2018年中考数学专题复习卷《锐角三角函数》含解析

2018 年中考数学专题复习卷含解析 1 锐角三角函数 一 选择题 1 计算 A B 1 C D 答案 B 解析 tan 45 1 故答案为 B 分析 根据特殊锐角三角函数值即可得出答案 2 下列运算结果正确的是 A 3a3 2a2 6a6 B 2a 2 4a2 C tan45 D cos30 答案 D 解析 A 原式 6a 5 故不符合题意 B 原式 4a 2 故不符合题意 C 原式 1 故不符合题意 D 原式 故符合题意 故答案为 D 分析 根据单项式乘以单项式 系数的积作为积的系数 对于相同的字母 底数不变 指数相加 积 的乘方 等于把积中的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 根据特殊锐角三角函数值即可一一得 出答案 再进行判断即可 3 如图 在菱形 ABCD中 对角线 AC BD 相交于点 0 BD 8 tan ABD 则线段 AB的长为 A B 2 C 5 D 10 2018 年中考数学专题复习卷含解析 2 答案 C 解析 菱形 ABCD BD 8 AC BD 在 Rt ABO 中 AO 3 故答案为 C 分析 根据菱形的对角线互相垂直平分 得出 AC BD 求出 BO的长 再根据锐角三角函数的定义 求 出 AO的长 然后根据勾股定理就可求出结果 4 数学活动课 老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度 如图 老师测得大树前斜坡 的 坡度 i 1 4 一学生站在离斜坡顶端 的水平距离 DF为 8m处的 D点 测得大树顶端 A的仰角为 已 知 BE 1 6m 此学生身高 CD 1 6m 则大树高度 AB为 m A 7 4 B 7 2 C 7 D 6 8 答案 D 解析 如图所示 过点 C作 延长线于点 G 交 EF于点 N 2018 年中考数学专题复习卷含解析 3 根据题意可得 计算得出 设 则 故 即 计算得出 故 则 故答案为 D 分析 将大树高度 AB放在直角三角形中 解直角三角形即可求解 即 过点 C作 C G A B 延长 线于点 G 交 EF于点 N 因为斜坡 D E 的坡度 i 1 4 所以 解得 EF 2 而 sin 设 AG 3x 则 AC 5x 所以 BC 4x 即 8 1 6 4x 解得 x 2 4 所以 AG 2 4 3 7 2m 则 AB AG BG 7 2 0 4 6 8m 5 如图 电线杆 CD的高度为 h 两根拉线 AC与 BC相互垂直 CAB 则拉线 BC的长度为 A D B 在同一条直线上 A B C D h cos 答案 B 解析 CAD ACD 90 ACD BCD 90 CAD BCD 在 Rt BCD 中 cos BCD BC 2018 年中考数学专题复习卷含解析 4 故选 B 分析 根据同角的余角相等得 CAD BCD 由 os BCD 知 BC 6 如图 ABC 内接于 O AD 为 O 的直径 交 BC于点 E 若 DE 2 OE 3 则 A 4 B 3 C 2 D 5 答案 A 解析 如图 连接 BD CD DO 2 OE 3 OA OD 5 AE OA OE 8 ABE EDC AEB DEC ABE DEC 同理可得 AEC BED 由 得 2018 年中考数学专题复习卷含解析 5 AD 是直径 ABD ACD 90 tan ACB ADB tan ABC tan ADC tan ACB tan ABC 4 故答案为 A 分析 根据 OD和 OE的长 求出 AE的长 再根据相似三角形的性质和判定 得出 利 用锐角三角函数的定义 可证得 tan ACB tan ABC 代入求值即可 7 在 Rt ABC 中 C 90 AC 4 cosA 的值等于 则 AB的长度是 A 3 B 4 C 5 D 答案 D 解析 Rt ABC 中 C 90 cosA 的值等于 cos A 解之 AB 故答案为 D 分析 根据锐角三角函数的定义 列出方程 cos A 求出 AB的值即可 8 如图 一艘轮船在 A处测得灯塔 