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睿资教育学科讲义教师: 王道标 学生: 任嘉欣 日期: 2013.07.09 时段: 9:00-11:30 第一讲 集合【考纲解读】（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2在具体情境中，了解全集与空集的含义。（三）集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。【命题规律分析】 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度不大，一般是一道选择题或填空题。通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算。一是与其他知识相联系，以集合语言和集合思想为载体，考查函数的定义域、值域、函数、方程与不等式的关系、直线与曲线的位置关系等问题。特别需要注意的是越来越多的集合问题以考查数学思想方法为切入点，广泛考查数形结合思想、分类讨论思想、逻辑划分思想、函数方程思想、化归思想等，并辅之以图象法、配方法等。【知识回顾】1.集合中元素的个性质，集合的种表示方法；2.若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个3.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.4.有关集合的一些简单性质及结论：若，则；;.5.交集：且；并集：或；补集：若,则且；【考点剖析】考点一：集合中元素的特征例1 设集合，求实数的值.难度分级：A选题意图：本题考查了补集的运算，需要提醒学生注意的是当最后求出参数的范围时需要对其进行验证，以防取到不满足题意的解。答案解析：由题意可知，易得或。当时，符合题意。当时，不符合题意，舍去。故。例2 若,集合求的值.难度分级：B选题意图：本题考查了集合相等的概念，第一眼看上去学生可能会觉得情况比较多，题目比较复杂，但是只要你发现了这个条件，就会发现问题其实很简单。当然最后不要忘了检验的过程，尤其要提醒学生注意。答案解析：由可知，则只能，则有以下对应关系： 或 由得符合题意；无解.所以.考点二：集合的表示方法例3. 设集合，则 .难度分级：A选题意图：本题考查了学生对描述法的掌握，要解决集合概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集，是函数的定义域，还是函数的值域等。答案：解析：由 ， 解得 所以. 例4. 已知集合.（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值；（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围.难度分级:B选题意图：本题在考查集合的表示方法的同时，也考查了二次函数的内容。二次函数是高中阶段非常重要的一种函数，关于它的根的分布的问题也一直是考查的热点，本题中二次函数的首项系数为，所以需要讨论，要提醒学生注意。答案解析：集合A是方程在实数范围内的解集.(1)A是空集，方程无解.=4-12m.（2）A中只有一个元素，方程只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解=;若m0，则=0，即4-12m=0,m=.m=0或m=.(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m.考点三：集合间的基本关系例5. 已知,或.(1)若,求的取值范围;(2) 若,求的取值范围.难度分级：B选题意图：本题考查集合间的基本关系和集合的运算，在这里我们要提醒学生将转化为，另外要注意学生利用数轴表示不等式之间这种包含关系的能力。答案解析： (1), ，解之得.(2) , . 或， 或若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.例6（1），求的值。（2），求的值。难度分级：B选题意图：本题考查了集合间的基本关系，第一问要注意参数的讨论，不要漏掉，第二问可以借助数轴帮助我们分析。答案解析：（1）0,S，P成立 0，S，由SP，P3，1得320，或20，2； 值为0或或2.（2）B，即m12m1,m2 A成立. B，由题意得得2m3m2或2m3 即m3为取值范围.考点四：集合的运算例7 已知集合， （1）当时，求；（2）若，求实数的值.难度分级：B选题意图：本题考查集合的运算。答案解析：由得-15,A=.（1）当m=3时，B=，则=，=.(2)A=有42-24-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8.例8 设集合（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.难度分级：B选题意图：本题较好的考查了集合间的基本关系和集合的运算。答案解析：由得,故集合A= （1）AB2B，代入B中的方程，得2+4+3=0,=-1或=-3;当=-1时，B=满足条件；当=-3时，B=满足条件；综上，的值为-1或-3. （2）对于集合B，.AB=A，BA,当0,即-3时，B=，满足条件；当=0，即=-3时，B，满足条件；当0，即-3时，B=A=才能满足条件， 则由根与系数的关系得即矛盾；综上，的取值范围是-3.（3）A（）=A，A，A 若B=，则0适合；若B，则=-3时，B=，AB=，不合题意；-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得=-1或=-3（舍去）；将1代入B的方程得2+2-2=0-1且-3且-1 综上，的取值范围是-3或-3-1-或-1-1或-1-1+或-1+. 考点五：与集合有关的新概念问题例9 定义集合运算：。设，则集合的所有元素之和为（ ）.0 .2 .3 .6难度等级：A选题意图：从题目看本题是一道新概念的问题，但实际上本题考查了学生对于集合的概念的理解，只有能够正确理解集合的表示方法，相信不难得到正确答案。答案：D分析：由定义知，故所有元素之和为6.例10 设为复数集的非空子集，若对任意，都有，则称为封闭集。下列命题：集合；若为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集。其中的真命题是 .（写出所有真命题的序号）难度等级：C选题意图：本题将集合与复数结合，既考查了学生对集合概念的理解，也考查了复数的运算，关键是有效考查了学生的逻辑思维能力，是一道好题。答案：分析：对于命题，取，其中，则，所以，。而，所以，故为封闭集，为真命题；对于命题，取，则，为真命题；对于，若，则为封闭集，故为假命题；对于，取，则为封闭集，但不为封闭集，故为假命题。拓展训练：集合满足，则称（）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，（）与（）为集合A的同一种分拆，则集合A=的不同分拆种数为多少？解析：当时，=A,此时只有1种分拆；当为单元素集时，=或A，此时有三种情况，故拆法为6种；当为双元素集时，如=，B=、，此时有三种情况，故拆法为12种；当为A时，可取A的任何子集，此时有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法。拓展训练：(2006年四川理科)非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有； （2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算： 其中关于运算为“融洽集”_;（写出所有“融洽集”的序号）答案：解析: ,满足任意，都有，且令，有，所以符合要求；,若存在，则，矛盾， 不符合要求；,取，满足要求， 符合要求；，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以不符合要求；，两个虚数相乘得到的可能是实数， 不符合要求，这样关于运算为“融洽集”的有。【课后作业】一、填空题1. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 【答案】B【解析】由，得，则,选B.2. 设集合，则 （ ） A B C D【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.， ，故选A.3. 集合,若,则的值为( )A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】:,。4. 若集合则AB是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合，5. 已知是两个向量集合，则 ( )A(1，1) B. (-1，1) C. (1，0) D. (0，1)【答案】A【解析】因为代入选项可得(1,1).6 设集合，则（ ）A B C D 【答案】B 【解析】；，整数的范围大于奇数的范围7 下列表述中错误的是（ ）A 若 B 若C D 【答案】C 【解析】当时，二、填空题8. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_ . . 【答案】a1 【解析】因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。9. 若，则 【答案】（0，3）【解析】因为所以 10. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.【答案】6【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.因此，符合题意的集合是：共6个.故应填6.三、解答题12. 已知，,求的取值范围 【解析】当，即时，满足，即；当，即时，满足，即；当，即时，由，得即；13.已知集合,且,求的取值范围 【解析】，当时，而 则 这是矛盾的；当时，而，则； 当时，而，则； 14.设，集合，若，求的值 【解析】，由，当时，符合；当时，而，即或
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