固体力学的基本概念.ppt

第二章固体力学的基本概念 主讲老师 欧阳辉 一 外力 体力 面力 材力 集中力 分布力 1 体力 弹性体内单位体积上所受的外力 体力分布集度 矢量 说明 1 f是坐标的连续分布函数 2 f的加载方式是任意的 如 重力 磁场力 惯性力等 2 1外力 内力及截面法 为体力矢量在坐标轴上的投影 体力还可以用单位质量上的体力来表示 表示物体的密度 X Y Z为F在坐标上的投影 i j k为沿坐标轴正向的单位矢量 体力可以用单位体积的体力表示 也可以用单位质量的体力来表示 2 面力 作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度 矢量 面力矢量在坐标轴上投影 单位 1N m2 1Pa 帕 1MN m2 106Pa 1MPa 兆帕 说明 1 F是坐标的连续分布函数 2 F的加载方式是任意的 3 的正负号由坐标方向确定 绪论 二 内力 截面法 外力作用引起构件内部的附加相互作用力 求内力的方法 截面法 1 截开 2 代替 3 平衡 内力 截面法 求内力 内力的计算是分析构件强度 刚度 稳定性等问题的基础 求内力的一般方法是截面法 截面法的基本步骤 截开 在所求内力的截面处 假想地用截面将杆件一分为二 代替 任取一部分 其弃去部分对留下部分的作用 用作用在截开面上相应的内力 力或力偶 代替 平衡 对留下的部分建立平衡方程 根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力 此时截开面上的内力对所留部分而言是外力 组合受力 CombinedLoading 与变形 2 2 杆件变形的基本形式和内力 拉压 2 2 1 轴向拉压的概念及实例 轴向拉压的外力特点 外力的合力作用线与杆的轴线重合 一 概念 轴向拉压的变形特点 杆的变形主要是轴向伸缩 伴随横向缩扩 轴向拉伸 杆的变形是轴向伸长 横向缩短 轴向压缩 杆的变形是轴向缩短 横向变粗 拉压 轴向压缩 对应的力称为压力 轴向拉伸 对应的力称为拉力 力学模型如图 拉压 二 工程实例 拉压 拉压 内力指由外力作用所引起的 物体内相邻部分之间分布内力系的合成 附加内力 内力的计算是分析构件强度 刚度 稳定性等问题的基础 求内力的一般方法是截面法 三 轴向拉压横截面上的内力 轴力及轴力图 拉压 2 轴力 轴向拉压杆的内力 用N表示 例如 截面法求FN N 截开 代替 平衡 反映出轴力与截面位置变化关系 较直观 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置 即确定危险截面位置 为强度计算提供依据 拉压 3 轴力图 N x 的图象表示 轴力的正负规定 N与外法线同向 为正轴力 拉力 N与外法线反向 为负轴力 压力 N x P 意义 拉压 例1 图示杆的A B C D点分别作用着大小为5P 8P 4P P的力 方向如图 试画出杆的轴力图 解 求OA段内力N1 设置截面如图 拉压 同理 求得AB BC CD段内力分别为 N2 3PN3 5PN4 P 轴力图如右图 D PD N x 2P 3P 5P P 拉压 轴力 图 的简便求法 自左向右 轴力图的特点 突变值 集中载荷 遇到向左的P 轴力N增量为正 遇到向右的P 轴力N增量为负 3kN 5kN 8kN 一 连接件的受力特点和变形特点 1 连接件 剪切 在构件连接处起连接作用的部件 称为连接件 例如 螺栓 铆钉 键等 连接件虽小 起着传递载荷的作用 特点 可传递一般力 可拆卸 螺栓 2 2 剪切的概念及实例 剪切 铆钉 特点 可传递一般力 不可拆卸 如桥梁桁架结点处于它连接 无间隙 特点 传递扭矩 2 受力特点和变形特点 剪切 以铆钉为例 受力特点 构件受两组大小相等 方向相反 作用线相互很近 差一个几何平面 的平行力系作用 变形特点 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动 剪切 剪切面 构件将发生相互的错动面 如n n 剪切面上的内力 内力 剪力Q 其作用线与剪切面平行 扭转 2 2 扭转 轴 工程中以扭转为主要变形的构件 如 机器中的传动轴 石油钻机中的钻杆等 扭转 外力的合力为一力偶 且力偶的作用面与直杆的轴线垂直 杆发生的变形为扭转变形 扭转 扭转角 任意两截面绕轴线转动而发生的角位移 剪应变 直角的改变量 扭转 工程实例 扭转 一 传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率 转速与外力偶矩的关系 其中 P 功率 千瓦 kW n 转速 转 分 rpm 其中 P 功率 马力 PS n 转速 转 分 rpm 其中 P 功率 马力 HP n 转速 转 分 rpm 1PS 735 5N m s 1HP 745 7N m s 1kW 1 36PS 3扭矩的符号规定 T 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正 反之为负 扭转 二 扭矩及扭矩图1扭矩 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 T 2截面法求扭矩 扭转 4扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线 目的 x T 扭转 