P位于其北偏东 60 方向上 轮船沿正东方向航行 30海里到达 B处 后 此时测得灯塔 P位于其北偏东 30 方向上 此时轮船与灯塔 P的距离是 A 15 海里 B 30 海里 C 45 海里 D 30 海里 2018 年中考数学专题复习卷含解析 6 答案 B 解析 作 BD AP 垂足为 D 根据题意 得 BAD 30 BD 15 海里 PBD 60 则 DPB 30 BP 15 2 30 海里 故选 B 分析 作 CD AB 垂足为 D 构建直角三角形后 根据 30 的角对的直角边是斜边的一半 求出 BP 9 如图 在 中 则 等于 A B C D 答案 A 解析 在 Rt ABC 中 AB 10 AC 8 BC sinA 故答案为 A 分析 首先根据勾股定理算出 BC的长 再根据正弦函数的定义即可得出答案 10 一艘在南北航线上的测量船 于 A点处测得海岛 B在点 A的南偏东 30 方向 继续向南航行 30海里 到达 C点时 测得海岛 B在 C点的北偏东 15 方向 那么海岛 B离此航线的最近距离是 结果保留小数 点后两位 参考数据 A 4 64海里 B 5 49海里 C 6 12海里 D 6 21海里 2018 年中考数学专题复习卷含解析 7 答案 B 解析 根据题意画出图如图所示 作 BD AC 取 BE CE AC 30 CAB 30 ACB 15 ABC 135 又 BE CE ACB EBC 15 ABE 120 又 CAB 30 BA BE AD DE 设 BD x 在 Rt ABD 中 AD DE x AB BE CE 2x AC AD DE EC 2 x 2x 30 x 5 49 故答案为 B 分析 根据题意画出图如图所示 作 BD AC 取 BE CE 根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出 BA BE AD DE 设 BD x Rt ABD 中 根据勾股定理得 AD DE x AB BE CE 2x 由 AC AD DE EC 2 x 2x 30 解之即可得出答案 二 填空题 11 在 ABC 中 C 90 若 tanA 则 sinB 答案 2018 年中考数学专题复习卷含解析 8 解析 如图所示 C 90 tanA 设 BC x 则 AC 2x 故 AB x 则 sinB 故答案为 分析 根据正切函数的定义由 tanA 设 BC x 则 AC 2x 根据勾股定理表示出 AB的长 再根据 正弦函数的定义即可得出答案 12 如图 在菱形纸片 ABCD中 将菱形纸片翻折 使点 A落在 CD的中点 E处 折 痕为 FG 点 分别在边 上 则 的值为 答案 解析 如图 作 EH AD 于 H 连接 BE BD AE 交 FG于 O 因为四边形 ABCD是菱形 A 60 所以 ADC 是等边三角形 ADC 120 点 E是 CD的中点 所以 ED EC BE CD 2018 年中考数学专题复习卷含解析 9 Rt BCE 中 BE CE 因为 AB CD 所以 BE AB 设 AF x 则 BF 3 x EF AF x 在 Rt EBF 中 则勾股定理得 x 2 3 x 2 2 解得 x Rt DEH 中 DH DE HE DH Rt AEH 中 AE 所以 AO Rt AOF 中 OF 所以 tan EFG 故答案为 分析 作 EH AD 于 H 连接 BE BD AE 交 FG于 O 根据菱形的性质及等边三角形的 判定方法得出 ADC 是等边三角形 ADC 120 根据等边三角形的三线合一得出 ED EC BE CD Rt BCE 中 根据勾股定理得出 BE CE的长 根据平行线的性质得出 BE AB 设 AF x 则 BF 3 x EF AF x 在 Rt EBF 中 则勾股定理得出方程求解得出 x的值 Rt DEH 中 DH DE HE DH Rt AEH 中 利用勾股定理得出 AE的长 进而得出 AO的长 Rt AOF 中 利用勾股定理算出 OF的长 根据正切函数的定义得出答案 13 如图 在 Rt ABC 中 B 90 C 30 BC 以点 