（北京专版）2019年中考数学一轮复习 第七章 专题拓展 7.7 新定义问题（试卷部分）课件.ppt

7 7新定义问题 中考数学 北京专用 1 2018北京 28 7分 对于平面直角坐标系xOy中的图形M N 给出如下定义 P为图形M上任意一点 Q为图形N上任意一点 如果P Q两点间的距离有最小值 那么称这个最小值为图形M N间的 闭距离 记作d M N 已知点A 2 6 B 2 2 C 6 2 1 求d 点O ABC 2 记函数y kx 1 x 1 k 0 的图象为图形G 若d G ABC 1 直接写出k的取值范围 3 T的圆心为T t 0 半径为1 若d T ABC 1 直接写出t的取值范围 好题精练 解析 1 如图1 点O到 ABC上的点的距离的最小值为2 即d 点O ABC 2 图1 2 k的取值范围为 1 k 1且k 0 提示 如图1 y kx k 0 的图象经过原点 在 1 x 1范围内 函数图象为线段 当y kx 1 x 1 k 0 的图象经过 1 1 时 k 1 此时d G ABC 1 当y kx 1 x 1 k 0 的图象经过 1 1 时 k 1 此时d G ABC 1 1 k 1 k 0 1 k 1且k 0 3 t的取值范围为t 4或0 t 4 2或t 4 2 提示 T与 ABC的位置关系分三种情况 如图2 T在 ABC的左侧时 d T ABC 1 此时t 4 T在 ABC的内部时 d T ABC 1 此时0 t 4 2 T在 ABC的右侧时 d T ABC 1 此时t 4 2 综上所述 t 4或0 t 4 2或t 4 2 图2 解题关键解决本题的关键是要从点到点的距离中发现点到直线的距离和平行线间的距离 2 2017北京 29 8分 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M 给出如下定义 若在图形M上存在一点Q 使得P Q两点间的距离小于或等于1 则称P为图形M的关联点 1 当 O的半径为2时 在点P1 P2 P3中 O的关联点是 点P在直线y x上 若P为 O的关联点 求点P的横坐标的取值范围 2 C的圆心在x轴上 半径为2 直线y x 1与x轴 y轴分别交于点A B 若AB上的所有点都是 C的关联点 直接写出圆心C的横坐标的取值范围 解析 1 P2 P3 设直线y x与以原点为圆心 半径为1和3的两个圆的交点从左到右依次为D E F G 过点D作DM x轴于点M 如图1 图1由可求得点D的横坐标为 同理 可求得点E F G的横坐标分别为 当点P与原点重合时 对于 O上任意一点Q 均有PQ 2 1 不符合题意 当点P与原点不重合时 设射线OP与 O的交点为Q i 当01 此时P不是 O的关联点 图2 ii 当1 OP 3时 如图3 PQ OP OQ 1 此时P是 O的关联点 图3 iii 当OP 3时 如图4 图4 对于 O上任意一点Q 总有PQ OP OQ OP OQ PQ 1 此时P不是 O的关联点 综上所述 当P为 O的关联点时 1 OP 3 点P的横坐标xP的取值范围是 xP 或 xP 2 圆心C的横坐标xC的取值范围是 2 xC 1 或2 xC 2 提示 由 1 可知 线段AB上的点均满足 与圆心C的距离大于等于1 且小于等于3 以下为临界情况 如图a C1E AB 且C1E 1 此时点C1的横坐标为1 图a 如图b C2A 3 此时点C2的横坐标为 2 图b如图c AC3 1 此时点C3的横坐标为2 图c 如图d C4B 3 此时点C4的横坐标为2 图d易知点C在线段C1C2和C3C4上满足题意 圆心C的横坐标xC的取值范围是 2 xC 1 或2 xC 2 3 2015北京 29 8分 在平面直角坐标系xOy中 C的半径为r P是与圆心C不重合的点 点P关于 C的反称点的定义如下 若在射线CP上存在一点P 满足CP CP 2r 则称P 为点P关于 C的反称点 下图为点P及其关于 C的反称点P 的示意图 特别地 当点P 与圆心C重合时 规定CP 0 1 当 O的半径为1时 分别判断点M 2 1 N T 1 关于 O的反称点是否存在 若存在 求其坐标 点P在直线y x 2上 若点P关于 O的反称点P 存在 且点P 不在x轴上 求点P的横坐标的取值范围 2 C的圆心在x轴上 半径为1 直线y x 2与x轴 y轴分别交于点A B 若线段AB上存在 点P 使得点P关于 C的反称点P 在 C的内部 求圆心C的横坐标的取值范围 解析 1 点M关于 O的反称点不存在 点N关于 O的反称点存在 坐标为 点T关于 O的反称点存在 坐标为 0 0 如图1 直线y x 2与x轴 y轴分别交于点E 2 0 点F 0 2 设点P的横坐标为x i 当点P在线段EF上 即0 x 2时 1 OP 2 在射线OP上一定存在一点P 使得OP OP 2 点P关于 O的反称点存在 其中点P与点E或点F重合时 OP 2 点P关于 O的反称点为O 不符合题意 02时 OP 2 对于射线OP上任意一点P 总有OP OP 2 点P关于 O的反称点不存在 综上所述 点P的横坐标x的取值范围是0 x 2 图1 2 若线段AB上存在点P 使得点P关于 C的反称点P 在 C的内部 则1 CP 2 依题意可知 点A的坐标为 6 0 点B的坐标为 0 2 BAO 30 设圆心C的坐标为 x 0 当x 6时 过点C作CH AB于点H 如图2 0 CH CP 2 0 CA 4 0 6 x 4 2 x 6 并且 当2 x2 CH 2 在线段AB上一定存在点P 使得CP 2 此时点P关于 C的反称点为C 且点C在 C的内部 2 x2 CA 2 在线段AB上一定存在一点P 使得CP 2 此时点P关于 C的反称点为C 且点C在 C的内部 6 x 8 综上所述 圆心C的横坐标x的取值范围是2 x 8 思路点拨根据反称点的定义可知 当一点到圆心的距离大于半径的2倍时 此点无反称点 所以要确定一点有没有反称点 先要求出它到圆心的距离 解题关键 1 要准确理解 反称点 的含义 2 通过具体实例加深对 反称点 的理解 3 运用运动变化 分类讨论的思想解决较复杂的问题 4 