例1 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 计算外力偶矩 扭转 求扭矩 扭矩按正方向设 扭转 绘制扭矩图 BC段为危险截面 x T 4 78 9 56 6 37 弯曲内力 2 2 平面弯曲 一 弯曲的概念 1 弯曲 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 轴线变成了曲线 这种变形称为弯曲 2 梁 以弯曲变形为主的构件通常称为梁 3 工程实例 弯曲内力 弯曲内力 弯曲内力 4 平面弯曲 杆发生弯曲变形后 轴线仍然和外力在同一平面内 纵向对称面 载荷作用面 曲挠面重合 对称弯曲 如下图 平面弯曲的特例 弯曲内力 非对称弯曲 若梁不具有纵对称面 或者 梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内 这种弯曲则统称为非对称弯曲 弯曲内力 二 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂 为了便于分析计算 应进行必要的简化 抽象出计算简图 1 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁 2 载荷简化作用于梁上的载荷 包括支座反力 可简化为三种类型 集中力 集中力偶和分布载荷 3 支座简化 弯曲内力 固定铰支座2个约束 1个自由度 如 桥梁下的固定支座 止推滚珠轴承等 可动铰支座1个约束 2个自由度 如 桥梁下的辊轴支座 滚珠轴承等 弯曲内力 固定端3个约束 0个自由度 如 游泳池的跳水板支座 木桩下端的支座等 4 梁的三种基本形式 简支梁 悬臂梁 弯曲内力 外伸梁 5 静定梁与超静定梁 静定梁 由静力学方程可求出支反力 如上述三种基本形式的静定梁 超静定梁 由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力 三 弯曲内力 弯曲内力 举例 已知 如图 P a l 求 距A端x处截面上内力 l A A B B 解 求外力 弯曲内力 求内力 截面法 A Q M M Q 弯曲构件内力 1 弯矩 M构件受弯时 横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩 C C 弯曲内力 2 剪力 Q构件受弯时 横截面上其作用线平行于截面的内力 3 内力的正负规定 剪力Q 绕研究对象顺时针转为正剪力 反之为负 弯矩M 使梁变成凹形的为正弯矩 使梁变成凸形的为负弯矩 Q Q Q Q M M M M 例2 求图 a 所示梁1 1 2 2截面处的内力 解 截面法求内力 1 1截面处截取的分离体如图 b 示 图 a 四 例题 Q1 A M1 图 b 弯曲内力 2 2截面处截取的分离体如图 c 图 a q Q2 B M2 弯曲内力 图 c 一 应力的概念 内力大小不能衡量构件强度的大小 强度 内力在截面分布集度 应力 材料承受荷载的能力 定义 由外力引起的内力分布状况及其集度 2 应力 问题的提出 工程构件 大多数情形下 内力并非均匀分布 集度的定义不仅准确而且重要 因为 破坏 或 失效 往往从内力集度最大处开始 N m 2 pa N m 2国际单位制 1kpa 103Pa1MPa 106Pa工程单位制 Kgf cm2 拉压 变形前 1 变形规律试验及平面假设 平面假设 原为平面的横截面在变形后仍为平面 纵向纤维变形相同 受载后 二 拉 压 杆横截面上的应力 拉压 均匀材料 均匀变形 内力当然均匀分布 2 拉伸应力 轴力引起的正应力 在横截面上均布 危险截面 内力最大的面 截面尺寸最小的面 危险点 应力最大的点 3 危险截面及最大工作应力 拉压 三 拉 压 杆斜截面上的应力 设有一等直杆受拉力P作用 求 斜截面k k上的应力 解 采用截面法由平衡方程 Pa P 则 Aa 斜截面面积 Pa 斜截面上内力 由几何关系 代入上式 得 斜截面上全应力 拉压 斜截面上全应力 Pa 分解 反映 通过构件上一点不同截面上应力变化情况 当 90 时 当 0 90 时 2 单元体 单元体 构件内的点的代表物 是包围被研究点的无限小的几何体 常用的是正六面体 单元体的性质 a 平行面上 应力均布 b 平行面上 应力相等 3 拉压杆内一点M的应力单元体 1 一点的应力状态 过一点有无数的截面 这一点的各个截面上的应力情况 称为这点的应力状态 补充 拉压 取分离体如图3 a逆时针为正 ta绕研究对象顺时针转为正 由分离体平衡得 拉压 4 拉压杆斜截面上的应力 扭转 四 薄壁圆筒扭转时的应力 一 实验 1 实验前 绘纵向线 圆周线 施加一对外力偶m 扭转 2 实验后 圆周线不变 纵向线变成斜直线 3 结论 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 扭转 无正应力 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 微小矩形单元体如图所示 扭转 二 薄壁圆筒剪应力 大小 A0 平均半径所作圆的面积 扭转 三 剪应力互等定理 上式称为剪应力互等定理 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 