B为圆心 AB 为半径作弧交 AC于点 E 则图中阴影部分面积是 2018 年中考数学专题复习卷含解析 10 答案 解析 连接 BE B 90 C 30 BC A 60 AB 1 AB EB ABE 是等边三角形 ABE 60 S 弓形 S 扇形 ABE S ABE 故答案为 分析 连接 BE 因为 B 90 C 30 BC 由 C 的正切可得 tan C 所以 AB 1 由题意以点 B为圆心 AB 为半径作弧交 AC于点 E可得 AB EB 所以 ABE 是等边三角形 则 ABE 60 图中阴影部分面积 扇形 ABE的面积 三角形 ABE的面积 1 14 如图 某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB 飞机上的测量人员在 C处测得 A B 两点的俯角 分别为 45 和 30 若飞机离地面的高度 CH为 1200米 且点 H A B 在同一水平直线上 则这条江的 宽度 AB为 米 结果保留根号 答案 解析 依题可得 ACD 45 BCD 30 CH 1200 CD AB CAH ACD 45 CBH BCD 30 AH CH 1200 设 AB x米 在 Rt CHB 中 tan CBH 2018 年中考数学专题复习卷含解析 11 即 解得 x 1200 1200 故答案为 1200 1200 分析 根据平行线的性质结合已知条件得 CAH ACD 45 CBH BCD 30 设 AB x米 在 Rt CHB中 根据正切三角函数定义建立等式 代入数值解方程即可得 AB长 15 如图 在菱形 ABCD中 AB 2 B 是锐角 AE BC 于点 E M 是 AB的中点 连结 MD ME 若 EMD 90 则 cosB的值为 答案 解析 延长 DM交 CB的延长线于 H 四边形 ABCD为菱形 AB AD BC 2 AD BC ADM H 又 M 是 AB的中点 AM BM 1 在 ADM 和 BHM 中 ADM BHM AAS DM HM AD BH 2 EM DM EH ED 设 BE x 2018 年中考数学专题复习卷含解析 12 EH ED 2 x AE BC AEB EAD 90 AE 2 AB2 BE2 ED2 AD2 即 22 x2 2 x 2 22 化简得 x 2 2x 2 0 解得 x 1 在 Rt ABE 中 cosB 故答案为 分析 延长 DM交 CB的延长线于 H 由菱形的性质和平行线的性质可得 AB AD BC 2 ADM H 由全 等三角形的判定 AAS得 ADM BHM 再根据全等三角形的性质得 DM HM AD BH 2 根据等腰三角形三线 合一的性质可得 EH ED 设 BE x 则 EH ED 2 x 根据勾股定理得 AE2 AB2 BE2 ED2 AD2 代入数值解这个方 程即可得出 BE的长 16 如图 在边长为 1的小正方形网格中 点 A B C D 都在这些小正方形的顶点上 AB CD 相交于点 O 则 tan AOD 答案 2 解析 连接 BE交 CF于点 G 如图 四边形 BCEF是边长为 1的正方形 BE CF BE CF BG EG CG FG 又 BF AC 2018 年中考数学专题复习卷含解析 13 BFO ACO CO 3FO FO OG CG 在 Rt BGO 中 tan BOG 2 又 AOD BOG tan AOD 2 故答案为 2 分析 连接 BE交 CF于点 G 如图 根据勾股定理得 BE CF 再由正方形的性质得 BE CF BG EG CG FG 又根据相似三角形的判定得 BFO ACO 由相似三角形的性质得 从而得 FO OG CG 在 Rt BGO 中根据正切的定义得 tan BOG 2 根据对顶角相等从而得出答案 17 如图 在 的正方形方格图形中 小正方形的顶点称为格点 的顶点都在格点上 则 的正弦值是 答案 解析 AB 2 32 42 25 AC 2 22 42 20 BC 2 12 22 5 AC 2 BC2 AB2 ABC 为直角三角形 且 ACB 90 则 sin BAC 故答案为 分析 