高中数学 第一章 不等关系与基本不等式本章高效整合课件 北师大版选修4-5.ppt

知识网络构建 考纲考情点击 内容精要 本章是在复习已有的不等式知识 不等式的性质 基本不等式等 的基础上 继续学习不等式的知识 包括一些关于绝对值不等式的性质 平均不等式 证明不等式的方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 不等式的应用等等 本章知识的重点是不等式的基本性质 求解绝对值不等式和运用不等式的基本方法解决实际问题 掌握证明不等式的基本方法与技巧 课标导航 课标要求 1 理解绝对值的几何意义 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 3 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c x a x b c 2 会利用不等式求最大 小 值 3 了解比较法 分析法 综合法和放缩法 反证法等不等式的证明方法 4 会利用不等式解决一些简单的实际问题 本章为选修部分新增内容 也是选考内容 命题时 主要题型有 含有绝对值不等式的解法 利用含有绝对值的重要不等式证明不等式问题 用比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法证明简单的不等式 难度通常为中档题 命题探究 本章是对必修5中 不等式 的补充和深化 重点是不等式的证明 绝对值不等式的解法 不等式的应用 但近几年来高考对不等式的证明难度要求有所降低 出现题目较少 因此我们把绝对值不等式的解法和证明放在重点位置 把不等式的综合应用放在次重点上 把不等式的证明放在一般位置上 但必需要看 注重知识的连贯性 强化练习 注意难度把握即可 热点考点例析 本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立 再就是利用不等式性质 进行数值 或代数式 大小的比较 有时考查分类讨论思想 常与函数 数列等知识综合进行考查 考查形式多以选择题出现 典型问题举例 不等式性质的应用 思维导引 结合不等式性质和函数的性质 单调性 来比较大小 或用特殊值法判断 答案 D 点拨提升 为保证解题速度 特殊值法与不等式性质应交叉运用 由于不等式的解集与集合紧密联系 因此经常借助于不等式的解集给出集合 解决此类问题的主要策略有以下几点 能化简的集合先化简 以便使问题明朗化 掌握求解各类不等式解集的方法 如公式法 转化法等 进行集合运算时 不等式解集端点的合理取舍 解含参数的不等式与集合问题 合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧 绝对值不等式与集合 思维导引 先解不等式 再按集合运算的要求求a的范围 1 公式法 f x g x f x g x 或f x g x f x g x g x f x g x 2 平方法 f x g x f x 2 g x 2 解含有绝对值的不等式的方法 3 零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式 可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值 将这些值依次在数轴上标注出来 它们把数轴分成若干个区间 讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号 转化为不含绝对值的不等式去解 解下列关于x的不等式 1 x x2 2 x2 3x 4 2 x 1 x 3 3 x2 2 x 2 1 4 x 2 2x 5 2x 求值问题是在中学数学乃至高考中司空见惯的一种题型 一般通过解方程 组 利用函数性质 代入法 变换法等方法来解决 利用基本不等式求值 已知函数f x x 2 x a x b a b 0 且f 0 0 f 4 0 求函数f x 的解析式 即a b 8 当且仅当a b时取 号 又 f 4 48 8 a b 2 0 a b 8 a b 8 此时a b 4 f x x3 6x2 32 等比数列b1 b2 b3的和为定值a a 0 公比q 0 求它们的积b1b2b3的最小值 1 比较法证明不等式作差比较法是证明不等式的基本方法 其依据是 不等式的意义及实数比较大小的充要条件 证明的步骤大致是 作差 恒等变形 判断结果的符号 其中 变形是证明推理中一个承上启下的关键 变形的目的在于判断差的符号 而不是考虑差能否化简或值是多少 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 不等式的证明 已知a b是正实数 n是正整数 求证 a b an bn 2 an 1 bn 1 证明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 abn anb an 1 bn 1 a bn an b an bn a b bn an 当a b 0时 bn an 0 a b 0 此时 a b bn an 0 当b a 0时 bn an 0 a b 0 此时 a b bn an 0 当a b 0时 bn an 0 a b 0 此时 a b bn an 0 综上所述 a b an bn 2 an 1 bn 1 0 即 a b an bn 2 an 1 bn 1 2 综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是 顺推 即由已知的不等式出发 逐步推出其必要条件 由因导果 最后推导出所要证明的不等式成立 综合法证明不等式的依据是 已知的不等式以及逻辑推证的基本理论 证明时要注意的是 作为依据和出发点的几个重要不等式 已知或已证 成立的条件往往不同 应用时要先考虑是否具备应有的条件 避免错误 如一些带等号的不等式 应用时要清楚取等号的条件 即对重要不等式中 当且仅当 时 取等号 的理由要理解掌握 3 分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 分析法证明不等式的思维方向是 逆推 即由待证的不等式出发 逐步寻找使它成立的充分条件 执果索因 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 当要证的不等式不知如何入手时 可考虑用分析法去证明 特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效 4 反证法和放缩法证明不等式反证法和放缩法 1 反证法 先假设要证明的结论是不正确的 然后利用公理 已有的定义 定理 命题的条件逐步分析 得到和命题的条件 已有的定义 定理 公理等 矛盾的结论 以此说明假设的结论不成立 从而原来的命题结论正确 2 放缩法 将需要证明的不等式的值适当地放大 或缩小 使不等式由繁化简 达到证明的目的 运用反证法 放缩法等等 证明不等式时既可探索新的证题方法 培养创新意识 也可一题多证 开阔思路 活跃思维 目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力 提高数学素养 不等式的内容贯穿于整个中学数学之中 作为一种基本工具 不等式在所有中学数学领域中都有应用 诸如集合问题 方程组解的讨论 函数单调性问题 函数定义域 值域的确定 三角 数列 复数 立体几何 解析几何中的最值问题 都与不等式有着密切的联系 不等式应用 校园内计划修建一个矩形花坛 并在花坛内装置两个相同的喷水器 已知喷水器的喷水区域是半径为5米的圆 问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置 才能使花坛的面积最大且能全部喷到水 不等式是中学数学的重要内容 与各部分都有着密切的联系 是历年高考的命题重点 在考查不等式的试题中以含字母参数的居多 解决此类问题的方法突出体现了等价转化 函数与方程 分类讨论 数形结合等数学思想 1 合理分类 逐类求解研究含有字母参数的不等式 大多数情况下要进行分类讨论 分类标准是关键 分类应是互斥 不漏和最简的 但是分类标准应视题意而定 不等式中的数学思想方法 解关于x的不等式a x2 1 a 2 a 0 分析 先对不等式进行等价变形 然后再对a进行分类讨论 2 数形结合 巧用直观数形结合是数学解题中常用的思想方法 数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化 生动化 能够变抽象思想为形象思想 有助于把握数学问题的本质 另外 由于使用了数形结合的方法 很多问题便迎刃而解 且解法简捷 数形结合的重点是研究 以形助数 运用数形结合思想 不仅直观 易发现解题途径 而且可以避免复杂的计算与推理 大大简化解题过程 关于x的不等式 x 4 x 3 a有实数解 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 0 1 画出函数f x 的图象如下图 由图象可知适合题意的a的取值范围是a 1 答案 A