初高中衔接教材数学部分.doc

数学部分第一讲 代数式及其恒等变形导学：初中学生必须能快速而且准确地进行代数式及其恒等变形.用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.整式和分式统称为有理式.本讲主要学习：整式及其恒等变形、二次根式及其恒等变形.1.1 整式及其恒等变形【方法要点】幂的乘（除）法运算：，（为正整数）.多项式乘法公式：（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：， ；（3）立方和、差公式：，；（4）完全立方公式：,【试一试】下列运算正确吗？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）；（3）； （4） .观察下列一组单项式：，按此规律，第n个单项式是 .3现规定一种运算：，其中为实数，则= .【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意些什么？例. 计算：.解：原式=；例.求代数式的值：（1）当时，求代数式的值.（2）已知代数式的值为8，求代数式的值 （3）已知，时，求的值.解：（1）原式=.当时，原式为-9；（2）由知，得；（3）原式=.当，时，原式为3.【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈整式的恒等变形的特点，你认为整式的恒等变形在简化计算中有哪些好处？1计算2（1）已知.，则y的最小值是多少？（2）若，则的值是多少？3已知，则的值为多少？4已知，求代数式的值.5先化简，再求值：（1），其中；（2），其中.6小明家买了一套价格为80万元的住房，按要求需首期（第一年）付房款30万元，从第二年起，每年付房款5万元与上一年剩余房款的利息之和，假设剩余房款年利率为6.06%，则第年小明家需还款 万元.1.2 二次根式及其恒等变形【方法要点】根式：式子表示的是实数的算术平方根；二次根式的性质：（）； ；（，）； （，）.【试一试】1.下列计算正确吗？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）；（3）； （4） .2.观察分析下列数据，寻找规律：0，3，则第10个数据是什么？3.估算的值（ ）在1和2之间 在2和3之间 在3和4之间 在4和5之间4.要使式子有意义，的取值范围是（ ） 且 或 且【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意些什么？例.已知，化简解：由知异号，再由知，可得，从而.所以=.例2.比较大小：（1）与 （2）与 （3）与解：，而，；，而，故-；，而，即例3已知，、为实数，求的值.解：由题知.得，.例4.计算（1）； （2）；（3）.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.例5.已知，求的取值范围.解：由知，注意到，则有，所以，故.【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈根式的恒等变形的特点，你认为根式的恒等变形在简化计算中有哪些好处？若，化简.2.使有意义，应满足的条件是什么？3.下列计算正确的是（ ） 4.先化简再求值：，其中.5.计算：（1）； （2）；（3）； （4）.6.已知，求的值.7.已知，试求的值.8.我们知道，形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：；，这样的化简过程叫做分母有理化.我们把叫做的有理化因式， 做的有理化因式.请完成下列各题：（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ；（2）化简；（3）比较，的大小，并说明理由.9.观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）上述各式反映的规律,写出用a（a为任意自然数且）表示的等式,并给出验证.第二讲 因式分解导学：在前一讲里，我们会根据多项式乘法的分配律、交换律与结合律,求出若干个多项式的乘积那么，把这一过程反过来，我们能做什么呢？能把一个多项式化为若干个次数较低的多项式（或单项式）的乘积！把一个多项式化为若干个整式的积的过程叫做因式分解，也叫分解因式，从定义不难看出，因式分解是整式乘法的逆运算.“化积”与“整式”是因式分解的两个基本特征因式分解通常以“能分则分，直到不能再分”为原则，把一个多项式尽可能地分解为不能再分的几个整式的乘积在数学解题中，因式分解是一种重要的思想方法，我们必须学会其中几种最常用的方法！ 提取公因式法与运用公式法【方法要点】提取公因式法，即把多项式中各项含有的公因式提出来.应用公式法，即直接运用以下乘法公式进行因式分解（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：；（3）立方和差公式：；（4）完全立方公式：.【试一试】以下因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）.下面多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由.(1)； (2)； (3) 分解因式：(1)；(2)；(3) ；(4)【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意些什么？例. 把下列各式分解因式：； ；解：原式；原式；原式；原式例.把下列各式分解因式： ； 解：原式；原式；原式=例.把下列各式分解因式：； 解：原式；原式=；原式=【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈用提取公因法与运用公式法分解因式的特点，你认为因式分解在简化计算中有哪些好处？将下列各式分解因式：； 计算下列各式的值：；2.2 十字相乘法【方法要点】十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：第一种叫分拆系数形式，由中二次项系数、常数项与一次项系数间的关系得出，如图；第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积，然后交叉相乘的和是一次项，如图 图 图【试一试】试指出下列各式中实数的值： ；.用十字相乘法分解下列因式:； ；.