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线段垂直平分线中一道习题的变式北师大版九年级(上)线段的垂直平分线课后习题1.6中第三题:例1:如图1,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BCE的周长等于50,求BC的长.解析:由线段垂直平分线定理得出AE=BE,由此BCE的周长等于AC+BC,进而可以求得BC的长为23.点评:此题是ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时,(如图2),对应的是ACE的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变.图1图2变式1:如图1,在ABC中, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若BEC=70,则A=?解析:由线段垂直平分线定理得出AE=BE,可得ABE是等腰三角形,由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出BEC=2A,进而得出A=35.点评:此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论:AEC=2B.变式2:如图3,在RtABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2,B =15求:AC的长。图3解析:由线段垂直平分线定理得出AE=BE,应用变式1的结论,可求得AEC =30,再应用“直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半”性质,可出求AC=1.点评:此题为图形变式,由一般三角形变为直角三角形,上面我们总结的结论不变,然后再应用直角三角形的有关性质。变式练习1如图4,在RtABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2,B =22.5求:AC的长.图4提示与答案:AEC是等腰直角三角形,AE=2,再应用勾股定理得AC= 例2: 如图5,在ABC中,AB=AC, BC=12,BAC =120,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.图5(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.解析:此题图形为一个顶角是钝角的等腰三角形,两腰的垂直平分线都与底边相交,(1)应用线段垂直平分线定理得出AE=BE,AN=NC,因此AEN的周长等于BC的长.(2)应用变式1的结论AEN=2B=60,ENA=2C=60所以EAN=60.(3)由(2)知AEN是等边三角形.变式练习2:如图6,在ABC中,AB=AC, BC=12,BAC =130,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.图6(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.提示与答案:(1)AEN的周长不变.(2)AEN=2B=50,ENA=2C=50所以EAN=80(3)由(2)知AEN是等腰三角形.变式练习3:如图7,在ABC中, BC=12,BAC =100,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.图7(2) 求EAN的度数.提示与答案:(1)AEN的周长不变.(2)AEN=2B,ENA=2C,因为B+C=80所以AEN+ENA=160所以EAN=20.点评:例2和它的两道变式练习题中发现:三个图形由特殊到一般,从顶角是120的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形,AEN的形状也不断的变化,EAN的度数也变化,但AEN的周长不变,因此得出结论:1)AEN的周长=BC长.2)AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形,与ABC的形状有关.3)EAN的度数与BAC的度数有关.因为EAN=180-2B-2C=180-2(B+C)=180-2(180-BAC)=2BAC -180.从等式中也得出BAC必须大于90.变式练习4如图8,ABC中, BAC =70, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. 求:EAN的度数. 图8答案: EAN=40点评:由上题的方法得出AEC+BNA =2B+2C,由平角性质可得: AEB+CNA=360-(2B+2C),由三角形内角和定理得EAN=180-2BAC 总评:从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化,都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中,善于在复杂图形中找出基本图形,这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论,就会找出解题思路.1.3.2 三角形三边中垂线交于一点班级:_ 姓名:_一、判断题1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点2.以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心,以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆,必经过另外两个顶点3.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题1.如左下图,点P为ABC三边中垂线交点,则PA_PB_PC.2.如右上图,在锐角三角形ABC中,A=50,AC、BC的垂直平分线交于点O,则1_2,3_4,5_6,2+3=_度,1+4=_度,5+6=_度,BOC=_度.3.如左下图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD,则AD_DC,点D在_的垂直平分线上. 4.如右上图,在ABC中,DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线,则B_1,C_2;若BAC=126,则EAG=_度.5.如左下图,AD是ABC中BC边上的高,E是AD上异于A,D的点,若BE=CE,则_(HL);从而BD=DC,则_(SAS);ABC是_三角形.6.如右上图,BAC=120,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则ADB=_度.