2014北京 25 8分 对某一个函数给出如下定义 若存在实数M 0 对于任意的函数值y 都满足 M y M 则称这个函数是有界函数 在所有满足条件的M中 其最小值称为这个函数的边界值 例如 下图中的函数是有界函数 其边界值是1 1 分别判断函数y x 0 和y x 1 4a 的边界值是2 且这个函数的最大值也是2 求b的取值范围 3 将函数y x2 1 x m m 0 的图象向下平移m个单位 得到的函数的边界值是t 当m在什么范围时 满足 t 1 解析 1 y x 0 不是有界函数 y x 1 4a y随x的增大而减小 y的最大值是 a 1 y的最小值是 b 1 函数的最大值是2 a 1 又 函数的边界值是2 b 1 2 b 3 1 b 3 3 由题意知 函数平移后的表达式为y x2 m 1 x m m 0 当x 1时 y 1 m 当x 0时 y m 当x m时 y m2 m 根据二次函数的对称性 当0 m 1时 1 m m2 m 当m 1时 1 m1时 由题意知 边界值t m 不存在满足 t 1的m值 综上所述 当0 m 或 m 1时 满足 t 1 5 2013北京 25 8分 对于平面直角坐标系xOy中的点P和 C 给出如下定义 若 C上存在两个点A B 使得 APB 60 则称P为 C的关联点 已知点D E 0 2 F 2 0 1 当 O的半径为1时 在点D E F中 O的关联点是 过点F作直线l交y轴正半轴于点G 使 GFO 30 若直线l上的点P m n 是 O的关联点 求m的取值范围 2 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点 求这个圆的半径r的取值范围 解析 1 D E 当OP 2时 过点P向 O作两条切线PA PB A B为切点 则 APB 60 点P为 O的关联点 事实上 当0 OP 2时 点P是 O的关联点 当OP 2时 点P不是 O的关联点 F 2 0 且 GFO 30 OGF 60 OF 2 OG 2 如图 以O为圆心 OG为半径作圆 设该圆与l的另一个交点为M 当点P在线段GM上时 OP 2 点P是 O的关联点 当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时 OP 2 点P不是 O的关联点 连接OM 可知 GOM为等边三角形 过点M作MN x轴于点N 可得 MON 30 ON 0 m 2 设该圆圆心为C 根据 可得 若点P是 C的关联点 则0 PC 2r 由题意知 点E F都是 C的关联点 EC 2r FC 2r EC FC 4r 又 EC FC EF 当点C在线段EF上时 等号成立 4r EF E 0 2 F 2 0 EF 4 r 1 事实上 当点C是EF的中点时 对所有r 1的 C 线段EF上的所有点都是 C的关联点 综上所述 r 1 6 2018北京东城一模 28 给出如下定义 对于 O的弦MN和 O外一点P M O N三点不共线 且P O在直线MN的异侧 当 MPN MON 180 时 称点P是线段MN关于点O的关联点 图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图 在平面直角坐标系xOy中 O的半径为1 1 如图2 M N 在A 1 0 B 1 1 C 0 三点中 是线段MN关于点O的关联点的是 2 如图3 M 0 1 N 点D是线段MN关于点O的关联点 MDN的大小为 在第一象限内有一点E m m 点E是线段MN关于点O的关联点 判断 MNE的形状 并直接写出点E的坐标 点F在直线y x 2上 当 MFN MDN时 求点F的横坐标xF的取值范围 解析 1 C 2 60 MNE是等边三角形 点E的坐标为 1 直线y x 2交y轴于点K 0 2 交x轴于点T 2 0 OK 2 OT 2 OKT 60 作OG KT于点G 连接MG NG M 0 1 OM 1 M为OK的中点 又在Rt OKG中 KG OK 1 MKG为等边三角形 MG MK OM 1 MGO MOG 30 OG G MON 120 GON 90 又OG ON 1 OGN 30 MGN 60 G是线段MN关于点O的关联点 由 知点E 1 也是线段MN关于点O的关联点 经验证 点E 1 在直线y x 2上 结合图象可知 当点F在线段GE上时 符合题意 xG xF xE xF 7 2018北京西城一模 28 对于平面内的 C和 C外一点Q 给出如下定义 若过点Q的直线与 C存在公共点 记为点A B 设k 则称点A 或点B 是 C的 k相关依附点 特别地 当点A和点B重合时 规定AQ BQ k 已知在平面直角坐标系xOy中 Q 1 0 C 1 0 C的半径为r 1 如图 当r 时 若A1 0 1 是 C的 k相关依附点 则k的值为 A2 1 0 是不是 C的 2相关依附点 答 选 是 或 否 2 若 C上存在 k相关依附点 M 当r 1 直线QM与 C相切时 求k的值 当k 时 求r的取值范围 3 若存在r使得直线y x b与 C有公共点 且公共点是 C的 相关依附点 直接写出b的取值范围 解析 1 是 2 如图1 当r 1时 不妨设直线QM与 C相切的切点M在x轴上方 切点M在x轴下方时同理 连接CM 则QM CM 图1 Q 1 0 C 1 0 r 1 CQ 2 CM 1 MQ 此时k 如图2 若直线QM与 C不相切 设直线QM与 C的另一个交点为N 不妨设点M N均在x轴上方 且QNQM 点N M在x轴下方时同理 作CD QM于点D 则MD ND 图2 MQ NQ MN NQ NQ 2ND 2NQ 2DQ CQ 2 k DQ 当k 时 DQ 此时CD 1 r 1 假设 C经过点Q 此时r 2 点Q在 C外 r的取值范围是1 r 2 3 1 b 3 8 2018北京海淀一模 28 在平面直角坐标系xOy中 对于点P和 C 给出如下定义 若 C上存在一点T 不与O重合 使点P关于直线OT的对称点P 在 C上 则称P为 C的反射点 C的反射点P的示意图如图所示 1 已知点A的坐标为 1 0 A的半径为2 在点O 0 0 