数列通项公式求法学案

数列通项公式的常见求法学案 一 观察归纳法 观察数列的特征 横向看各项之间的关系结构 纵向看各项与项数 n 的内在联 系 从而归纳出数列的通项公式 例 1 写出下列各数列的一个通项公式 496 2507 1 3 486 21 203 2005 20007 0 2 0 22 0 222 0 2222 1 0 1 0 3157 246 二 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 例 2 等差数列 是递增数列 前 n 项和为 且 成等比数列 求数 nanS931 a25aS 列 的通项公式 n 解 设数列 公差为 0 d 成等比数列 931 9123a 即 8 2 1ada 0 5S 211 4 25d 由 得 31 ad nn5 5 练一练 1 已知等差数列 的公差 大于 且 是方程 的两根 数列 052a02712 x nb 的前 项和为 且 求数列 的通项公式 nTnb21 nb 三 累加法 若 求 f n 可以是关于 n 的一次函数 二次函数 指数函1 naf na 数 分式函数形式的函数 1 若 f n 是常数 则为等差数列 利用等差数列通项公式即可 若 f n 是关于 n 的 一次函数 累加后转化为等差数列求和 例 3 已知 na的首项 1 nan2 N 求通项公式 解 21 1 n 3 32 a 12 nnan 21 2 练习 已知数列 满足 则 n1an 1 2 na 2 若 f n 是二次函数形式 累加后利用分组求和 例 4 已知数列 满足 求 补充 n11 na n 222 136 3 若 f n 是含指数函数形式 累加后转化等比数列求和 例 5 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na1123nnaa na 解 由 得 则123n 1nn 12321211 333 33nnnnnaaaa 所以 1 na 练习 已知 中 3 a nna21 求 4 若 f n 是关于 n 的分式函数 累加后可裂项求和 例 6 在数列 中 a113 1 nnaa 求 练习 已知数列 满足 求此数列的通项公式 na31 2 11 nan 四 累乘法 适用于 的形式 其中 f 1 f 2 f 3 f n 的值可求 1 nnafa 例 7 11 2 nnna 在 数 列 中 已 知 有 na求 数 列 的 通 项 公 式 练习 1 1 14 5nn naaa 在 数 列 中 已 知 有 求 数 列 的 通 项 公 式 2 提高 数列 各项均为正数 且 na1a 211 0 nnnaa 求 五 构造法 1 形如 的递推数列都可以用待定系数法1 01 0 nnaABAB 为 常 数 且 转化为公比为 A 的等比数列后 再求 na i 若 A 1 时 数列 为等差数列 若 B 0 时 数列 为等比数列 nana ii 时方法 令 则 则 为公比等1 0B 1 ntAt tB 求 t即 可 nat 于 A 的等比数列 利用公式求解 例 8 已知数列 中 求 na1321 nan 解 设递推公式 可以转化为 即 故32 n 1tt 321 tan 递推公式为 令 则 且 3 21 nna3 nab431 ab231 nab 所以 是以 为首项 2 为公比的等比数列 则 所以 nb41 12 nn 1 练习 1 已知 求 1 3na na 2 形如 其中 q 是常数 且 n 0 1 nnqap 1 若 p 1 时 即 累加即可 nn 1 若 时 即 1 p nnqap 1 求通项方法有以下三种方向 i 两边同除以 目的是把所求数列构造成等差数列1 np 即 令 则 然后类型 1 累加求 nnqpap 11 nab nnqpb 1 通项 ii 两边同除以 目的是把所求数列构造成等差数列 即 令 1 nq q apqnn1 nab 则可化为 然后转化为类型 1 来解 bpnn1 iii 待定系数法 目的是把所求数列构造成等差数列 设 通过比较系数 求出 转化为等比数列求通项 11 nnnn paqa 注意 应用待定系数法时 要求 p q 否则待定系数法会失效 例 9 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na 11243nna na 解法一 待定系数法 设 比较系数得 112 nnn 124 则数列 是首项为 公比为 2 的等比数列 143na 11435a 所以 即 152nn 11nn 解法二 两边同除以 两边同时除以 得 下面解法略 1 nq13n 1243nna 解法三 两边同除以 两边同时除以 得 下面解法略 1 np12 n nn 1 练习 1 已知 na中 112 nn naa 求 扩展视野 3 形如 时将 作为 求解21 nnapqa n f 分析 原递推式可化为 的形式 比较系数可求得 数列211 nna 为等比数列 1na 例 10 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na211256 nnaa na 解 设 211 nn 比较系数得 或 不妨取 取 3 结果形式可能不同 但本质相同 3 22 则 则 是首项为 4 公比为 3 的等比数列211 nnaa 1na 所以143n 14352nn 练习 数列 中 若 且满足 求 na 821a03412 nnaan 答案 n3 六 倒数法 形如 的递推数列都可以用倒数法求通项 分子只有一项1nakb 例 11 31 an 解 取倒数 113 nnna 是等差数列 na1 1 n 3 21 na 练一练 1 已知数列 中 a a a n N 求 a nn121 nn n 七 阶差法 逐项相减法 递推公式中既有 又有nSna 分析 把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系 然后采用1 2nnSa naS 相应的方法求解 例 12 已知数列 的前 项和 满足 求数列 的通项公式 nn 1 ann 解 由 1211 aS 当 时 有 2 21 nnnn 1 na 21 12a21 nnnn 1 2 33 11 nnn 经验证 也满足上式 所以a 1 2 3 nna 点评 利用公式 求解时 要注意对 n 分类讨论 但若能合写时一 11Snn 定要合并 练一练 1 数列 满足 求 na11154 3nna n 2 已知数列 中 且 求数列 的通项公式 na0 n2 1 nnaS na