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数学MATHEMATICS第二章点、直线、平面之间的位置关系213异面直线所成的角【教学目标】1理解并掌握异面直线所成的角的定义，熟记异面直线所成角的范围，会用平移转换法求异面直线所成的角。2借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。【教学重点】 异面直线所成的角的定义、范围与计算。【教学难点】 空间平移点的选取及解题规范。教学过程 JIAO XUE GUO CHENG【教学方法】（教学教师自定）一、创设情景 引入新课复习：1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。ABA1B11D1C11CDE4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。问题1：正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。说明：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？提示：在平面几何中，用“距离”来刻画两平行直线间的相对位置，用“角”来刻画两相交直线间的相对位置。ab问题3：一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何量出、所成角的大小？其理论依据是什么？学生动手操作。问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？二、新课讲授1、异面直线所成角的定义（学生类比问题3给出定义）：已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a a、b b，把a 与b 所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。范围：。2、例、习题剖析：例1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）A1B1与CC1所成的角；（2）A1B与CC1所成的角；（3）A1C1与BC所成的角；（4）A1C1与D1C所成的角；分析：（1）A1B / CC1 -找 为A1B与CC1所成的角 -证在A1BB1中，； -算 A1B与CC1所成的角为45o -答（2）；（3）； （4）。这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，简记为“找证算答”。变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）（A）45 （B）60 （C）90（D）120解：连接A1B，BC1，A1C1 -作 A1B / EF，BC1 / GH A1B C1为EF1与GH所成的角（或其补角） -证在三角形A1BC1中，A1B = BC1 = A1C1 A1B C1=60 -算 异面直线EF与GH所成的角等于60 -答三、典例分析例2、长方体ABCDA1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。解：设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE / D1B，所以C1OE或其补角，就是异面直线A1C1与BD1所成的角或其补角。在C1OE中，所以，所以异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为。变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_。ACBSEF变式3：在正四面体SABC中，SABC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）90四、课堂练习1、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，且PR =，AC = BD = 2，求AC与BD所成的角。ABA1B11C1CDMNDACBDRP2、正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。五、回顾总结1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。2、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）证算答”。3、数学思想化异面为共面，化空间为平面。这是我们学习空间几何最常用到的数学思想转化化归思想【教学反思】