M 1 2 N 0 3 中 A的反射点是 点P在直线y x上 若P为 A的反射点 求点P的横坐标的取值范围 2 C的圆心在x轴上 半径为2 y轴上存在点P是 C的反射点 直接写出圆心C的横坐标x的取值范围 解析 1 A的反射点是M N 设直线y x与以原点为圆心 1和3为半径的两个圆的交点从左至右依次为D E F G 过点D作DH x轴于点H 如图 可求得点D的横坐标为 同理可求得点E F G的横坐标分别为 点P是 A的反射点 则 A上存在一点T 使点P关于直线OT的对称点P 在 A上 则OP OP 1 OP 3 1 OP 3 反之 若1 OP 3 A上存在点Q 使得OP OQ 故线段PQ的垂直平分线经过原点 且与 A相交 因此点P是 A的反射点 点P的横坐标x的取值范围是 x 或 x 2 圆心C的横坐标x的取值范围是 4 x 4 提示 OT与y轴正半轴的夹角 POT越小 则OP 与OC的夹角 COP 越大 当OP 与圆C相切时 COP 最大 如图 此时 COP COT POT 又因为 POT COT 90 所以3 COT 90 COT 30 又圆C的半径为2 故此时OC为4 当圆在y轴左侧时同理 故圆心C的横坐标x的取值范围是 4 x 4 9 2018北京朝阳一模 28 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB 其中A t 0 B t 2 0 给出如下定义 若在线段AB上存在一点Q 使得P Q两点间的距离小于或等于1 则称P为线段AB的伴随点 1 当t 3时 在点P1 1 1 P2 0 0 P3 2 1 中 线段AB的伴随点是 在直线y 2x b上存在线段AB的伴随点M N 且MN 求b的取值范围 2 线段AB的中点关于点 2 0 的对称点是C 将射线CO以点C为中心 顺时针旋转30 得到射线l 若射线l上存在线段AB的伴随点 直接写出t的取值范围 解析 1 线段AB的伴随点是P2 P3 如图1 当直线y 2x b经过点 3 1 时 b 5 此时b取得最大值 如图2 当直线y 2x b经过点 1 1 时 b 3 此时b取得最小值 b的取值范围是3 b 5 2 t的取值范围是 t 2 提示 线段AB中点的坐标是 t 1 0 关于点 2 0 的对称点C的坐标为 3 t 0 根据30 角和伴随点定义可知 当点B在射线左侧时 点B横坐标的最小值为1 t 令1 t t 2 得t 当点A在射线右侧时 点A横坐标的最大值为 3 t 1 令3 t 1 t 得t 2 所以t的取值范围是 t 2 10 2018北京丰台一模 28 对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1 W2 给出如下定义 点P为图形W1上一点 点Q为图形W2上一点 当点M是线段PQ的中点时 称点M是图形W1 W2的 中立点 如果点P x1 y1 Q x2 y2 那么 中立点 M的坐标为 已知 点A 3 0 B 0 4 C 4 0 1 连接BC 在点D E 0 1 F中 可以成为点A和线段BC的 中立点 的是 2 已知点G 3 0 G的半径为2 如果直线y x 1上存在点K可以成为点A和 G的 中立点 求点K的坐标 3 以点C为圆心 2为半径作圆 点N为直线y 2x 4上的一点 如果存在点N 使得y轴上的一点可以成为点N与 C的 中立点 直接写出点N的横坐标xN的取值范围 解析 1 D F 2 点A和 G的 中立点 在以点O为圆心 1为半径的圆上 因为点K在直线y x 1上 所以设点K的坐标为 x x 1 则x2 x 1 2 1 解得x1 0 x2 1 所以点K的坐标为 0 1 或 1 0 3 6 xN 2 提示 点N与 C的 中立点 在以线段NC的中点P为圆心 1为半径的圆上 圆P与y轴相切时 符合题意 当点P的坐标为 1 4 时 yPC x 与y 2x 4联立 可解得x 6 当点P的坐标为 1 0 时 可得xN 2 所以点N的横坐标的取值范围为 6 xN 2 11 2018北京石景山一模 29 对于平面上两点A B 给出如下定义 以点A或点B为圆心 AB长为半径的圆称为点A B的 确定圆 如图为点A B的 确定圆 的示意图 1 已知点A的坐标为 1 0 点B的坐标为 3 3 则点A B的 确定圆 的面积为 2 已知点A的坐标为 0 0 若直线l y x b上只存在一个点B 使得点A B的 确定圆 的面积为9 求点B的坐标 3 已知点A在以P m 0 为圆心 1为半径的圆上 点B在直线y x 上 若要使所有点A B的 确定圆 的面积都不小于9 直接写出m的取值范围 解析 1 25 2 直线l y x b上只存在一个点B 使得点A B的 确定圆 的面积为9 A的半径AB 3且直线l y x b与 A相切于点B 如图 当b 0时 点B在第二象限 过点B作BE x轴于点E 在Rt BEA中 BAE 45 AB 3 BE AE B 当b 0时 点B 在第四象限 同理可得B 综上所述 点B的坐标为或 3 m 5或m 11 提示 易得A B两点间距离的最小值为4 直线y x 与x轴的夹角为30 所以m 3 8或m 3 8 即m 5或m 11 12 2018北京通州一模 28 在平面直角坐标系xOy中有不重合的两个点Q x1 y1 与P x2 y2 若Q P为某个直角三角形的两个锐角顶点 且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行 或重合 则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的 直距 记作DPQ 特别地 当PQ与某条坐标轴平行 或重合 时 线段PQ的长即为点Q与点P之间的 直距 例如在下图中 点P 1 1 点Q 3 2 此时点Q与点P之间的 直距 DPQ 3 1 已知O为坐标原点 点A 2 1 B 2 0 则DAO DBO 点C在直线y x 3上 请你求DCO的最小值 2 点E是以原点O为圆心 1为半径的圆上的一个动点 点F是直线y 2x 4上一个动点 请你直接写出点E与点F之间 直距 