，让式中的数“动”起来，帮助学生发现运算结果是随着哪一个数的变化而变化，找出其对应关系。2、表格和图像中渗透函数思想。函数的表示方式一般有三种：解析式法，表格法和图像法。小学里，用表格和图像潜在的表示函数含义十分常见。课标中有一些事例：在右图中，描出两个数相加等于10的格子。再如，彩带每米售价4元，购买2米、3米、10米彩带分别需要多少钱，在方格纸上描出数对（长度，价钱）的对应点，并回答下面问题：（1）所描的点是否在一条直线上？（2）估计一下，买1.5米的彩带大约要花多少元？（3）小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？说明希望学生感受成正比例关系的数据与直线图形之间的关系，并且能够借助图形进行数据的估计。3、用解析式表示的函数小学数学中有许多计算公式，实际上是函数解析式。例如：长方形的面积公式s=ab圆面积公式s=r2三角形的面积公式s=dhS=vt小学数学中的函数观念，还将随着时代的发展继续有所加强。尽管教学中不必正面出现函数概念，但是数量之间的依赖关系以及集合之间的对应关系的观念，都需要有意识的培养。之所以如此，一方面是为了实际的需要，另一方面是为后续学习打下基础。九、分类都必须“不重不漏”吗？分类是一个重要的数学思想。儿童心理学表明，先有分类，按类别形成集合，然后才能形成数概念。分类是数学学习的起点。一个流行的说法是“数学分类必须不重不漏”，这一要求有逻辑上严格性的价值，但不能绝对化。分类可以相重。例如包含式分类：自然数整数有理数实数复数。等边三角形等腰三角形。分类可以不必“不漏”。如三角形分出等边三角形和等腰三角形就够了，何必来一个三边都不相等的三角形来？没有什么意义。再如方程概念可以进行部分分类，如一元一次方程，一元二次方程，却不可能对所有的方程一个不漏地分类。平行四边形是梯形吗？这是一个分类的习惯问题。中国的习惯是平行四边形不是梯形。理由是分类必须不重。如果用包含式分类，则答案应该是“平行四边形也是梯形”。此外，我们还可以遵循一种习惯性的约定：“一类对象中的退化对象仍然属于该类”，以便省掉一些无谓的区分。根据这样的观点，平行四边形是特殊的梯形，正方形是特殊的长方形，圆是特殊的扇形，平角也是角。至于通常讨论问题时，专指一般情形，不包括退化情形，以免逻辑上的混淆。这样的习惯，是一种约定俗成的人为结果，当然可以改变。“0是自然数是一个典型的例子。这里没有科学性的正确与否问题，不必太认真。对这种涉及“习惯的人为规定”，尤其不宜作为考题，学生答不对就扣分并不合理。十、0为什么也是自然数？历史上，人们认识自然数并将它用于记数，都是从1开始的。在古代中国、埃及，以及后来的古罗马等地使用的数码中，都没有表示零的数码。现在通用的表示零的数码“0”，大约在公元68世纪由印度人首先使用。我国的数学教科书在20世纪90年代以前，一直认为自然数从1开始，0不算自然数。原因是自然数包含0会带来行文上的不便。如“整除”部分，“约数”和“倍数”的概念中都不包括0.不把0作为自然数并不会对数学内容产生实质性的影响，也不会对国际数学交流产生妨碍。“0”作为自然数的理由是什么？1、中华人民共和国国家标准(1993年，GB3100-3102-93)规定，自然数包括0。2、从集合论的角度看，0与空集的基数相对应。（冯.诺伊曼的序数构造）中国老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”。“一”之前的这个“道”，正是0的位置。3、丰富了自然数系的代数结构。如a+0=a,0+0=0,a-0=a,a-a=0,0-0=0,a0=0,00=0,0a=0.4、0对于数的扩展十分重要。要将自然数系扩展到整数系，必须,添加0，然后再加入正整数的相反数，而0不是任何数的相反数。十进制计数时，也必须用到0，如10,1000等。一般情况下不说0是几位数，所以最小的一位数是1。十一、“1”为什么既不是质数，也不是合数？1只有一个因数即本身，因数必成双，所以1不能定义为合数。如果把1当成质数，那么每个整数的质因数分解，还得把1算上，很麻烦。所以把这一特殊情况除掉比较方便。这样做，都是为了方便而做的规定，没有特别深奥的含义。十二、3个7相加是写成37还是73？乘法的写法是算法优先还是语言优先？7+7+7用乘法书写时该怎么写？两种写法：7+7+7=73 7+7+7=37 这里7是基本量，3是一个算子（重复3次）。这个算子是写在前面好还是写在后面合适？以往世界上通行的写法是：73。理由是算法优先，即它的顺序符合以下的算法顺序：在20世纪，我国小学数学教学中一直使用写法，并认为写法是错误的。由于乘法交换律的成立，这样的做法引起数学家乃至整个社会广泛质疑。进入21世纪以后，数学课程标准（实验稿）第13页中认为“35也可以写成53”，采取回避矛盾，不分是非的态度，于是又引起争论。事实上，乘数（算子）和被乘数（基本量）是应该区分的。由于算术和代数保持一致是大势所趋，代数中3个x相加是写成3x而不是x3，所以算术中采取写法是合适的。这里，还要进一步说明的是：书写次序要符合语言次序，即语言优先的原则。