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静力学1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图FAxFA yFB(a)(a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图FAxFA yFDFByFAFBxFBFANFBFDFANFAFBFD1-5 试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图1-5aFAxFA yFDxFDyWTEFCxFC yWFAxFA yFBxFB yFCxFC yFDxFDyFBxFByTE1-5b 1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2,机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解:杆AB,BC,CD为二力杆,受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压,分别选取销钉B和C为研究对象,受力如图所示:由共点力系平衡方程,对B点有: 对C点有: 解以上二个方程可得:F2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy解法2(几何法)分别选取销钉B和C为研究对象,根据汇交力系平衡条件,作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形,如图所示。FABFBCFCD60oF130oF2FBC45o对B点由几何关系可知:对C点由几何关系可知: 解以上两式可得:2-3 在图示结构中,二曲杆重不计,曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。FBFA解:BC为二力杆(受力如图所示),故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用,A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示,由力偶系作用下刚体的平衡方程有(设力偶逆时针为正):FBFC 其中:。对BC杆有: 。A,C两点约束力的方向如图所示。 2-4四连杆机构在图示位置平衡,已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M21Nm。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。各杆重量不计。FAFOOFAFBFBFCC解:机构中AB杆为二力杆,点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件,点O,C处的约束力方向也可确定,各杆的受力如图所示。对BC杆有: 对AB杆有:对OA杆有: 求解以上三式可得:, ,方向如图所示。xyFRMAFRdxFRMAFRdy2-6等边三角形板ABC,边长为a,今沿其边作用大小均为F的力,方向如图a,b所示。试分别求其最简简化结果。 解:2-6a坐标如图所示,各力可表示为:, 先将力系向A点简化得(红色的):,方向如左图所示。由于,可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的),主矢不变,其作用线距A点的距离,位置如左图所示。2-6b同理如右图所示,可将该力系简化为一个不过A点的力(绿色的),主矢为:其作用线距A点的距离,位置如右图所示。简化中心的选取不同,是否影响最后的简化结果?2-13图示梁AB一端砌入墙内,在自由端装有滑轮,用以匀速吊起重物D。设重物重为P, AB长为l,斜绳与铅垂方向成角。试求固定端的约束力。法1解:PBFBxFByP整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程(坐标一般以水平向右为x轴正向,竖直向上为y轴正向,力偶以逆时针为正):选梁AB为研究对象,受力如图,列平衡方程: MAFBxFByFAxFA y 求解以上五个方程,可得五个未知量分别为:(与图示方向相反)(与图示方向相同) (逆时针方向)MAPFAxFA yP法2解:设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程: 求解以上三个方程,可得分别为: (与图示方向相反) (与图示方向相同) (逆时针方向)2-18均质杆AB重G,长l ,放在宽度为a的光滑槽内,杆的B端作用着铅垂向下的力F,如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解:ANANDD选AB杆为研究对象,受力如图所示,列平衡方程: 求解以上两个方程即可求得两个未知量,其中:未知量不一定是力。2-27如图所示,已知杆AB长为l,重为P,A端用一球铰固定于地面上,B端用绳索CB拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与Oyz夹角为,绳与轴Ox的平行线夹角为,已知。试求绳子的拉力及墙的约束力。解:选杆AB为研究对象,受力如下图所示。列平衡方程:由和可求出。平衡方程可用来校核。思考题:对该刚体独立的平衡方程数目是几个?2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑,连接处皆为铰链。已知力作用在平面BDEH内,并与对角线BD成角,OA=AD。试求各支撑杆所受的力。解:杆1,2,3,4,5,6均为二力杆,受力方向沿两端点连线方向,假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象,受力如图所示,该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程: (受拉) (受压) (受压) (受拉) 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程,但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便,适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量,避免求解联立方程。2-31如图所示,欲转动一置于V形槽中的棒料,需作用一力偶,力偶矩。已知棒料重,直径。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数。