DEF的最小值 解析 1 3 2 设C x0 y0 则DCO x0 y0 点C在直线y x 3上 x y 3 即x0 y0 3 故DCO为定值3 DCO的最小值为3 2 2 13 2018北京大兴一模 28 在平面直角坐标系xOy中 过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D 点P是x轴上一动点 连接DP 过点P作DP的垂线交y轴于点E E在线段OA上 E不与点O重合 则称 DPE为点D P E的 平横纵直角 图1为点D P E的 平横纵直角 的示意图 图1 图2如图2 在平面直角坐标系xOy中 已知某二次函数的图象与y轴交于点F 0 m m 0 与x轴分别交于点B 3 0 C 12 0 若过点F作平行于x轴的直线交该抛物线于点N 1 点N的横坐标为 2 已知一直角为点N M K的 平横纵直角 若在线段OC上存在不同的两点M1 M2 使相应的点K1 K2都与点F重合 试求m的取值范围 3 设抛物线的顶点为点Q 连接BQ与FN交于点H 当45 QHN 60 时 求m的取值范围 解析 1 9 2 解法一 MK MN 要使线段OC上存在不同的两点M1 M2 使相应的点K1 K2都与点F重合 也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点 设以FN为直径的圆的半径为r 则r m 0 0 m 解法二 m 0 点K在x轴的上方 过N作NW OC于点W 设OM x OK y 则CW OC OW 3 WM 9 x 由 MOK NWM 得 y x2 x 令y m 则m x2 x 化为x2 9x m2 0 由题意可得方程x2 9x m2 0有两个不同的实数解 9 2 4m2 0 得 m 0 0 m 3 设抛物线的表达式为y a x 3 x 12 a 0 抛物线过点F 0 m m 36a a m y m x 3 x 12 m m 过点Q作QG x轴于点G 与FN交于点R FN x轴 QRH 90 tan BQG QG m BG tan BQG 又45 QHN 60 30 BQG 45 当 BQG 30 时 可求得m 当 BQG 45 时 可求得m m的取值范围为 m 14 2018北京顺义一模 28 如图1 对于平面内的点P和两条曲线L1 L2 给出如下定义 若从点P任意引出一条射线分别与L1 L2交于Q1 Q2 总有是定值 我们称曲线L1与L2曲似 定值为曲似比 点P为曲心 图1例如 如图2 以点O 为圆心 r1 r2 都是常数 分别为半径的两个同心圆C1 C2 从点O 任意引出一条射线分别与两圆交于点M N 因为总有 是定值 所以同心圆C1与C2曲似 曲似比为 曲心为O 图2 图3 1 在平面直角坐标系xOy中 直线y kx与抛物线y x2 y x2分别交于点A B 如图3所示 试判断两抛物线是否曲似 并说明理由 2 在 1 的条件下 以O为圆心 OA为半径作圆 过点B作x轴的垂线 垂足为C 是否存在k值 使 O与直线BC相切 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 3 在 1 2 的条件下 若将 y x2 改为 y x2 其他条件不变 当存在 O与直线BC相切时 直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式 解析 1 是 过点A B作x轴的垂线 垂足分别为D C 依题意可得A k k2 B 2k 2k2 因此D k 0 C 2k 0 AD x轴 BC x轴 AD BC 两抛物线曲似 曲似比是 2 假设存在k值使 O与直线BC相切 则OA OC 2k 又 OD k AD k2 并且OD2 AD2 OA2 k2 k2 2 2k 2 解得k 即存在满足条件的k 且k 3 m的取值范围是m 1 k与m之间的关系式为k2 m2 1 15 2018北京房山一模 28 在平面直角坐标系xOy中 当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时 则称点P为图形W的 梦之点 1 已知 O的半径为1 在点E 1 1 F M 2 2 中 O的 梦之点 为 若点P位于 O内部 且为双曲线y k 0 的 梦之点 求k的取值范围 2 已知点C的坐标为 1 t C的半径为 若在 C上存在 梦之点 P 直接写出t的取值范围 3 若二次函数y ax2 ax 1的图象上存在两个 梦之点 A x1 y1 B x2 y2 且 x1 x2 2 求二次函数图象的顶点坐标 解析 1 F O的半径为1 O的 梦之点 坐标为和 又 双曲线y k 0 与直线y x的交点即为双曲线的 梦之点 将代入双曲线表达式中 得k xy 点P位于 O内部 0 k 2 1 t 3 3 由 梦之点 的定义可得A x1 x1 B x2 x2 令x ax2 ax 1 整理得 ax2 a 1 x 1 0 解得x1 1 x2 把两个根代入 x1 x2 2中 得 2 解得a1 1 a2 当a 1时 y x2 x 1 其图象的顶点坐标为 当a 时 y x2 x 1 其图象的顶点坐标为 16 2018北京平谷一模 28 在平面直角坐标系xOy中 点M的坐标为 x1 y1 点N的坐标为 x2 y2 且x1 x2 y1 y2 以MN为边构造菱形 若该菱形的两条对角线分别平行于x轴 y轴 则称该菱形是以MN为边的 坐标菱形 1 已知点A 2 0 B 0 2 则以AB为边的 坐标菱形 的最小内角为 2 若点C 1 2 点D在直线y 5上 以CD为边的 坐标菱形 为正方形 求直线CD的表达式 3 O的半径为 点P的坐标为 3 m 若在 O上存在一点Q 使得以QP为边的 坐标菱形 为正方形 直线写出m的取值范围 解析 1 60 2 以CD为边的 坐标菱形 为正方形 直线CD与直线y 5的夹角是45 过点C作CE DE于E 则CE DE 3 D 4 5 或 2 5 直线CD的表达式为y x 1或y x 3 3 1 m 5或 5 m 1 提示 17 2018北京朝阳二模 28 