数学词汇表达的顺序如果与掌握的语言顺序一致，有利于学生的学习。因此，既然中国口头语言说“3个7”相加（乘法口诀是三七二十一），那么书写次序也应该是“37”，即3在前，7在后。总之，乘法是连加而来的，3个7相加应该写成 37，理由是与代数保持一致以及语言优先原则。教学中只能先确定一种规范的写法，至于后来能够写成73，则是乘法交换侓说保证。十三、为什么要强调分数的“商”定义德国数学家克罗雷克有一句名言：“上帝创造了自然数，其余都是人为的”。第一个人为的是正分数。分数知识是普通百姓数学素养的重要组成部分，全世界的学生，无一例外的都要学习分数。在欧美各国的数学课程中，分数大都放到中学，我国的则要早些，20世纪60年代，分数内容安排在五年级，现在则在三年级就开始学了。这与中英文有关。中文数学名词三分之一、几分之几精确又达意，容易理解，而英文表达是“one-third”(一和第三），就比较费解了。亚洲许多使用汉字的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国要好，据说与此有关。分数的定义一般有四种：定义1(分数定义）：分数是单位1平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。定义2（商定义）：分数是两个整数相除的商。定义3（比定义）：分数是q与p之比。定义4（公理化定义）：有序的整数对（p,q),其中p0。关于分数的份数定义优点：这一定义的好处是直观，明白易懂，强调了“平均分”，特别对“几分之几”做了贴切的说明，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。进一步，不仅可以分一个物体，还可以分一群物体。在教学上选择适当的单位是理解分数的份数定义的关键。此外，把1p作为分数单位加以强调，能帮助学生了解分数的含义。缺点：首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。其次，平均分一个大饼之后的一份或几份的说法，常常误解为分数总小于1。第三，由于分大饼或其它直观图的思维定势，不能适当选择单位，形成思维上的僵化。结论：分数的份数定义可以作为起点，但是不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。关于分数的商定义“分数是整数q除以整数p所得的商”。根据这一定义，如果p能够整除q ，那么其商依然是整数。但是，如果p不能整除q ，那么qp是什么数呢？这就需要将整数扩展，引入新的数分数。分数的真正来源，在于自然数除法的推广。一个大饼，由四个人平均分，得到有确定大小的一块饼。这个客观存在的量，依除法的意义，应该是14所得的商。可是，这种除数大，被除数小的除法，以前是不能除，因而，也没有商的。于是“创新”的机会就来了。我们把已经认识的自然数当作“老朋友”，把 14的商看作“新朋友”，它的名字就叫做四分之一。认识了这样的新朋友，两个自然数之间的除法就可以进行了。从数学的观点来看，这一定义体现了数学的本质，符合数系扩张的数学思想。目前的小学数学教材大多回避了这一定义，只是用“分数和除法的关系，分数是分子除以分母”这样不着边际的话，蒙混过去。事实上，儿童能够懂得：一个大饼给两人平均分，每人只能分得一半，即“二分之一”。这时脑子如果始终是半个大饼，那就没有学好分数。我们应该帮助学生想到“二分之一”即12，是一个新数，比1小。如果4个人平均分一个大饼，每个人得到14，它也是一个新数。显然， 14 12。在过渡到分数的商定义时，在数射线上对分数作几何解释是非常重要的！这是一个半抽象的模型，可以充当分数的份数定义向商定义过渡的几何载体。这样表示的好处很多。首先，它的单位是抽象的“1”，可以帮助学生感知分数的含义。其次，这是数轴的雏形，早在学习自然数时，已经用过这样的表示方法。再次，通过操作可以看到分数是填在自然数之间的新数，位置在相邻两个自然数之间，并与分数大小、扩分、约分、通分，以及运算都可以呼应。我国的分数教学，擅长分数的计算，不大注意在数轴上直观地加以表示。其实，这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道，真分数是密密麻麻地分布在0,1区间上的。并要求学生在这个区间内画出所有以10为分母的真分数，加强分数与数射线之间的联系，乃是改进分数教学的一个方面。总之，分数是由除不尽引起的，这是分数的本质价值。由份数定义到商定义，是数系的扩充。这是一次跨越，一次升华。每个学生都必须面对。现在的教科书，对数的扩充只字不提。应该形象地告诉学生：“整数是老朋友，分数是新朋友”。从平均分到分数的份数定义，比较自然，也符合“几分之几”的称呼。因而是引入分数的首选。但是份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有摆脱自然数的表示。因此必须尽快过渡到分数的“商”定义。分数作为商，显示它是一个新的数，它有大小，画在数射线上一般位于两个自然数的中间。因此，分数的“商”定义才是分数的本质所在。