《正交曲面坐标系》PPT课件.ppt

第十五章正交曲面坐标系 数学物理方法 定解问题分离变量法直角坐标系 一维线性矩形长方体 圆柱球形 正交曲面坐标系 15 1正交曲面坐标系 直角坐标系下任意一点 x y z 球坐标 柱坐标 定义 曲面坐标系 q1 q2 q3 与直角坐标系的关系为 雅可比行列式不为零 其坐标面为三组曲面 q1 常数 q2 常数 q3 常数 正交曲面坐标系 由通过该点的三个坐标面决定 q1 q2 q3相互独立 若q1 q2 q3总是互相垂直 它就是正交曲面坐标系 点a0与其邻点的弧长 其中 是坐标轴的度规因子 若gij giidij 则 q1 q2 q3 为正交曲面坐标系 令其中 判定 即或 判断柱坐标系为正交曲面坐标系 可知 柱坐标系是正交曲面坐标系 判断球坐标系为正交曲面坐标系 可知 球坐标系是正交曲面坐标系 直角坐标系 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符 柱坐标系 球坐标系 极坐标系 补充原点处的有界条件 有界 15 2圆形区域 可采用分离变量法 采用平面极坐标系 圆形区域中的稳定问题 补充周期性条件 直角坐标下无法分离变量 令 分离变量 定解问题为 两边同乘以得 若l 0可知 周期性条件 由周期性条件知 本征函数 若l 0可知 由周期性条件知 本征函数 对方程 1 作变换 令 则 因此 当时 本征函数为 本征值l0 0 本征函数 方程 1 化为 定解问题的全部特解为 一般解 本征值lm m2 本征函数 在r 0处 有界 lnr和项的系数为零 即 将一般解代入周期性条件 利用本征函数的正交性及 可知 再代入边界条件 三维空间的稳恒振动问题 15 3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 通常要求解的形式为 这样方程就化为了 亥姆霍兹方程 T t 为随时间衰减的因子 柱坐标系下 亥姆霍兹方程的具体形式为 逐次分离变量 令 代入方程 两边同除以wZ得 再次分离变量 令 代入方程 得 两边同乘以得 17章柱函数 两边同乘以得 15 4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 球坐标系下 亥姆霍兹方程的具体形式为 逐次分离变量 令 代入方程 再次分离变量 令 代入方程 2 得 即 两边同乘以得 16章球函数 连带勒让德方程 当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时 即u u r q 而与f无关时 亥姆霍兹方程变为 两边同乘以得 即 分离变量 令 代入方程 16章球函数 勒让德方程