对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m 给出如下定义 若存在一点P 使得点P到直线m的距离等于1 则称P为直线m的平行点 1 当直线m的表达式为y x时 在点P1 1 1 P2 0 P3中 直线m的平行点是 O的半径为 点Q在 O上 若点Q为直线m的平行点 求点Q的坐标 2 点A的坐标为 n 0 A半径等于1 若 A上存在直线y x的平行点 直接写出n的取值范围 解析 1 P2 P3 由题意可知 直线m的所有平行点组成平行于直线m 且到直线m的距离为1的直线 设该直线与x轴交于点A 与y轴交于点B 如图1 当点B在原点上方时 作OH AB于点H 可知OH 1 由直线m的表达式为y x 可知 OAB OBA 45 所以OB 直线AB与 O的交点即为满足条件的点Q 连接OQ1 作Q1N y轴于点N OQ1 在Rt OHQ1中 可得HQ1 3 所以BQ1 2 在Rt BNQ1中 可求NQ1 NB 所以ON 2 所以点Q1的坐标为 2 同理可得点Q2的坐标为 2 如图2 当点B在原点下方时 同理可求得点Q3的坐标为 2 点Q4的坐标为 2 综上所述 点Q的坐标为 2 2 2 2 2 n 思路分析本题需要明确点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度 进而利用90 构造直角三角形来解决问题 解题关键解决本题最后一问的关键是要找到临界平行线 进而借助切线和解直角三角形的知识来确定n的取值范围 18 2017北京海淀一模 29 在平面直角坐标系xOy中 若P Q为某个菱形相邻的两个顶点 且该菱形的两条对角线分别与x轴 y轴平行 则称该菱形为点P Q的 相关菱形 下图为点P Q的 相关菱形 的一个示意图 已知点A的坐标为 1 4 点B的坐标为 b 0 1 若b 3 则R 1 0 S 5 4 T 6 4 中能够成为点A B的 相关菱形 顶点的是 2 若点A B的 相关菱形 为正方形 求b的值 3 B的半径为 点C的坐标为 2 4 若 B上存在点M 在线段AC上存在点N 使点M N的 相关菱形 为正方形 请直接写出b的取值范围 解析 1 R S 2 如图 点A B的 相关菱形 为正方形 ABH为等腰直角三角形 点A的坐标为 1 4 BH AH 4 b 3或5 3 5 b 0或3 b 8 解题关键解决本题的关键是要按照题目要求画出示意图 同时要熟练掌握特殊四边形的判定方法 思路分析要理解相关菱形与正方形的判定方法 要同时关注边和角的数量关系与位置关系 19 2017北京东城一模 29 设平面内一点到等边三角形中心的距离为d 等边三角形的内切圆半径为r 外接圆半径为R 对于一个点与等边三角形 给出如下定义 满足r d R的点叫做等边三角形的中心关联点 在平面直角坐标系xOy中 等边 ABC的三个顶点的坐标分别为A 0 2 B 1 C 1 1 已知点D 2 2 E 1 F 在D E F中 是等边 ABC的中心关联点的是 2 如图1 过点A作直线交x轴正半轴于M 使 AMO 30 若线段AM上存在等边 ABC的中心关联点P m n 求m的取值范围 将直线AM向下平移得到直线y kx b 当b满足什么条件时 直线y kx b上总存在等边 ABC的中心关联点 直接写出答案 不需要过程 3 如图2 点Q为直线y 1上一动点 Q的半径为 当Q从点 4 1 出发 以每秒1个单位长度的速度向右移动 运动时间为t秒 是否存在某一时刻t 使得 Q上所有点都是等边 ABC的中心关联点 如果存在 请直接写出所有符合题意的t的值 如果不存在 请说明理由 图1 图2 解析 1 E F 2 因为A 0 2 AMO 30 所以M 2 0 可求得直线AM的解析式为y x 2 经验证 E在直线AM上 因为OE OA 2 MAO 60 所以 OAE为等边三角形 所以AE边上的高为 当点P在AE上时 OP 2 所以当点P在AE上时 点P都是等边 ABC的中心关联点 所以0 m b 2 3 存在 t 4 或4 20 2017北京丰台一模 29 在平面直角坐标系xOy中 对于任意三点A B C 给出如下定义 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行 且A B C三点都在矩形的内部或边界上 则称该矩形为点A B C的覆盖矩形 点A B C的所有覆盖矩形中 面积最小的矩形称为点A B C的最优覆盖矩形 例如 下图中的矩形A1B1C1D1 A2B2C2D2 AB3C3D3都是点A B C的覆盖矩形 其中矩形AB3C3D3是点A B C的最优覆盖矩形 1 已知A 2 3 B 5 0 C t 2 当t 2时 点A B C的最优覆盖矩形的面积为 若点A B C的最优覆盖矩形的面积为40 求直线AC的表达式 2 已知点D 1 1 E m n 是双曲线y x 0 上一点 P是点O D E的最优覆盖矩形的外接圆 求出 P的半径r的取值范围 解析 1 35 点A B C的最优覆盖矩形的面积为40 由定义可知 t 3或6 即点C的坐标为 3 2 或 6 2 设直线AC的表达式为y kx b k 0 或 或 y 5x 13或y x 2 如图1 当OD所在的直线交双曲线于点E时 易知 P的半径最小 此时矩形OFEG是点O D E的最优覆盖矩形 图1 点D 1 1 OD所在直线的表达式为y x 点E的坐标为 2 2 OE 2 P的半径为 如图2 当点E的纵坐标为1时 P的半径最大 由1 解得x 4 图2连接OE 则OE 此时 P的半径为 当点E的横坐标为1时 过程同上 综上 r 思路分析理解最优覆盖矩形的含义 同时要通过画图观察如何保证最优 解题关键解决本题第 2 问的关键是要能够发现最优覆盖矩形 21 2017北京西城一模 29 在平面直角坐标系xOy中 若点P和点P1关于y轴对称 点P1和点P2关于直线l对称 则称点P2是点P关于y轴 直线l的二次对称点 1 如图1 点A 1 0 若点B是点A关于y轴 直线l1 x 2的二次对称点 则点B的坐标为 点C 5 0 是点A关于y轴 直线l2 x