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北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （理科） 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.的值为是否开始输入输出S结束A B C D 2.已知命题“，有成立”，则为A. ，有成立 B. ，有成立C. ，有成立 D. ，有成立3. 执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的应为A.-2 B.16 C.-2或8 D. -2或164. 在极坐标系中，圆的圆心到极轴的距离为 A B. C. D. 5.已知是不等式组表示的平面区域内的一点，为坐标原点，则的最大值A.2 B.3 C.5 D.66.一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m（即长），巨轮的半径为30m，m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为m，则=A. B. C. D.7.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是A. B. C. D.8.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 满足不等式的的取值范围是_.10.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为_.11.已知的展开式中的系数是10，则实数的值是 12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为_.13. 已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_.14.已知集合，是集合的非空子集，把集合中的各元素之和记作.满足的集合的个数为_；的所有不同取值的个数为_.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在锐角中，且.（）求的大小；（）若，求的值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，底面，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且/平面.（）求的值；（）求证：；（）求二面角的余弦值.17.（本小题满分13分）某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立.()求该单位在星期一恰好出车一台的概率；()设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X).18.（本小题满分13分）已知函数.（）当时，求函数值域；（）当时，求函数的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其短轴两端点为.（）求椭圆的方程；（）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点，并说明理由.20.（本小题满分13分）对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.（）若，求和的值；（）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；（）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.数学（理科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.或 10.11.1 12.2 13.14.6，5050本题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（）由正弦定理可得 -2分因为所以 -5分在锐角中， -7分（）由余弦定理可得 -9分又因为所以，即-11分解得 -12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去.-13分16.解：（）因为平面又平面，平面平面，所以. -3分因为为中点，且侧面为平行四边形所以为中点，所以.-4分（）因为底面，所以， -5分又，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得-6分因为分别是的中点，所以. -7分.-8分所以，所以. -9分（）设平面的法向量，则即-10分令，则，所以.-11分由已知可得平面的法向量-11分所以-13分由题意知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.-14分16.解：（）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，由已知可得设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，-1分因为两车是否出车相互独立，且事件互斥 -2分所以-4分所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为. -5分答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分（）的可能取值为0,1,2,3 -6分-10分所以的的分布列为0123-11分-13分18.解：（）当时， -1分由得 -2分的情况如下000 -4分因为，所以函数的值域为. -5分（），当时，的情况如下0000 -9分所以函数的单调增区间为，单调减区间为和当时，的情况如下00 -13分所以函数的单调增区间为，单调减区间为.19.解:（）由已知可设椭圆的方程为：.-1分由，可得,-2分解得, -3分所以椭圆的标准方程为. -4分（）法一：设且，则. -5分因为,所以直线的方程为. -6分令，得，所以. -7分同理直线的方程为，求得.-8分 -9分所以, -10分由在椭圆：上，所以,-11分所以, -13分所以,所以，以线段为直径的圆不过点.-14分法二：因为关于轴对称，且在轴上所以. -5分因为在轴上，又关于轴对称所以, -6分所以, -7分所以, -8分设且，则. -9分因为,-11分所以, -12分所以, -13分所以，以线段为直径的圆不过点. -14分法三：设直线的方程为，则， -5分化简得到，所以，所以, -6分所以,所以， -7分因为关于轴对称，所以.-8分所以直线的方程为，即.-10分令，得到，所以. -11分, -12分所以, -13分所以,以线段为直径的圆恒过和两点.-14分法4 :转化为文科题做，考查向量的取值20.解：（）,-3分（）法一：当时，则所以，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.所以，当时，恒成立.当时，则所以或所以总有.综上讨论，满足的的取值仅能是2.-8分法二：因为，所以数组的极差所以，若为最大数，则若，则若，则，当时，可得，即由可得所以将代入得所以当时，（）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.所以满足的的取值仅能是2. -8分（）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以是形如（其中）的数，又因为所以中每两个数的差都是3的倍数.所以的极差是3的倍数.-9分法1：设，不妨设，依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得.所以，当时，.，依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得.所以，当时，.，所以存在，满足的极差.-13分法2：设，则当中有唯一最大数时，不妨设，则，所以所以，若是3的倍数，则是3的倍数.所以，则，所以所以-11分当中的最大数有两个时，不妨设，则，所以，所以，若是3的倍数，则是3的倍数.所以，则，所以. 所以当时，数列是公差为3的等差数列.-12分当时，由上述分析可得，此时所以存在，满足的极差.-13分
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