首先根据方格纸的特点 算出 AB2 AC2 BC2 然后根据勾股定理的逆定理判断出 ABC 为直角 三角形 且 ACB 90 根据正弦函数的定义即可得出答案 2018 年中考数学专题复习卷含解析 14 18 一副含 30 和 45 角的三角板 ABC和 DEF叠合在一起 边 BC与 EF重合 BC EF 12cm 如图 1 点 G为边 BC EF 的中点 边 FD与 AB相交于点 H 此时线段 BH的长是 现将三角板 DEF绕点 G 按顺时针方向旋转 如图 2 在 CGF 从 0 到 60 的变化过程中 点 H相应移动的路径长共为 结果保留根号 答案 解析 如图 如图 1中 作 HM BC 于 M HN AC 于 N 则四边形 HMCN是正方形 设边长为 a 在 Rt ABC 中 ABC 30 BC 12 AB 8 在 Rt BHM 中 BH 2HM 2a 在 Rt AHN 中 AH a 2a 8 a 6 6 BH 2a 12 12 2018 年中考数学专题复习卷含解析 15 如图 2中 当 DG AB 时 易证 GH1 DF BH1的值最小 则 BH1 BK KH1 3 3 HH 1 BH BH1 9 15 当旋转角为 60 时 F 与 H2重合 易知 BH2 6 观察图象可知 在 CGF 从 0 到 60 的变化过程中 点 H相应移动的路径长 2HH 1 HH2 18 30 6 12 12 12 18 故答案为 12 12 12 18 分析 如图 1中 作 HM BC 于 M HN AC 于 N 则四边形 HMCN是正方 形 设边长为 a 利用解直角三角形求出 AB的长 用含 a的代数式分别表示 BH AH 的长 再根据 AB AH BH 就可求出 a的值 从而求出 BH的值即可 如图 2中 当 DG AB 时 易证 GH1 DF 得出此时 BH1的值最小 求出 BH1的值 再求出 BH2的值 然后求值在 CGF 从 0 到 60 的变化过程中 点 H相应 移动的路径长即可 三 解答题题 19 先化简 再求值 其中 a 2sin60 tan45 答案 解 原式 a 1 a 1 2018 年中考数学专题复习卷含解析 16 当 a 2sin60 tan45 2 1 1 时 原式 解析 分析 将原式括号内通分 将除法转化为乘法 再计算减法 最后约分即可化简原式 根据 特殊锐角三角函数值求得 a的值 代入即可 20 为了计算湖中小岛上凉亭 P到岸边公路 l的距离 某数学兴趣小组在公路 l上的点 A处 测得凉亭 P 在北偏东 60 的方向上 从 A处向正东方向行走 200米 到达公路 l上的点 B处 再次测得凉亭 P在北 偏东 45 的方向上 如图所示 求凉亭 P到公路 l的距离 结果保留整数 参考数据 答案 解 依题可得 AB 200 米 PAC 60 PBD 45 令 PG x米 作 PG l PAG 30 PBG 45 PBG 为等腰直角三角形 BG PG x 在 Rt PAG 中 tan30 即 x 100 1 273 答 凉亭 P到公路 l的距离是 273米 2018 年中考数学专题复习卷含解析 17 解析 分析 令 PG x米 作 PG l 根据题意可得 PBG 为等腰直角三角形 即 BG PG x 在 Rt PAG中 根据锐角三角函数正切定义可得 tan30 代入数值解方程即可 21 如图 湛河两岸 AB与 EF平行 小亮同学假期在湛河边 A点处 测得对岸河边 C处视线与湛河岸的夹 角 CAB 37 沿河岸前行 140米到点 B处 测得对岸 C处的视线与湛河岸夹角 CBA 45 问湛河的宽 度约多少米 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 答案 解 过 C作 CD AB 于点 D 设 CD x米 在 Rt BDC 中 CDB 90 CBD 45 BD CD x 在 Rt ADC 中 ADC 90 CAD 37 AD AB AD DB 140 x 60 答 湛河的宽度约 60米 解析 分析 过 C作 CD AB 于点 D 设 CD x米 在 Rt BDC 中 CDB 90 CBD 