剪应力必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 扭转 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 2 应变与变形 一 应变的概念 变形体在外力的作用下 不仅产生应力 同时还发生变形 与正应力和剪应力相对应 变形体有两个基本变形特征值 正应变和剪应变 正应变 剪应变 二 应变 变形 物体受力后几何形状或尺寸的改变 一般地 一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义 变形包括单元体尺寸和形状二种改变 过A点沿坐标方向线段的尺寸改变 线应变 线应变 正应变 剪应变 切应变 所反映的变形特征分别与正应力和剪应力的作用相对应 过A点直角形状的改变 剪应变 1 杆的纵向总变形 3 平均线应变 2 线应变 单位长度的线变形 一 拉压杆的变形及应变 2 4 1直杆的轴向拉压变形 拉压 4 x点处的纵向线应变 6 x点处的横向线应变 5 杆的横向变形 拉压 L1 二 拉压杆的弹性定律 1 等内力拉压杆的弹性定律 2 变内力拉压杆的弹性定律 内力在n段中分别为常量时 EA 称为杆的抗拉压刚度 拉压 3 单向应力状态下的弹性定律 4 泊松比 或横向变形系数 拉压 三 是谁首先提出弹性定律弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础 一般认为它是由英国科学家胡克 1635一1703 首先提出来的 所以通常叫做胡克定律 其实 在胡克之前1500年 我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载 东汉经学家郑玄 127 200 对 考工记 弓人 中 量其力 有三均 作了这样的注释 假令弓力胜三石 引之中三尺 弛其弦 以绳缓擐之 每加物一石 则张一尺 图 拉压 补充题 图示为一变截面圆杆ABCD 已知P1 20KN P2 35KN P3 35KN l1 l3 300mm l2 400mm d1 12mm d2 16mm d3 24mm 试求 1 1 1 11 11 111 111截面的轴力 作轴力图 2 杆的最大正应力 max 3 B截面的位移及AD杆的变形 解 求支座反力R 50KN 1 1 1 11 11 111 111截面的轴力 作轴力图 N1 P1 0 N1 20KN N2 P1 P2 0 N2 15KN N3 R 0 N3 R 50KN 2 杆的最大正应力 max AB段 DC段 BC段 max 176 8MPa发生在AB段 3 B截面的位移及AD杆的变形 AB段 BC段 CD段 3 B截面的位移及AD杆的变形 补充题 一等直杆受自重及集中力P作用 杆的长度为l 横截面面积为A 材料的容重为 弹性模量为E 许用应力为 试分析杆的自重对强度的影响 并求杆的伸长 解 N x P Ax Nmax P Al Nmax P Al 强度条件为 或 可见 若杆的 l与材料的 相比很小 则杆的自重影响很小 可略去不计 W Al为杆的自重 2 4 1薄壁圆筒的扭转变形 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 与 的关系 4 与 的关系 此为薄壁圆筒扭转时剪应变 与扭转角 的关系由试验测定扭转角 后 剪应变 也可求出 薄壁圆筒的扭转试验发现 当外力偶m在某一范围内时 与m 在数值上等于T 成正比 由 间的线性关系 可推出 a 该式称为材料的剪切胡克定律 G称为材料的剪切弹性模量 其单位是Pa 一 试验条件及试验仪器 1 试验条件 常温 20 静载 及其缓慢地加载 标准试件 拉压 力学性能 材料在外力作用下表现的有关强度 变形方面的特性 2 5应力和应变的关系 2 试验仪器 万能材料试验机 变形仪 常用引伸仪 拉压 二 低碳钢试件的拉伸图 P L图 三 低碳钢试件的应力 应变曲线 图 拉压 一 低碳钢拉伸的弹性阶段 oe段 1 op 比例段 p 比例极限 2 pe 曲线段 e 弹性极限 拉压 泊松比 或横向变形系数 试验证明 在弹性范围内 同一材料的横向应变 与轴向应变 之比的绝对值是一个常数 二 低碳钢拉伸的屈服 流动 阶段 es段 es 屈服段 s 屈服极限 滑移线 塑性材料的失效应力 s 拉压 卸载定律 强度极限 冷作硬化 冷拉时效 三 低碳钢拉伸的强化阶段 段 拉压 四 低碳钢拉伸的颈缩 断裂 阶段 bf段 拉压 1 延伸率 2 面缩率 3 脆性 塑性及相对性 四 无明显屈服现象的塑性材料 0 2 s0 2 名义屈服应力 0 2 即此类材料的失效应力 五 铸铁拉伸时的机械性能 L 铸铁拉伸强度极限 失效应力 拉压 扭转 T m 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 p 剪应力与剪应变成正比关系 一 弹性应变能 杆件发生弹性变形 外力功转变为变形能贮存于杆内 这种能成为应变能 StrainEnergy 用 U 表示 二 拉压杆的应变能计算 不计能量损耗时 外力功等于应变能 内力为分段常量时 拉压 2 5应变能 三 拉压杆的比能u 单位体积内的应变能 拉压 四 等直圆杆在扭转时的应变能 单位体积内的剪切应变能称为剪切应变能密度 扭转 四 等直圆杆在扭转时的应变能 剪切应变能与能密度 单元体微功 应变比能