三、作图题(1)分别作出点P,使得PA=PB=PC (2)观察各图中的点P与ABC的位置关系,并总结规律:当ABC为锐角三角形时,点P在ABC的_;当ABC为直角三角形时,点P在ABC的_;当ABC为钝角三角形时,点P在ABC的_;反之也成立,且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点,那三角形的三边上的中线是否也交于一点;三个角的平分线是否也交于一点;试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.参考答案1.3.2 三角形三边中垂线交于一点一、1. 2. 3. 4. 二、1.= =2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 725.BED CED BAD CAD 等腰6.60三、1.略 (2)内部 斜边的中点 外部四、类比联想:略三、线段的垂直平分线班级:_姓名:_作业导航1.线段垂直平分线的性质、作法2.利用线段垂直平分线的性质解决某些实际问题一、填空题1.三角形三边的垂直平分线交于一点,且这点到三个顶点的距离_.2.到线段两端距离相等的点在这条线段的_.3.已知线段AB外两点P、Q,且PA=PB,QA=QB,则直线PQ与线段AB的关系是_.4.底边AB=a的等腰三角形有_个,符合条件的顶点C在线段AB的_上.5.如图1,直线 l上一点Q满足QA=QB,则Q点是直线l与_的交点.图16.在ABC中,AB=AC=6 cm,AB的垂直平分线与AC相交于E点,且BCE的周长为10 cm,则BC=_ cm.7.在RtABC中,C=90,ACBC,AB的垂直平分线与AC相交于E点,连结BE,若CBEEBA=14,则A=_度,ABC=_度.二、选择题8.下列命题中正确的命题有( )线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;经过线段中点的直线只有一条;点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个9.下列作图语句正确的是( )A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C,使AB=BCC.过直线a,直线b外一点P作直线MN使MNabD.过点P作直线AB的垂线10.如图2,在RtABC中,ACB=90,BC的垂直平分线交斜边AB于D,AB=12 cm,AC=6 cm,则图中等于60的角共有( )图2A.2个B.3个C.4个D.5个11.ABC中,C=90,AB的中垂线交直线BC于D,若BADDAC=22.5,则B等于( )A.37.5B.67.5C.37.5或67.5D.无法确定三、解答题12.已知如图3,在ABC中,AB=AC,O是ABC内一点,且OB=OC,求证:AOBC.图33.在ABC中,AB=AC=a,AB的垂直平分线交AC于D点,若BCD的周长为m,求证:BC=ma.14.如图4,在ABC中,AB=AC,A=120,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证:CM=2BM.图4三、线段的垂直平分线一、1.相等 2.垂直平分线 3.PQ是线段AB的垂直平分线 4.无数 垂直平分线5.AB的中垂线 6.4 7.40 50二、8.A 9.D 10.D 11.A三、12.解:由AB=AC,OB=OC,得AO垂直平分BC,从而AOBC.13.AD=BD,AD+DC=BD+DC=AC=a,BC=ma14.连结AM,AB=AC,BAC=120,B=C=30,MN垂直平分AB,MB=MAB=MAB=30MAC=90,AM=CM,CM=2BM1.3 线段的垂直平分线1.3.1 线段的垂直平分线班级:_ 姓名:_一、判断题1.如图(1),OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图(1),射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图(2),直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图(3),PA=PB,PA=PB,则直线PP是线段AB的垂直平分线 (1) (2) (3)二、填空题1.如右图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,若AB=10 cm,则BD=_cm;若PA=10 cm,则PB=_cm;此时,PD=_cm.2.如左下图,在ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,ABD的周长是12 cm,AC=5cm,则AB+BD+AD=_cm;AB+BD+DC=_cm;ABC的周长是_cm. 3.如右上图,在RtABC中,C=90,B=15,DE是AB的中垂线,垂足为D,交BC于E,BE=5,则AE=_,AEC=_,AC=_ .4.已知线段AB及一点P,PA=PB=3cm,则点P在_上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点,且PB=6cm,则PA=_cm.6.如图(1),P是线段AB垂直平分线上一点,M为线段AB上异于A,B的点,则PA,PB,PM的大小关系是PA_PB_PM.7.如图(2),在ABC中,C=90,A=30,BD平分ABC交BC于D,则点D在_上. (1)(2) (3)8.如图(3),BC是等腰ABC和等腰DBC的公共底,则直线AD必是_的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中,是轴对称图形的有多少个等腰三角形 等边三角形 点 角 两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图,AC=AD,BC=BD,则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分ACBD.以上结论均不对 3.如右上图,ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5 cm,BC=4cm,那么DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形四、解答题如右图,P是AOB的平分线OM上任意一点,PECA于E,PFOB于F,连结EF.求证:OP垂直平分EF.参考答案一、1. 2. 3. 4.二、1.5 10 52.12 12 173.5 30 2154.线段AB的垂直平分线5.66.= 7.线段AB的垂直平分线8.线段BC三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明:PEOA于E,DFOB于FPEO=90=PFO在PEO和PFO中,PEOPFO,PE=PF,EO=FOO、P在EF的中垂线上,OP垂直平分EF.
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