解:取棒料为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:补充方程:五个方程,五个未知量,可得方程:解得。当时有:即棒料左侧脱离V型槽,与题意不符,故摩擦系数。2-33均质杆AB长40cm,其中A端靠在粗糙的铅直墙上,并用绳子CD保持平衡,如图所示。设,平衡时角的最小值为。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数。解:当时,取杆AB为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:附加方程:四个方程,四个未知量,可求得。2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体,A,B为支点,如图所示。若,A和B于斜面间的静摩擦因数分别为和,试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。解:选棱柱体为研究对象,受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程 如果棱柱不滑动,则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程,可求解五个未知量,其中:(1)当物体不翻倒时,则:(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式,棱柱才能保持平衡。3-10 AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力作用时,杆AB所受的力。设,杆重不计。FCxFCyFBxFBy解:假设杆AB,DE长为2a。取整体为研究对象,受力如右图所示,列平衡方程: 取杆DE为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:FDxFDyFHy 取杆AB为研究对象,受力如图所示,列平衡方程: (与假设方向相反)FBxFByFDyFDxFAxFAy(与假设方向相反)(与假设方向相反)3-12和四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力。接触面和各铰链均为光滑的,杆重不计,试求证不论力的位置如何,杆AC总是受到大小等于的压力。FCxFCyFD解:取整体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程: 取杆AB为研究对象,受力如图所示,列平衡方程: 杆AB为二力杆,假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程: 解得,命题得证。FABxFExFACFBFEyFBFABy注意:销钉A和C联接三个物体。3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接,且由铰链A及B固定,如图所示,在每一平板内都作用一力偶矩为的力偶。如,忽略板重,试求铰链支座A及B的约束力。FAFB解:取整体为研究对象,由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零,因此有:即必过A点,同理可得必过B点。也就是和是大小相等,方向相反且共线的一对力,如图所示。取板AC为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:FCxFCy解得:(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁和三根支承杆组成,载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1,2,3所受的力。解:FBxFByF3支撑杆1,2,3为二力杆,假设各杆均受压。选梁BC为研究对象,受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力,大小为2qa,作用在BC杆中点。列平衡方程:(受压)选支撑杆销钉D为研究对象,受力如右图所示。列平衡方程:DF3F2F1xy (受压) (受拉)FAxFAyF3F2MA选梁AB和BC为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(与假设方向相反) (逆时针)FAxFAyFBxFBy3-21二层三铰拱由和四部分组成,彼此间用铰链连接,所受载荷如图所示。试求支座的约束力。解:选整体为研究对象,受力如右图所示。列平衡方程: (1)FEFG由题可知杆DG为二力杆,选GE为研究对象,作用于其上的力汇交于点G,受力如图所示,画出力的三角形,由几何关系可得: FEFGF。取CEB为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:FCyFCxFEFByFBx 代入公式(1)可得:PFAxFAyN1N2N1T3-24均质杆AB可绕水平轴A转动,并搁在半径为的光滑圆柱上,圆柱放在光滑的水平面上,用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上,杆重16N,。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。解:取杆AB为研究对象,设杆重为P,受力如图所示。列平衡方程: 取圆柱C为研究对象,受力如图所示。列平衡方程: 注意:由于绳子也拴在销钉上,因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27均质杆AB和BC完全相同,A和B为铰链连接,C端靠在粗糙的墙上,如图所示。设静摩擦因数。试求平衡时角的范围。解:取整体为研究对象,设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程: (1)取杆BC为研究对象,受力如图所示。列平衡方程: (2)FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP 补充方程:,将(1)式和(2)式代入有:,即。3-30如图所示机构中,已知两轮半径量,各重,杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数,滚动摩擦系数。今在BC杆中点加一垂直力。