【想一想】 以下问题是如何解决的?十字相乘法仅适用于对二次三项式的因式分解吗?例 把下列各式分解因式：; ； 解：；.例 请连续二次运用十字相乘法分解下列各式：； 解：，而，原式=； ，而，原式=；，而，原式=例 你能根据右边的图示，写出一个多项式及其它的分解式吗？ 如能，你可写出几个呢？ 解：从二次三项式考虑，有； ； 如从更一般考虑，可以为； 【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈用十字相乘法分解因式的特点，你认为用这一方法时要注意些什么？ 将下列各式分解因式：； ；将下列各式分解因式：； ；2.3 分组分解法【方法要点】分组分解法也是一种非常实用的因式分解方法，它是在多项式各项没有直接的公因式的情况下，先通过合理分组使各组出现公因式或构成某个乘法公式，然后再提取公因式或运用乘法公式，直至把某多项式化成几个整式乘积的形式.分组分解法的关键在于合理分组这里的合理，就是要使分组后的各组具有公因式或构成某个乘法公式【试一试】以下各式应怎样分组，才能使分组后的各组具有公因式或构成一个乘法公式？；把下列各式分解因式：；【想一想】下列问题是怎样处理的？这样处理的目的是什么？还有其它解决办法吗？例 把下列各式分解因式：；解：；原式 例 把下列各式分解因式： ； 解：；例 多项式可进行因式分解吗？怎样分解？解：可以将各看成一个整体，对原多项式进行重新分组，便有 【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，概括一下用分组分解法进行分解因式的特点及运用时的关键点 将下列各式分解因式： ；已知，试求的值； 若，求证：、中至少有两个数相等.2. 4 其它方法【方法要点】在因式分解中，除了上面介绍的提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法以外，还有求根公式法、待定系数法等求根公式法相对二次三项式而言，这里的“求根公式”就是一元二次方程，当时的两个实根：求出了实根，也就有因式分解的结论.可见，这种方法只有在相应一元二次方程有实根的前提下使用的；待定系数法是在已明确因式分解的方向，但不知有关系数时使用的一种方法，求出待定系的依据是“两多项式恒等，对应项系数相等”【试一试】你能用十字相乘法、求根公式法分解下列因式吗？不能用时能想到用别的方法吗？；如已经知道多项式中含有因式，你有什么办法可求出该多项式的其余因式？【想一想】例 把下列各式分解因式：； 解：，,.求得方程的两个实根为：原式；将看成常数，方程的两根是所以，原式=.至此，你能总结出用求根公式法分解因式时的步骤是什么？例 试用待定系数法分解下列因式：；观察与思考：本题中的两个多项式各具有什么样的整式因式呢？方向应该是有的：在第问中，它至少可以化为一个一次整式与一个二次三项式的乘积；在第问中，它至少可以化为两个二次三项式的乘积解：对照同次项前的系数得：，解得故得原式=.设对照同次项前的系数有：，解得【练一练】解答以下各题，并请结合本节【试一试】、【想一想】中的解法，总结一下求根公式法适用的范围、步骤，待定系数法应用时的情境、步骤及注意点等等 分解因式：； 分解因式： ； 若能分解为两个一次因式的积，求实数的值多项式能分解为两个一次因式的乘积吗？你能证明你的结论吗？第三讲 一元二次方程导学：一元二次方程几种常见解法：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法；一元二次方程，当判别式时，方程有两实根，并导出方程的两实根之和、两实根之积与方程的系数的关系韦达定理.一元二次方程的判别式和韦达定理在解决一元二次方程中的字母系数、根的关系、图象的交点等问题中具有十分重要的作用. 一元二次方程根的解法【方法要点】一元二次方程的常见解法有：直接开平方法：，则配方法：将一元二次方程配方成的形式，再用直接开平方法求解.分解因式法：将一元二次方程化成右边为0，左边分解成两个一次因式的乘积的形式求解.公式法：一元二次方程 当时，方程有两个实数根为，.【试一试】1你能直接口答下列方程的根吗？（1） （2） （3） （4） （5） （6）2你能完成下列二次三项式的配方吗？ （1） （2）（3） （4）（5）【想一想】 在解决以下问题的过程中你有何体会？例1.用直接开平方法或配方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） 即或 所以 ，. （2） 即或 所以 ，.（3） 即 所以 ，.（4）即，所以，即，.（5），得，移项配方：即 所以 .例2用分解因式法或公式法解下列方程（1） （2） （3） （4） （5）解：（1） 得 或 所以 . （2），得 ，即 或 所以 . （3），得或，所以 ，. （4）得或，所以 ，. （5）因为，所以 ，由求根公式得，即 .例3解下列方程（1） （2） （3）解：（1）可用配方法、分解因式法、求根公式法求得方程解为 ， . （2） 得，所以 或， 所以. （3），得 ，所以 ， .【练一练】请你用一元二次方程的常用方法，并结合本节【想一想】中的内容解下列方程（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【方法要点】1若一元二次方程有两个实数根： ， ，则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系是： 如果的两根分别是，那么，.将此关系式成为韦达定理.2若二次项系数为1的元二次方程的两根为，由韦达定理可知： ， 即 ，.所以，方程可化为 ，因此有以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：【试一试】 请你判断下列说法的对错： 方程的两根之和为2，两根之积为7； （ ）方程的两根之和为2，两根之积为7； （ ）方程的两根之和为0，两根之积为； （ ）方程的两根之和为2，两根之积为0 （ ）2已知一元二次方程的两根为，则这个一元二次方程可为（ ） 【想一想】以下问题如何解决？你能独立解决吗？例1若是一元二次方程的两根（1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 解：是一元二次方程的两根. ，（1） . (2) （3） 例2已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比这两个实数根的积大21，求的值解：设是方程的两根，由韦达定理，得 ， ， ，即 ， 化简得 ： ， 解得 ，或当时，方程为，满足题意；当时，方程为，不合题意，舍去综上知： 注意：只有在一元二次方程有实数根的条件下，才能用韦达定理例3已知是方程的两根，求一个以为根的一个一元二次方程.