江苏省各市2012年中考数学分类解析专题9：三角形.doc

江苏13市2012年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形1、 选择题1. （2012江苏苏州3分）如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，若AOB=15，则AOB的度数是【 】A.25 B.30 C.35 D. 40【答案】B。【考点】旋转的性质。【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，AOA=45，AOB=AOB=15，AOB=AOAAOB=4515=30。故选B。2. （2012江苏无锡3分）sin45的值等于【 】ABCD1【答案】B。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45=。故选B。3. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】A. B. C. D. 二、填空题1. （2012江苏常州2分）若=600，则的余角为 ，cos的值为 。【答案】300，。【考点】余角定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据余角定义，的余角为900600=300；由特殊角的三角函数值，得cos=。2. （2012江苏淮安3分）如图，ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，若BAC=700，则BAD= 0。【答案】35。【考点】等腰三角形的性质。【分析】由AB=AC，ADBC，根据等腰三角形三线合一的性质，得BAD=CAD；由BAC=700，得BAD=350。3. （2012江苏南京2分）如图，将的AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm（结果精确到0.1 cm，参考数据：，）【答案】2.7。【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点B作BDOA于D，过点C作CEOA于E。在BOD中，BDO=90，DOB=45，BD=OD=2cm。CE=BD=2cm。在COE中，CEO=90，COE=37，OE2.7cm。OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm。4. （2012江苏泰州3分）如图，ABC中，C=90，BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 【答案】4。【考点】点到直线距离的概念，角平分线的性质。【分析】过点D作DEAB于点E，则DE即为点D到AB的距离。 AD是BAC的平分线，CD=4， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得DE= CD=4， 即点D到AB的距离为4。5. （2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 【答案】2。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。【分析】如图，连接BE，交CD于点F。四边形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF。根据题意得：ACBD，ACPBDP。DP：CP=BD：AC=1：3。DP=PF=CF= BF。在RtPBF中，。APD=BPF，tanAPD=2。6. （2012江苏无锡2分） 如图，ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点现将BCD沿BA方向平移1cm，得到EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 cm【答案】3。【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由ACB=90，AB=8，D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得AD=BD=CD=AB=4。然后由平移的性质得GHCD，因此AGHADC。 。 又EFG由BCD沿BA方向平移1cm得到的， AG=41=3。，解得GH=3。7. （2012江苏镇江2分）如图，1是RtABC的一个外角，直线DEBC，分别交边AB、AC于点D、E，1=1200，则2的度数是 。【答案】300。【考点】平行线的性质，三角形内角定理。【分析】DEBC（已知），2=B（两直线平行，同位角相等）。 又1=AB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和），1=A2（等量代换）。又1=1200（已知），A=900（直角的定义），1200=9002（等量代换）。2=1200900=300（移项，合并）。三、解答题1. （2012江苏常州5分）如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，求证：DBC=DCB。【答案】证明：AD平分BAC，BAD=CAD。 又AB=AC，AD=AD，BADCAD（SAS）。 BD=CD。DBC=DCB。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】由已知，根据SAS可证BADCAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得DBC=DCB。2. （2012江苏淮安10分）如图，ABC中，C=900，点D在AC上，已知BDC450，BD，AB20，求A的度数。【答案】解：在直角三角形BDC中，BDC=45，BD= ，BC=BDsinBDC=。C=90，AB=20，。A=30。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和BDC=45求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得A的度数即可。3. （2012江苏连云港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)(参考数据：sin53.20.80，cos53.20.60，sin79.80.98，cos79.80.18，tan26.60.50，1.41，2.24)【答案】解：由路程=速度时间，得BC4010。在RtADB中，sinDBA，sin53.20.8，AB。如图，过点B作BHAC，交AC的延长线于H，在RtAHB中，BAHDACDAB63.63726.6，tanBAH，0.5，AH2BH。又BH2AH2AB2，即BH2(2BH)2202，BH4， AH8。在RtBCH中，BH2CH2BC2，即（4）2CH2102，解得CH2。ACAHCH82613.4。答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】根据在RtADB中，sinDBA，得出AB的长，从而得出tanBAH，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，从而得出答案。4. （2012江苏南京8分）如图，在直角三角形ABC中，ABC=90，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BEAC，与BD的垂线DE交于点E，（1）求证：ABCBDE（2）三角形BDE可由三角形ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）证明：在RtABC中，ABC=90，ABE+DBE=90。BEAC，ABE+A=90。A=DBE。DE是BD的垂线，D=90。在ABC和BDE中， A=DBE ，AB=DB ，ABC=D，ABCBDE（ASA）。（2）如图，点O就是所求的旋转中心。【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定，作图（旋转变换），线段垂直平分线的性质。【分析】（1）利用已知得出A=DBE，从而利用ASA得出ABCBDE即可。（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心也可。5. （2012江苏南通8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)【答案】解：AB为南北方向，如图，AEP和BEP均为直角三角形。在RtAEP中，APE=9060=30，AP=100，AE=AP=100=50，EP=100cos30=50。在RtBEP中，BPE=9045=45，BE=EP=50。AB=AEBE=5050。答：测量船从A处航行到B处的路程为5050海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形，将AB分为AE和BE两部分，分别在RtBEP和RtBEP中求解。