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2012年泉州市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.1. 复数等于 ABCD2. 已知集合,则等于A. B. C. D.(第4题图)结束开始输出S是否3. 已知,则等于 ABC5D25 4. 执行右侧框图所表达的算法,如果最后输出的值为,那么判断框中实数的取值范围是A B C D5. 下列四个条件:,均为直线; ,是直线,是平面; 是直线,是平面;,均为平面.其中,能使命题“”成立的有 A1个 B2个 C3个 D4个6. 已知实数满足则的最大值是A5 B-1 C2 D. 7. 已知二次函数,则“”是“函数在单调递增”的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知分别为椭圆的左右顶点,椭圆上异于的点恒满足,则椭圆的离心率为 A B C D9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法:(1)在该校中随机抽取100名学生,并编号为1,2,3,,100;(2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球,记住其颜色并放回;(3)请下列两类学生举手:()摸到白球且号数为偶数的学生;()摸到红球且不喜欢数学课的学生. 如果总共有26名学生举手,那么用概率与统计的知识估计,该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.88% B. 90% C. 92% D.94%10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后,能得到某一个函数的图象,则旋转角可以是A B C D 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分将答案填在答题卡的相应位置.11. 已知等差数列中, ,则 .12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图的面积为 .13. 在中,则周长的最大值为 . 14. 已知,设,则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为 . 15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如:“云边月影沙边雁,水外天光山外树”,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”,读起来还真有趣!二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个;三位的回文数有101,111,121,131,969,979,989,999,共90个;四位的回文数有1001,1111,1221,9669,9779,9889,9999,共90个;由此推测:10位的回文数总共有个.三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知点,直线,动点到点的距离等于它到直线的距离.()试判断点的轨迹的形状,并写出其方程.()是否存在过的直线,使得直线被截得的弦恰好被点所平分? 17.(本小题满分13分)将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置,其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为,已知.()试用表示的坐标(要求将结果化简为形如的形式); ()定义:对于直角坐标平面内的任意两点、,称为、两点间的“taxi距离” ,并用符号表示.试求的最大值.18.(本小题满分13分)已知等10所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.()如果该同学10所高校的考试都参加,试求恰有2所通过的概率;()假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元,该同学决定按顺序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.19. (本小题满分13分)如图,侧棱垂直底面的三棱柱中,是侧棱上的动点.()当时,求证:;()试求三棱锥的体积取得最大值时的值;()若二面角的平面角的余弦值为,试求实数的值.20.(本小题满分14分)已知,().()请写出的表达式(不需证明);()设的极小值点为,求;()设, 的最大值为,的最小值为,试求的最小值.21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.作(1)(本小题满分7分)选修42:矩阵与变换若二阶矩阵满足.()求二阶矩阵;()把矩阵所对应的变换作用在曲线上,求所得曲线的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为非零常数,为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线的方程为.()求曲线C的普通方程并说明曲线的形状;()是否存在实数,使得直线与曲线C有两个不同的公共点、,且(其中为坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.(3)(本小题满分7分)选修45:不等式选讲已知函数的最小值为,实数满足.()求的值;()求证:一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分50分 1 A 2B 3C 4A 5C 6 D 7C 8D 9B 10C 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算每小题4分,满分20分.11 12 13. 14 1590000 三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等满分13分解:()因点到点的距离等于它到直线的距离,所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线, 2分其方程为. 5分()解法一:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,依题意,得. 6分当直线的斜率不存在时,不合题意. 7分当直线的斜率存在时,设直线的方程为,8分联立方程组,消去,得,(*) 9分,解得. 10分此时,方程(*)为,其判别式大于零, 11分存在满足题设的直线 12分且直线的方程为:即. 13分解法二:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,依题意,得. 6分易判断直线不可能垂直轴, 7分设直线的方程为,8分联立方程组,消去,得, 9分, 直线与轨迹必相交. 10分又,. 11分存在满足题设的直线 12分且直线的方程为:即. 13分解法三:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,依题意,得. 6分在轨迹上,有,将,得. 8分当时,弦的中点不是,不合题意, 9分,即直线的斜率, 10分注意到点在曲线的张口内(或:经检验,直线与轨迹相交)11分存在满足题设的直线 12分且直线的方程为:即. 13分17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想满分13分解:()解法一:因为, 2分所以 3分. 7分解法二:平移到(移到,移到),2分由的坐标与的坐标相等,都等于点的坐标. 3分由平几知识易得直线的倾斜角为,根据三角函数的定义可得,所以. 7分()解法一:,8分, 9分 11分, 12分所以当时,取得最大值. 13分解法二:,8分,即,. 9分, , 10分+ , 12分所以当时,取得最大值. 13分18. 本题主要考查概率与统计的基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想等满分13分解:()因为该同学通过各校考试的概率均为,所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为. 4分()设该同学共参加了次考试的概率为()., 所以该同学参加考试所需费用的分布列如下:2345678910 7分所以, 8分令, (1)则, (2)由(1)-(2)得,所以, 11分所以(元). 13分19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解:()证法一:面,.又,四边形是正方形,. 1分,. 2分又, . 3分,. 4分证法二:面,.又,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 1分则, 2分. 3分又. 4分证法三:面,.又,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 1分则,.设平面的法向量,则,解得.令,则, 3分, . 4分(),点到平面的距离等于点到平面的距离, 5分,令,得(舍去)或,列表,得1+0递增极大值递减当时,. 8分()分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则,,. 9分设平面的法向量,则,解得,令,则. 10分设平面的法向量,则.由于,所以解得.令,则. 11分设二面角的平面角为,则有.化简得,解得(舍去)或. 所以当时,二面角的平面角的余弦值为. 13分20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想满分14分解:() (). 4分(),当时,;当时,.当时,取得极小值,即(). 8分() 解法一:,所以.9分又,令,则. 10分在单调递增,存在使得. 12分在单调递增,当时,;当时,即在单调递增,在单调递减, 又,当时,取得最小值. 14分解法二: ,所以.9分又,令, 则,10分当时,又因为,所以,所以,所以.12分又, 当时,取得最小值. 14分21.(1)选修42:矩阵与变换本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识,考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解:()记矩阵,故,故. 2分由已知得. 3分()设二阶矩阵所对应的变换为,得,解得, 5分又,故有,化简得.故所得曲线的方程为. 7分(2)选修44:坐标系与参数方程本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解:(),可将曲线C的方程化为普通方程:. 1分当时,曲线C为圆心在原点,半径为2的圆; 2分当时,曲线C为中心在原点的椭圆. 3分()直线的普通方程为:. 4分联立直线与曲线的方程,消得,化简得.若直线与曲线C有两个不同的公共点,则,解得.5分又 6分故.解得与相矛盾. 故不存在满足题意的实数. 7分(3)选修45;不等式选讲本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力以及推理论证能力,考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解:()法一: ,2分可得函数的最小值为2.故. 3分法二:, 2分当且仅当时,等号成立,故. 3分() 5分 即:, 故. 7分
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