45 根据等 腰三角形的性质可得 BD CD x 在 Rt ADC 中 ADC 90 CAD 37 由 tan CAD tan37 所以 AD 而由题意得 AB AD DB 140 所以 x 140 解得 x 60 2018 年中考数学专题复习卷含解析 18 22 已知 在平面直角坐标系中 点 0为坐标原点 点 A在 x轴的负半轴上 直线 与 x轴 y轴分别交于 B C 两点 四边形 ABCD为菱形 1 如图 1 求点 A的坐标 2 如图 2 连接 AC 点 P为 ACD 内一点 连接 AP BP BP 与 AC交于点 G 且 APB 60 点 E在线段 AP 上 点 F在线投 BP上 且 BF AE 连接 AF EF 若 AFE 30 求 AF EF 的值 3 如图 3在 2 的条件下 当 PE AE时 求点 P的坐标 答案 1 解 如图 1 BO CO 在 R BCO 中 四边形 ABCD为菱形 AB BC 7 AO AB BO 2 解 如图 2 AO BO CO AB AC BC 7 AB AC BC ABC 为等边三角形 ACB 60 APB 60 APB ACB PAG APB AGB CBG ACB PAG CBG 连接 CE CF AE BF ACE BCF 2018 年中考数学专题复习卷含解析 19 CE CF ACE BCF ECF ACF ACE ACF BCF ACB 60 CEF 为等边三角形 CFE 60 EF FC AFE 30 AFC AFE CFE 90 在 Rt ACF 中 AF 2 CF2 AC2 72 49 AF 2 EF2 49 3 解 如图 由 2 知 CEF 为等边三角形 CEF 60 EC EF 延长 CE FA 交于点 H AFE 30 CEF H EFH H CEF EFH 30 H EFH EH EF EC EH连接 CP PE AE CEP HEA CPE HAE PCE H CP FH HFP CPF 在 BP上截取 TB AP 连接 TC由 2 知 CAP CBT AC BC ACP BCT CP CT ACP BCT PCT ACP ACT BCT ACT ACB 60 CPT 为等边三角形 CT PT CPT CTP 60 CP FH HFP CPIT 60 APB 60 APB AFP AP AF APF 为等边三角形 CFP AFC AFP 90 60 30 TCF CTP TFC 60 30 30 TCF TFC TF TC TP 连接 AT则 AT BP 设 BF m则 AE PE m PF AP 2m TF TP m TB 2m BP 3m 在 Rt APT 中 AT 在 Rt ABT 中 AT 2 TB2 AB2 m 1 舍去 m 2 2018 年中考数学专题复习卷含解析 20 BF AT BP 3 作 PQ AB 垂足为点 Q 作 PK OC 垂足为点 K 则四边形 PQOK为矩形 则 OK PQ BP sin PBQ 3 x2 3 解析 分析 1 先求出直线 BC与两坐标轴的交点 B C 的坐标 再利用勾股定理求出 BC的长 根据菱形的性质得出 AB BC 然后求出 AO的长 就可得出点 A的坐标 2 根据点 A B 的坐标 可证得 ABC 是等边三角形 可得出 AC AB 再证明 PAG CBG 根据已知 AE BF 就可证得 ACE BCF 得出 CE CF ACE BCF 然后证明 AFC 90 在 Rt ACF 中 利用 勾股定理就可结果 3 延长 CE FA 交于点 根据等边三角形的性质及已知条件 先证明 EC EH 连接 CP 易证 CPE HAE 得出 PCE H 根据平行线的性质 可得出 HFP CPF 在 BP上截取 TB AP 连接 TC 证明 ACP BCT 根据等边三角形的性质及平行线的性质 去证明 TF TC TP 连接 AT 得出 AT BP 设 BF m AE PE m 再根据勾股定理求出 m的值 作 PQ AB PK OC 可得出四边形 PQOK是矩形 利用解直 角三角形求出 PQ的长 就可求出 BQ OQ 的长 从而可得出点 P的坐标