十四、比的后项既然不能为0，为什么体育比赛中出现了“3:0”呢？要回答这个问题，首先要弄清什么是“比”。比是比较的简称。它既是数学名词，也是普通名词。一般地，比有以下几种用法。1、一般的质量之比。如：A比B美观等。2、一般的数量之比。如： A比B高2厘米， A比B大3岁。此外，我们也可以说足球比赛的比分是3:0.3、特定的倍数之比。即指A是B的若干倍，写成A:B，B不能为0。4、广义的除法之比。泛指一切除法中被除者和除者的关系，包括分式。如：“x+13x-5”是 x+1和3x-5之比。小学数学里，“比”是专有名词，指倍数之比。这种比都有比值，比的后项不能为0.足球比赛中3:0是数量之比，也称对比。这种对比，可以有比值，也可以没有比值。 3：0的对比就没有比值.十五、什么是随机事件？案例：一次公开教学，为了引出用分数表示可能性，教师创设了如下情境：“王老师收到一封表扬信，表扬我们班一位女同学帮助低年级小朋友，你们猜猜她是谁？”老师设想是引导学生用“可能”、“不可能”与“可能性”来回答，引出：不可能是男生；全班20个女生都有可能；每人的可能性是1/20.不料第一个学生回答就让教师尴尬：“不用猜，我知道她是”随机现象的结果以及这些结果的集合称为随机事件。什么是随机现象？通常是指在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律的现象。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一个可能结果叫做基本事件。随机试验所有可能结果的集合叫做样本空间。样本空间的任何一个子集称为随机事件。随机现象的三大特点1、可以在相同的条件下重复进行实验；2、其结果具有多种可能性；3、在每次试验前，不能预言将出现哪一种可能结果，但知道所有可能出现的结果。十六、教材中出现了哪几种概型？现象：很多教师对“抛纸杯”、“掷图钉”之类的实验都不感兴趣，即使教材中有，也常被舍弃，代之以“转盘游戏”，为什么呢？认为转盘更好玩，容易引起学生的兴趣古典概型所有可能结果的个数是有限的；每个结果具有等可能性。如：抛硬币、摸球、掷骰子等几何概型所有可能结果的个数是无限的；每个结果具有等可能性。 如：转盘游戏等统计概型每个结果不具有等可能性如：掷图钉、抛纸杯等非等可能性事件用计算的方法求概率是很困难的，只能用实验的方式得到。因此，非等可能的事件才真正需要统计概型，才能让学生感悟实验、统计的必要性。十七、古典概型的等可能性需要验证吗？案例：一位教师，为了通过实验得出“抛得次数越多，硬币正面朝上的可能性越接近一半”的结论，经过反复设计、试教、修改，正式公开教学时，还是出现了老师最不愿意面对的实验结果：抛得累计次数越多，误差越大。学生们议论纷纷，有的指出某小组抛的动作有问题，有的建议重新实验。最后，教师通过计算机模拟演示，并出示历史上几位数学家的实验数据，让学生相信了次数越多，越接近一半的结论。历史上几位数学家抛硬币数据试验者抛币次数正面朝上次数反面朝上次数费勒1000049795021皮尔逊240001201211988罗曼诺夫斯基806403969940941是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。问：连续丢5次硬币，都是国徽朝上，第6次丢时国徽朝下的可能性会变大吗？大数定律需要成千上万次试验，才能彼此接近。区区5、6次何以显示出规律来。通常认为，古典概型的等可能性，一般不是通过实验验证的，往往是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。古典概型中的等可能性事件，发生的概率往往是通过计算的方法求得，一般不通过实验获得。要做实验也仅限于加深学生对随机现象的认识，而不是为了验证概率的多少。十八、统计教学的核心是什么？核心是发展学生的“统计观念”(修订前）和数据分析观念”（修订后）数据分析观念第一、了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵信息的。（统计意识）第二、了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。（统计过程）第三、通过数据分析体验随机性。（统计过程）统计过程的三个阶段数据的采集图表的制作图表的解读过去对鱼头（数据的采集）、鱼尾（图表的解读）重视不够，把主要精力放在“烧中段”（图表的制作）上。现在则主张“烧全鱼”，即吃好“鱼头”、“鱼尾”，适度兼顾中段。让学生涂格子、画条形、描点、连线的作用，主要在于“手脑并用”、“数形结合”，以帮助学生积累数据的“量感”，感知数量的变化，而不是训练制作图表的操作工。结束语：走专业成长的“民间道路”一篇好文章：“教师专业成长的民间道路”（人民教育，2009年第20期）这是关于福建仙游县一个偏僻的山村小学中由教师自发组成的读书会的介绍。一点希望愿我们大家都能真正静下心来，认认真真地读一些书；愿我们大家都能真正静下心来，认认真真地想一些问题；愿我们大家都能真正静下心来，认认真真地作一些事。