a的二次对称点 则a的值为 点D 2 1 是点A关于y轴 直线l3的二次对称点 则直线l3的表达式为 2 如图2 O的半径为1 若 O上存在点M 使得点M 是点M关于y轴 直线l4 x b的二次对称点 且点M 在射线y x x 0 上 b的取值范围是 3 E t 0 是x轴上的动点 E的半径为2 若 E上存在点N 使得点N 是点N关于y轴 直线l5 y x 1的二次对称点 且点N 在y轴上 求t的取值范围 图1 图2 解析 1 3 0 2 y x 2 2 b 1 3 将点N关于y轴的对称点记为点P 点P和点N 关于直线l5 y x 1对称 直线y x 1和y轴关于直线l5 y x 1对称 点P在直线y x 1上 直线y x 1和直线y x 1关于y轴对称 点N在直线y x 1上 符合题意的点N是y x 1与 E的公共点 i 当直线y x 1与 E相离时 则不存在符合题意的点N ii 当直线y x 1与 E相切时 如图所示 则符合题意的点N是直线y x 1与 E的切点 记直线y x 1与x轴交于点R 易知R 0 若点E在点R的左侧 则由E1N1 2 可得RE1 4 OE1 4 t1 4 若点E在点R的右侧 则由E2N2 2 可得RE2 4 OE2 4 t2 4 iii 当直线y x 1与 E相交时 由 ii 可知 4 t 4 综上 t的取值范围是 4 t 4 22 2017北京顺义一模 29 在平面直角坐标系xOy中 对于双曲线y m 0 和双曲线y n 0 如果m 2n 则称双曲线y m 0 和双曲线y n 0 为 倍半双曲线 双曲线y m 0 是双曲线y n 0 的 倍双曲线 双曲线y n 0 是双曲线y m 0 的 半双曲线 1 双曲线y 的 倍双曲线 是 双曲线y 的 半双曲线 是 2 如图1 在平面直角坐标系xOy中 已知点A是双曲线y 在第一象限内任意一点 过点A且与y轴平行的直线交双曲线y 的 半双曲线 于点B 求 AOB的面积 3 如图2 已知点M是双曲线y k 0 在第一象限内任意一点 过点M与y轴平行的直线交双曲线y 的 半双曲线 于点N 过点M与x轴平行的直线交双曲线y 的 半双曲线 于点P 若 MNP的面积记为S MNP 且1 S MNP 2 求k的取值范围 图1图2 解析 1 双曲线y 的 倍双曲线 是y 双曲线y 的 半双曲线 是y 2 双曲线y 的 半双曲线 是y AOC的面积为2 BOC的面积为1 AOB的面积为1 3 解法一 依题意可知双曲线y k 0 的 半双曲线 为y k 0 设点M的横坐标为x x 0 则点M的坐标为 点N的坐标为 CM CN MN 同理 PM S MNP MN PM 1 S MNP 2 1 2 4 k 8 解法二 依题意可知双曲线y k 0 的 半双曲线 为y k 0 设点M的横坐标为x x 0 则点M的坐标为 点N的坐标为 易知点N为MC的中点 点P为MD的中点 连接OM PMN OCM 90 PMN OCM S OCM k S MNP 1 S MNP 2 1 2 4 k 8 思路分析 1 根据 倍半双曲线 的定义解题 2 确定反比例函数解析式 根据k的几何意义求解 3 解法一 表示出相关点的坐标 由三角形面积公式得到S MNP 列不等式求出k的范围 解法二 根据相似三角形的性质求出S MNP 再求k的范围 23 2016北京西城一模 29 在平面直角坐标系xOy中 对于点P和图形W 如果线段OP与图形W无公共点 则称点P为关于图形W的 阳光点 如果线段OP与图形W有公共点 则称点P为关于图形W的 阴影点 1 如图1 已知点A 1 3 B 1 1 连接AB 图1 在P1 1 4 P2 1 2 P3 2 3 P4 2 1 这四个点中 关于线段AB的 阳光点 是 线段A1B1 AB A1B1上的所有点都是关于线段AB的 阴影点 且当线段A1B1向上或向下平移时 都会有A1B1上的点成为关于线段AB的 阳光点 若A1B1的长为4 且点A1在B1的上方 则点A1的坐标为 2 如图2 已知点C 1 C与y轴相切于点D 若 E的半径为 圆心E在直线l y x 4上 且 E上的所有点都是关于 C的 阴影点 求点E的横坐标的取值范围 3 如图3 M的半径为3 点M到原点的距离为5 点N是 M上到原点距离最近的点 点Q和T是坐标平面内的两个动点 且 M上的所有点都是关于 NQT的 阴影点 直接写出 NQT的周长的最小值 解析 1 P1 P4 2 6 2 情况一 如图 当 E与y轴相切时 设切点为F 连接EF E与y轴相切于点F EF y轴 E的半径为 EF 此时点E的横坐标为 情况二 如图 设直线l分别与x轴 y轴交于点G H 连接CD CO 过点O作 C的另一条切线OI 切点为I 直线OI与直线l交于点J 当 E与直线OI相切时 过点E作EK y轴于点K C与y轴相切于点D CD y轴 点C的坐标为 1 tan COD COD 30 C与OI相切于点I COI COD 30 HOJ COI COD 60 直线l y x 4分别与x轴 y轴交于点G H G 4 0 H 0 4 tan OHG OHG 30 OJH 180 HOJ OHJ 90 HG OJ E与直线OJ相切 切点为点J EJ 在Rt OHJ中 HJ OH cos OHJ 6 HE HJ EJ KE HE 此时点E的横坐标为 可知 点E在直线l上 从情况一中的位置运动到情况二中的位置时 都满足题意 所以点E的横坐标的取值范围是 xE 3 详解 连接OM与 M的交点即为点N 作圆M的切线OH OI 切点为H I 连接MH MI 分别作N关于OH OI的对称点N N 连接N N 分别交OH OI于Q T 连接NQ NT 此时 NQT的周长最小 由OM 5 MI MN 3 可得OI 4 ON 2 由 OMI ONJ 可得NJ 所以NN OMI KNN sin KNN sin OMI KN N N NQT的周长最小值为 思路分析 1 根据新定义判断 用相似解决 2 分情况讨论 以临界点为突破口 3 在 2 的基础上利用对称求最短距离 解题关键第一要准确理解 阳光点 阴影点 的概念 第二熟练应用相似的相关知识 