试求:平衡时的最大值;当时,两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解:取整体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:FNDFNEFSDFSEMEMDFBFAC由题可知,杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力,以及B和C处的约束力和,由三力平衡汇交,可确定约束力和的方向如图所示,其中:,杆AC受压。取轮A为研究对象,受力如图所示,设的作用线与水平面交于F点,列平衡方程:FACFNDFSDMDF取轮B为研究对象,受力如图所示,设的作用线与水平面交于G点,列平衡方程:FNEFSEMEFBG解以上六个方程,可得:, , 若结构保持平衡,则必须同时满足:,即:,因此平衡时的最大值,此时:, 3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1,2,3杆的内力。解:由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分,取上面部分为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:F2F3F1SFGFHS (受拉) (受拉)(受压)3-38如图所示桁架中,ABCDEG为正八角形的一半,各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解:假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(受压)FGFEGFCDFABCFBCFCDFCG取节点C为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:其中:,解以上两个方程可得:(受压)3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解:取整体为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:ABC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2用截面S-S将桁架结构分为两部分,假设各杆件受拉,取右边部分为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(受拉)(受拉)4-1力铅垂地作用于杆AO上,。在图示位置上杠杆水平,杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力的大小。解:1.选定由杆OA,O1C,DE组成的系统为研究对象,该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定,有一个自由度。选参数为广义坐标。3.在图示位置,不破坏约束的前提下,假定杆OA有一个微小的转角,相应的各点的虚位移如下:rArCrBrDrE,代入可得:4.由虚位移原理有:对任意有:,物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4如图所示长为l的均质杆AB,其A端连有套筒,又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量,试求图示两种情况平衡时的角度。解:4a1.选杆AB为研究对象,该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定,有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知:杆的质心坐标可表示为:3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度,则质心C的虚位移:4.由虚位移原理有: 对任意有: 即杆AB平衡时:。解:4b1.选杆AB为研究对象,该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定,有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知:杆的质心坐标可表示为:3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度,则质心C的虚位移:4.由虚位移原理有: 对任意有: 即平衡时角满足:。4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P,弹簧原长为,试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解:1.选整个系统为研究对象,此系统包含弹簧。设弹簧力,且,将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有,以及重力。2. 该系统只有一个自由度,选定为广义坐标。由几何关系可知:3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定有一个微小的虚位移,则质心的虚位移为:弹簧的长度,在微小虚位移下:4.由虚位移原理有:其中,代入上式整理可得: 由于,对任意可得平衡时弹簧刚度系数为:4-6复合梁AD的一端砌入墙内,B点为活动铰链支座,C点为铰链,作用于梁上的力,以及力偶矩为的力偶,如图所示。试求固定端A处的约束力。解:解除A端的约束,代之以,并将其视为主动力,此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度,选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有:对任意可得:2在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如下图所示。由虚位移原理有: (1)由几何关系可得各点的虚位移如下:代入(1)式:对任意可得:,方向如图所示。3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如上图所示。由虚位移原理有:(2)有几何关系可得各点的虚位移如下:代入(2)式:对任意可得:,逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下:;力;力,其方向与水平成角;以及力偶,其力偶矩为。试求支座处的约束力。解:将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷,大小为。