6. （2012江苏苏州8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即BAC）为30，BCAC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据）. 若修建的斜坡BE的坡角(即BAC)不大于45,则平台DE的长最多为 米；一座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即HDM)为30.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HGCG，问建筑物GH高为多少米？【答案】解：（1）11.0。（2）过点D作DPAC，垂足为P。在RtDPA中，DP=AD=30=15，PA=ADcos30= 30。在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=PAAG=+27。在RtDMH中，HM=DMtan30=（+27），GH=HMMG=15+45.6。答：建筑物GH高为45.6米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意得出，BEF最大为45，当BEF=45时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：修建的斜坡BE的坡角（即BEF）不大于45，BEF最大为45，当BEF=45时，EF最短，此时ED最长。DAC=BDF=30，AD=BD=30，BF=EF=BD=15，DF=。DE=DFEF=15（1）11.0。（2）利用在RtDPA中，DP=AD，以及PA=ADcos30，从而得出DM的长，利用HM=DMtan30得出即可。7. （2012江苏宿迁10分）如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图.已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角ADF=60，底端的俯角BDF=30，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度.【答案】解：FC=DE=2，BC=1，BF=1。 在RtBDF中，BDF=30，BF=1，。 在RtADF中，ADF=60，。 壁画AB的高度为：AFBF=4。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分别解RtBDF和RtADF即可。8. （2012江苏泰州10分）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60，然后他从P处沿坡角为45的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离（精确到0.1m，参考数据：,）【答案】解：（1）过点C作CEBP于点E，在RtCPE中，PC=30m，CPE=45，。CE=PCsin45=30（m）。点C与点A在同一水平线上，AB=CE=21.2（m）。答：居民楼AB的高度约为21.2m。（2）在RtABP中，APB=60，。（m）。PE=CE=m，AC=BE=33.4（m）。答：C、A之间的距离约为33.4m。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题），锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在RtCPE中，由 得出EC的长度，从而可求出答案。（2）在RtCPE中，由得出BP的长，从而得出PE的长，即可得出答案。9. （2012江苏徐州8分）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m。（1）FDM ，F1D1N ；（2）求电线杆AB的高度。10. （2012江苏盐城10分）如图所示,当小华站立在镜子前处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为；如果小华向后退0.5米到处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为.求小华的眼睛到地面的距离.(结果精确到0.1米,参考数据:)【答案】解：设，则在中，, 。 又在中，。由对称性知：，即。解得。小华的眼睛到地面的距离约为。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质。【分析】设，利用等腰直角三角形的性质得出，从而由 得出，由对称的性质得，即，求出即可。11. （2012江苏扬州10分）如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA90，BEAD，垂足为E求证：BEDE【答案】证明：作CFBE，垂足为F， 21世纪教育网BEAD，AEB90。FEDDCFE90，CBEABE90，BAEABE90。BAECBF。四边形EFCD为矩形。DECF。在BAE和CBF中，CBEBAE，BFCBEA90，ABBC，BAECBF（AAS）。BECF。又CFDE，BEDE。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】作CFBE，垂足为F，得出矩形CFED，求出CBFA，根据AAS证BAECBF，推出BECF即可。12. （2012江苏扬州10分）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救已知C处位于A处的北偏东45的方向上，港口A位于B的北偏西30的方向上求A、C之间的距离(结果精确到0.1海里，参考数据1.41，1.73)【答案】解：作ADBC，垂足为D，由题意得，ACD45，ABD30。设CDx，在RtACD中，可得ADx，在RtABD中，可得BD.又BC20，x20，解得：x =。AC (海里)。答：A、C之间的距离为10.3海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题，）锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形：作ADBC，垂足为D，设CDx，利用解直角三角形的知识，可得出AD，从而可得出BD，结合题意BCCDBD20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案。13. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF。（1）求证：ADEBFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。【答案】解：（1）证明：ADBC，ADE=BFE（两直线平行，内错角相等）。 E是AB的中点，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFE（AAS）。 （2）EG与DF的位置关系是EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE（等量代换）。GD=GF（等角对等边）。 又ADEBFE，DE=EF（全等三角形对应边相等）。EGDF（等腰三角形三线合一）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明ADEBFE。 （2）由ADE=BFE，GDF=ADF可得GDF=BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）ADEBFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EGDF。14. （2012江苏镇江11分）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。若，BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：ABC、APD和APE都是等边三角形， AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。 ADMAPN（ASA），AM=AN。（2）易证BPMCAP， BN=，AC=2，CP=2x，即。 解得x=或x=。 四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。 ADMAPN，。如图，过点P作PSAB于点S，过点D作DTAP于点T，则点T是AP的中点。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。当x=1时，S的最小值为。连接PG，设DE交AP于点O。若BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a（1）a=（3）a，HE=2DODH=2a2a=2（1）a。，。以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 由BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。