第三能根据新定义画出符合题意的图形 并进行计算 24 2016北京海淀一模 29 在平面直角坐标系xOy中 C的半径为r P是与圆心C不重合的点 点P关于 C的限距点的定义如下 若P 为直线PC与 C的一个交点 满足r PP 2r 则称P 为点P关于 C的限距点 下图为点P及其关于 C的限距点P 的示意图 1 当 O的半径为1时 分别判断点M 3 4 N T 1 关于 O的限距点是否存在 若存在 求其坐标 点D的坐标为 2 0 DE DF分别切 O于点E 点F 点P在 DEF的边上 若点P关于 O的限距点P 存在 求点P 的横坐标的取值范围 2 保持 1 中D E F三点不变 点P在 DEF的边上沿E F D E的方向运动 C的圆心C的坐标为 1 0 半径为r 请从下面两个问题中任选一个作答 解析 1 点M 点T关于 O的限距点不存在 点N关于 O的限距点存在 坐标为 1 0 点D的坐标为 2 0 O的半径为1 DE DF分别切 O于点E 点F 切点坐标为 如图所示 不妨设点E的坐标为 点F的坐标为 连接EO FO EO FO的延长线分别交 O于点E F 则E F 设点P关于 O的限距点的横坐标为x a 当点P在线段EF 包括端点 上时 直线PO与的交点P 满足1 PP 2 故点P关于 O的限距点存在 其横坐标x满足 1 x b 当点P在线段DE DF 不包括端点 上时 直线PO与 O的交点P 满足0 PP 1或2 PP 3 故点P关于 O的限距点不存在 c 当点P与点D重合时 直线PO与 O的交点P 1 0 满足PP 1 故点P关于 O的限距点存在 其横坐标x 1 综上所述 点P关于 O的限距点的横坐标x的范围为 1 x 或x 1 2 问题1 问题2 0 r 问题1 若点P在圆C的外部 且P的限距点P 存在 则r PP 2r 2r CP 3r P 随点P的运动所形成的路径长为 r 且 DEF为等边三角形 P在一边上运动 P 随之运动所形成的路径长为 r r n 60 当CP 3r时 C到DE的距离为 r r的最小值为 问题2 当3r 即r 时 P关于 C的限距点P 不存在 1 2018江西 23 12分 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时 经历了如下过程 求解体验 1 已知抛物线y x2 bx 3经过点 1 0 则b 顶点坐标为 该抛物线关于点 0 1 成中心对称的抛物线表达式是 抽象感悟我们定义 对于抛物线y ax2 bx c a 0 以y轴上的点M 0 m 为中心 作该抛物线关于点M对称的抛物线y 则我们又称抛物线y 为抛物线y的 衍生抛物线 点M为 衍生中心 2 已知抛物线y x2 2x 5关于点 0 m 的衍生抛物线为y 若这两条抛物线有交点 求m的取值范围 问题解决 3 已知抛物线y ax2 2ax b a 0 若抛物线y的衍生抛物线为y bx2 2bx a2 b 0 两抛物线有两个交点 且恰好是它们的顶点 求a b的值及衍生中心的坐标 若抛物线y关于点 0 k 12 的衍生抛物线为y1 其顶点为A1 关于点 0 k 22 的衍生抛物线为y2 教师专用题组 其顶点为A2 关于点 0 k n2 的衍生抛物线为yn 其顶点为An n为正整数 求AnAn 1的长 用含n的式子表示 备用图 解析 1 4 2 1 y x 2 2 1 或y x2 4x 5 2 易知抛物线y x2 2x 5的顶点坐标为 1 6 且点 1 6 关于点 0 m 的对称点为 1 2m 6 衍生抛物线的解析式为y x 1 2 2m 6 由y x 1 2 6 y x 1 2 2m 6 y y 得x2 m 5 0 即x2 5 m 当5 m 0 即m 5时 方程有解 m的取值范围为m 5 3 抛物线y ax2 2ax b的顶点为 1 a b 抛物线y bx2 2bx a2的顶点为 1 b a2 由两抛物线的交点恰好是它们的顶点 得a2 3a 0 a2 a 4b 0 解得a1 0 b1 0 舍去 a2 3 b2 3 抛物线y的顶点为 1 0 抛物线y 的顶点为 1 12 两抛物线的衍生中心坐标为 0 6 y ax2 2ax b a x 1 2 a b y1 a x 1 2 2k 2 a b 顶点A1为 1 2k 2 a b y2 a x 1 2 2k 8 a b 顶点A2为 1 2k 8 a b yn a x 1 2 2k 2n2 a b 顶点An为 1 2k 2n2 a b yn 1 a x 1 2 2k 2 n 1 2 a b 顶点An 1为 1 2k 2 n 1 2 a b AnAn 1 2k 2 n 1 2 a b 2k 2n2 a b 2 n 1 2 2n2 4n 2 思路分析 1 将 1 0 代入抛物线y x2 bx 3求得b值 将抛物线解析式配方得出顶点坐标 先求出顶点坐标关于点 0 1 成中心对称的对应点坐标 再根据开口方向相反求得该抛物线关于点 0 1 成中心对称的抛物线表达式 2 首先确定抛物线y x2 2x 5关于点 0 m 的衍生抛物线y 然后联立两个解析式得出x2 5 m 若这两条抛物线有交点 则5 m 0 从而得出m的取值范围 3 先求出抛物线y ax2 2ax b a 0 的顶点 1 a b 抛物线y的衍生抛物线y bx2 2bx a2 b 0 的顶点 1 b a2 依据两抛物线有两个交点 且恰好是它们的顶点 把 1 a b 代入y bx2 2bx a2 b 0 把 1 b a2 代入y ax2 2ax b a 0 得出a2 a 4b 0和a2 3a 0 解得a和b值 进而得出衍生中心的坐标 先求出顶点A1 A2的坐标 进一步发现顶点An的坐标 根据顶点横坐标相同这一特点求出AnAn 1的长 方法指导数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系 就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关系结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 