解：由韦达定理得：，所以 ，即所以，以为两根的一个一元二次程为：.例4已知实数满足：， 求证：证明：由题意得：，由韦达定理知，以为实数根的关于的一元二次方程为：此时，所以即这表明方程有相等的实数根.因此.【练一练】请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容和方法，求解下列各题 ；1填空题（1）已知方程的一个根是2，则它的另一个根为_, 的值为_（2）若方程的两根分别是和，则 2已知方程的两根为，求代数式的值.3关于的方程的两根为满足，求实数的值4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的相反数5已知是关于的一元二次方程的两个实数根问是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；第四讲 三角形的性质导学：三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有着很广泛的应用.前面我们已经学习了三角形的有关线段、角，多边形及内角和，全等三角形的概念及判断，等腰三角形的有关概念及性质，直角三角形的概念及性质等等.下面我们进一步学习三角形的一些性质，主要有三角形的角平分线的性质和三角形中的一些特殊点. 三角形内角平分线定理【知识要点】1. 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.3. 三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.【试一试】1.已知是的角平分线，且，求和的大小.2.在中，是的角平分线，则=_.3.作一个，使，,分别为下列各角：（1）， （2）， （3）， （4）再作的角平分线，分别量出，的长，并计算. 【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意些什么？例1.三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.已知：如图所示，是的内角的平分线.求证：.思路1：过作角平分线的平行线，用平行线分线段成比例定理证明.证明：过作与的延长线交于，则. 且（等量代换） .思路2：利用面积法来证明.证明：过作于，于,过作于，又 .例2已知在中，是角平分线.求证：.证明：由，知，因为是角平分线，所以，即.例3如图，在中，点是的中点，是的平分线，求的长.解：如图，是的中点，.又是的平分线，=，即= 又 = 又，.思考：还有其它解法吗？例4.已知：如图，的角平分线和交于（l）求证：到、和边的距离相等；（2）求证：平分；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这个点到三角形三边的距离相等.证明：（1）点在角平分线上，所以由角平分线性质，点到的两边和 的距离相等.同理，点在角平分线上，所以点到的两边和的距离相等.所以点到的、和三边距离相等；（2）由（1）可知点到两边和的距离相等，所以点在的角平分线上，所以平分；（3）由（2）平分，设延长线交于，则就是的角平分线，所以三角形的三条内角的平分线、和交于交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等.【练一练】1已知是的角平分线，则 . 2已知是的角平分线且，则线段 .3已知：如图，的外角和的平分线相交于点.求证：点在的平分线上（注：点称为三角形的旁心）.4.如图，在中，是的角平分线.（1）若，求；（2）若，且，求. 三角形的“四心”【知识要点】三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心.三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.三角形的垂心是三角形三边上的高的交点.【试一试】1三角形三条中线的交点是三角形的是_(填重心、外心、内心、垂心).2三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的_距离相等，是三角形的_(填重心、外心、内心、垂心).3三角形三条角平分线的交点到三角形的_距离相等，是三角形的_(填重心、外心、内心、垂心).4三角形三边上的高的交点是三角形的_(填重心、外心、内心、垂心).【想一想】例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知：点、分别为三边、的中点.求证：、交于一点，且都被该点分成.证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE/AB，且，且相似比为：，设AD、CF交于点，同理可得，则与重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.思考：还有别的证法吗？例2平行四边形的面积是60，、分别是、的中点，分别与、交于、，求四边形的面积.解：连结交于，分别延长和相交于，则点是的重心.又，可得，从而.于是.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知：为三角形ABC的重心和内心.求证：三角形ABC为等边三角形.证明：如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分BAC， （角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. = 1，即.同理可得，AB=BC. ABC为等边三角形.【练一练】1已知、为锐角三条高线，垂心为，则图中直角三角形的个数为_.2若一等腰三角形的底边上的高等于18厘米，腰上的中线等于15厘米，则该等腰三角形的面积等于_.3（1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_.（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 4求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.