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束,代之以力,并将其视为主动力,系统还受到主动力的作用,如图所示。在不破坏约束的前提下,杆AC不动,梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度,选转角为广义坐标。给定虚位移,由虚位移原理有: (1)各点的虚位移如下:代入(1)式整理可得:对任意可得:,方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束,代之以,并将其视为主动力,系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度,选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时整个结构平移,如上图所示。由虚位移原理有: (2)各点的虚位移如下:代入(2)式整理可得:对任意可得:,方向如图所示。2b.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时梁AC向上平移,梁CDB绕D点转动,如上图所示。由虚位移原理有: (3)各点的虚位移如下:代入(3)式整理可得:对任意可得:,方向如图所示。2c.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时梁AC绕A点转动,梁CDB平移,如上图所示。由虚位移原理有: (4)各点的虚位移如下:代入(4)式整理可得:对任意可得:,顺时针方向。4-8设桁架有水平力及铅垂力作用其上,且,。试求杆1,2和3所受的力。解:假设各杆受拉,杆长均为a。1求杆1受力去掉杆1,代之以力,系统有一个自由度,选AK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,此时三角形ADK形状不变,绕A点转动,因此有,且:滑动支座B处只允许水平方向的位移,而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向,故B点不动。三角形BEK绕B点旋转,且:对刚性杆CD和杆CE,由于,因此。由虚位移原理有: 代入各点的虚位移整理可得:对任意可得:(受压)。2求杆2受力去掉杆2,代之以力,系统有一个自由度,选BK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,杆AK绕A点转动,因此有,且:同理可知B点不动,三角形BEK绕B点旋转,且:杆AD绕A点转动,由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示,且:同理可知。由虚位移原理有: 代入各点的虚位移整理可得:对任意可得:(受压)。3求杆3受力去掉杆3,代之以力,系统有一个自由度,选AK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,三角形ADK绕A点转动,且:同理可知B点不动,且:由虚位移原理有: 代入各点的虚位移整理可得:对任意可得:(受拉)。4-12杆长2b,重量不计,其一端作用铅垂常力,另一端在水平滑道上运动,中点连接弹簧,如图所示。弹簧刚度系数为k,当时为原长。不计滑块的重量和摩擦,试求平衡位置,讨论此平衡位置的稳定性。解:F大小和方向不变,常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统,有一个自由度,选为广义坐标,如图所示。取为零势能位置,则系统在任意位置的势能为:由平衡条件可得:有:和即:和也就是:和两个平衡位置。为判断平衡的稳定性,取势能V的二阶导数:当时,即时是不稳定平衡。当时,由上式可知:1 当且时,即是稳定平衡位置;2 当且时,即是不稳定平衡位置。4-15半径为的半圆住在另一半径为的半圆柱上保持平衡,如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解:取半径为r的半圆柱为研究对象,圆心为C。半圆柱作纯滚动,有一个自由度,取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力,系统为保守系统,如图所示,其中。由于半圆柱作纯滚动,有:(1)取坐标原点为零势能位置,则半圆柱在任意位置的势能为:代入(1)式有:由平衡条件可得为平衡位置。势能V的二阶导数:由上式可得当,是稳定的。努力学习吧!动力学13解:运动方程:,其中。将运动方程对时间求导并将代入得 16证明:质点做曲线运动,xyo所以质点的加速度为:,设质点的速度为,由图可知:,所以: 将,代入上式可得 证毕yzox17证明:因为,所以:证毕110y解:设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式:,并且 将上面两式对时间求导得:,由此解得: (a)(a)式可写成:,将该式对时间求导得: (b)将(a)式代入(b)式可得:(负号说明滑块A的加速度向上)取套筒A为研究对象,受力如图所示,根据质点矢量形式的运动微分方程有:将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:其中:将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:AOAOBR111解:设B点是绳子AB与圆盘的切点,由于绳子相对圆盘无滑动,所以,由于绳子始终处于拉直状态,因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等,即: (a)因为 (b)将上式代入(a)式得到A点速度的大小为: (c)由于,(c)式可写成:,将该式两边平方可得:将上式两边对时间求导可得:将上式消去后,可求得: (d)由上式可知滑块A的加速度方向向左,其大小为 AOBR取套筒A为研究对象,受力如图所示,根据质点矢量形式的运动微分方程有:将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:其中:, 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得113解:动点:套筒A;动系:OC杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:直线运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理有:,因为AB杆平动,所以,由此可得:,OC杆的角速度为,所以 当时,OC杆上C点速度的大小为: x115解:动点:销子M动系1:圆盘动系2:OA杆定系:机座;运动分析:绝对运动:曲线运动相对运动:直线运动牵连运动:定轴转动根据速度合成定理有, 由于动点M的绝对速度与动系的选取无关,即,由上两式可得: (a)将(a)式在向在x轴投影,可得:由此解得:117解:动点:圆盘上的C点;动系:O1A杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:圆周运动; 相对运动:直线运动(平行于O1A杆); 牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理有 (a)将(a)式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得:,根据加速度合成定理有 (b)将(b)式在垂直于O1A杆的轴上投影得其中:,由上式解得:119解:由于ABM弯杆平移,所以有 取:动点:滑块M;动系:OC摇杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:圆周运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理 可求得:,根据加速度合成定理 将上式沿方向投影可得:由于,根据上式可得:, 1-20 MOAB解:取小环M为动点,OAB杆为动系运动分析绝对运动:直线运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,其中:根据速度合成定理: 可以得到: ,MOAB加速度如图所示,其中:,根据加速度合成定理:将上式在轴上投影,可得:,由此求得:121Oxy解:求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取:动点:汽车B;动系:汽车A(Oxy);定系:路面。运动分析绝对运动:圆周运动;相对运动:圆周运动;牵连运动:定轴转动(汽车A绕O做定轴转动)求相对速度,根据速度合成定理 将上式沿绝对速度方向投影可得: y因此 其中:,由此可得:xO求相对加速度,由于相对运动为圆周运动,相对速度的大小为常值,因此有:1-23 质量为销钉M由水平槽带动,使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动,不计摩擦。求图示瞬时,圆槽作用在销钉M上的约束力。MOMO 解:销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力(如图所示)。由于销钉M的运动是给定的,所以先求销钉的加速度,在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点,水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。MOMO根据速度合成定理有 由此可求出: 。再根据加速度合成定理有:由于绝对运动是圆周运动,牵连运动是匀速直线平移,所以,并且上式可写成:因为 ,所以根据上式可求出: 。根据矢量形式的质点运动微分方程有:将该式分别在水平轴上投影: 由此求出:1-24 图示所示吊车下挂一重物M,绳索长为,初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。M解:由于要求重物相对吊车的速度,所以取吊车为动系,重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有将上式在切向量方向投影有因为,所以上式可写成整理上式可得将上式积分:其中为积分常数(由初始条件确定),因为相对速度,上式可写成初始时,系统静止,根据速度合成定理可知,由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为:RRoFORRoO1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动,小球M可在板内一光滑槽中运动(如图7-8),初始时小球相对静止且到转轴O的距离为,求小球到转轴的距离为时的相对速度。解:取小球为动点,板为动系,小球在水平面的受力如图所示(铅垂方向的力未画出)。根据质点相对运动微分方程有:将上式在上投影有 因为,所以上式可写成整理该式可得: 将该式积分有: 初始时,由此确定积分常数,因此得到相对速度为1-27 重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上,该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动,如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。MM解:取小环为动点,金属丝为动系,根据题意,相对平衡位置为,因为金属丝为曲线,所以,因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有:其中:,将上式分别在轴上投影有 (a)以为,,因此 (b)由(a)式可得 (c)将和式(b)代入式(c),并利用 ,可得:再由方程(a)中的第一式可得 x2-1 解:当摩擦系数足够大时,平台AB相对地面无滑动,此时摩擦力取整体为研究对象,受力如图,系统的动量:将其在轴上投影可得:根据动量定理有: 即:当摩擦系数时,平台AB的加速度为零。当摩擦系数时,平台AB将向左滑动,此时系统的动量为:将上式在轴投影有:根据动量定理有:由此解得平台的加速度为:(方向向左)x2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点,取整体为研究对象,受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为:将上式在x轴投影:根据动量定理有:系统的运动微分方程为:24 取提起部分为研究对象,受力如图(a)所示,提起部分的质量为,提起部分的速度为,根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为,方向向下,大小为(如图a所示)。y (a) (b)根据变质量质点动力学方程有:将上式在y轴上投影有:由于,所以由上式可求得:。再取地面上的部分为研究对象,由于地面上的物体没有运动,并起与提起部分没有相互作用力,因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力,即:x25 将船视为变质量质点,取其为研究对象,受力如图。根据变质量质点动力学方程有:船的质量为:,水的阻力为将其代入上式可得:将上式在x轴投影:。