即抽象思维与形象思维的结合 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目的 2 2018重庆 25 10分 对任意一个四位数n 如果千位与十位上的数字之和为9 百位与个位上的数字之和也为9 则称n为 极数 1 请任意写出三个 极数 并猜想任意一个 极数 是不是99的倍数 请说明理由 2 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方 则称正整数a是完全平方数 若四位数m为 极数 记D m 求满足D m 是完全平方数的所有m 解析 1 4158 6237 9900 2分 任意一个 极数 是99的倍数 理由 设任意一个 极数 n的千位数字为x 百位数字为y 其中1 x 9 0 y 9 且x y为整数 则十位上的数字为9 x 个位上的数字为9 y 则这个数可以表示为n 1000 x 100y 10 9 x 9 y 化简 得n 990 x 99y 99 99 10 x y 1 1 x 9 0 y 9 且x y为整数 10 x y 1为整数 任意一个 极数 都是99的倍数 4分 2 由 1 可知 设任意一个 极数 m的千位数字为x 百位数字为y 其中1 x 9 0 y 9 且x y为整数 则 极数 m可表示为m 99 10 x y 1 D m 3 10 x y 1 5分 1 x 9 0 y 9 11 10 x y 1 100 33 3 10 x y 1 300 D m 为完全平方数且D m 是3的倍数 D m 36或81或144或225 6分 当D m 36时 得10 x y 11 解得x 1 y 1 此时 m 1188 当D m 81时 得10 x y 26 解得x 2 y 6 此时 m 2673 当D m 144时 得10 x y 47 解得x 4 y 7 此时 m 4752 当D m 225时 得10 x y 74 解得x 7 y 4 此时 m 7425 综上 满足条件的m为1188 2673 4752 7425 10分 思路分析 1 设 极数 n的千位数字为x 百位数字为y 则极数n 1000 x 100y 10 9 x 9 y 化简得n 99 10 x y 1 显然是99的倍数 2 根据 1 得出的极数m 99 10 x y 1 进而得出D m 3 10 x y 1 进一步得出D m 的取值范围 根据完全平方数的定义推出D m 36或81或144或225 最后得出极数m的值 易错警示易忽略x y的取值范围及所得关系式的自身特征而致错 3 2017江西 23 12分 我们定义 如图1 在 ABC中 把AB绕点A顺时针旋转 0 180 得到AB 把AC绕点A逆时针旋转 得到AC 连接B C 当 180 时 我们称 AB C 是 ABC的 旋补三角形 AB C 边B C 上的中线AD叫做 ABC的 旋补中线 点A叫做 旋补中心 特例感知 1 在图2 图3中 AB C 是 ABC的 旋补三角形 AD是 ABC的 旋补中线 如图2 当 ABC为等边三角形时 AD与BC的数量关系为AD BC 如图3 当 BAC 90 BC 8时 则AD长为 猜想论证 2 在图1中 当 ABC为任意三角形时 猜想AD与BC的数量关系 并给予证明 拓展应用 3 如图4 在四边形ABCD中 C 90 D 150 BC 12 CD 2 DA 6 在四边形内部是否存在点P 使 PDC是 PAB的 旋补三角形 若存在 给予证明 并求 PAB的 旋补中线 长 若不存在 说明理由 图4 解析 1 4 2 猜想 AD BC 证明 证法一 如图 延长AD至E 使DE AD 连接B E C E AD是 ABC的 旋补中线 B D C D 四边形AB EC 是平行四边形 EC B A EC B A AC E B AC 180 由定义可知 B AC BAC 180 B A BA AC AC AC E BAC EC BA AC E CAB AE CB AD AE AD BC 证法二 如图 延长B A至F 使AF B A 连接C F B AC C AF 180 由定义可知 B AC BAC 180 B A BA AC AC CAB C AF AB AF ABC AFC BC FC B D C D B A AF AD是 B FC 的中位线 AD FC AD BC 证法三 如图 将 AB C 绕点A顺时针旋转 C AC的度数 得到 AEC 此时AC 与AC重合 设D的对应点为D 连接AD 由定义可知 B AC BAC 180 由旋转得 B AC EAC BAC EAC 180 E A B三点在同一直线上 AB AB AE ED D C AD 是 EBC的中位线 AD BC AD BC 3 存在 如图 以AD为边在四边形ABCD的内部作等边 PAD 连接PB PC 延长BP交AD于点F 则有 ADP APD 60 PA PD AD 6 CDA 150 CDP 90 过点P作PE BC于点E 易知四边形PDCE为矩形 CE PD 6 tan 1 1 30 2 60 PE BC 且易知BE EC PC PB 3 2 60 APD BPC 60 120 180 又PA PD PB PC PDC是 PAB的 旋补三角形 3 60 DPE 90 DPF 30 ADP 60 BF AD AF AD 3 PF AD 3 在Rt PBE中 PB 4 BF PB PF 7 在Rt ABF中 AB 2 PDC是 PAB的 旋补三角形 由 2 知 PAB的 旋补中线 长为AB 求解 旋补中线 补充解法如下 如图 分别延长AD BC相交于点G ADC 150 BCD 90 GDC 30 GCD 90 在Rt GDC中 GD 2 4 GC GD 2 GA 6 4 10 GB 2 12 14 过A作AH GB交GB于点H 在Rt GAH中 AH GA sin60 10 5 GH AG 5 HB GB GH 14 5 9 在Rt ABH中 AB 2 PDC是 PAB的 旋补三角形 由 2 知 PAB的 旋补中线 长为AB 4 2016重庆 24 10分 我们知道 任意一个