应用分离变量法可求得由初始条件确定积分常数:,并代入上式可得:2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动,板对转轴的转动惯量为,质量为的质点沿半径为的圆周运动,其相对方板的速度大小为(常量)。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时,方板的角速度为零,求方板的角速度与角的关系。oM 图a 图 b解:取方板和质点为研究对象,作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零,因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为,其角速度为,于是有设质点M对转轴的动量矩为,取方板为动系,质点M为动点,其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向,牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为其中:系统对z轴的动量矩为。初始时,此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时,系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有,因此可得:由上式可计算出方板的角速度为211 取链条和圆盘为研究对象,受力如图(链条重力未画),设圆盘的角速度为,则系统对O轴的动量矩为:根据动量矩定理有:P整理上式可得: 由运动学关系可知:,因此有:。上式可表示成:令,上述微分方程可表示成:,该方程的通解为:根据初始条件:可以确定积分常数,于是方程的解为:系统的动量在x轴上的投影为:系统的动量在y轴上的投影为:根据动量定理:由上式解得:,214 取整体为研究对象,系统的动能为:其中:分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度,则根据复合运动速度合成定理可知:,因此系统的动能可表示为:,系统在运动过程中,AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有:,系统的动力学方程可表示成:由上式解得:,ABAB217 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽,放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动,初始时,系统静止,小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。 图A 图B解:取小球和物块为研究对象,受力如图B所示,由于作用在系统上的主动力均为有势力,水平方向无外力,因此系统的机械能守恒,水平动量守恒。设小球为动点,物块为动系,设小球相对物块的速度为,物块的速度为,则系统的动能为设为势能零点,则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有,即 (1)系统水平方向的动量为: (2)根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有由此求出,将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且最后求得:下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象,受力如图C,D所示。设小球的相对物块的加速度为,物块的加速度为,对于小球有动力学方程 (a)ABAB 图C 图 D对于物块,由于它是平移,根据质心运动动力学方程有 (b)将方程(a)在小球相对运动轨迹的法线方向投影,可得其中相对加速度为已知量,。将方程(b)在水平方向和铅垂方向投影,可得令,联立求解三个投影方程可求出218 取小球为研究对象,两个小球对称下滑,设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有: (a)将上式对时间求导并简化可得: (b )每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象,应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得: 将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值,此时上式可表示成上述方程的解为:圆环脱离地面时的值为而也是方程的解,但是时圆环已脱离地面,因此不是圆环脱离地面时的值。219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知:系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为,牵连速度为,由系统对z轴的动量矩守恒,有:z其中:,则上式可表示成:由此解得:其中:,根据动能定理积分式,有:其中:,将其代入动能定理的积分式,可得:将代入上式,可求得:则: 由可求得:220 取链条为研究对象,设链条单位长度的质量为应用动量矩定理,链条对O轴的动量矩为:外力对O轴的矩为:因为:,所以上式可表示成:积分上式可得:由初始条件确定积分常数,最后得:33 取套筒B为动点,OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理可得:,研究AD杆,应用速度投影定理有:,再取套筒D为动点,BC杆为动系,根据点的复合运动速度合成定理将上式在x轴上投影有:,34 AB构件(灰色物体)作平面运动,已知A点的速度CAB的速度瞬心位于C,应用速度瞬心法有:,设OB杆的角速度为,则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点,该点的速度:齿轮I的角速度为: 36 AB杆作平面运动,取A为基点根据基点法公式有:将上式在AB连线上投影,可得因此,因为B点作圆周运动,此时速度为零,因此只有切向加速度(方向如图)。根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影,可得,(瞬时针)37 齿轮II作平面运动,取A为基点有 xy将上式在x 投影有:由此求得:再将基点法公式在y轴上投影有:,由此求得再研究齿轮II上的圆心,取A为基点将上式在y轴上投影有,由此解得:再将基点法公式在x轴上投影
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