《D536复合求导》PPT课件.ppt

1 28 3 5多元复合函数的偏导数和全微分 在一元函数的求导法中 复合函数的链式法则发挥 了非常重要的作用 函数 本部分将把链式法则推广到多元 论述链式法则 为了论述简洁 我们以由两个中间变量和两个 自变量构成的复合函数 为例来 2 28 可微 且其全微分为 全微分形式不变性 处也必 定理3 3 设 和 均在点 处可微 而函数 在对应的点 处 处可微 则复合函数 在点 3 28 由定理可见 复合函数 有链式法则 4 28 按照链式法则的结构特征 我们将多元复合函数的求导 法则推广到 个中间变量 个自变量构成的一般复合 函数中 设函数 及 都可微 则复合函数 也可微 其中 且有 其中 5 28 多元函数的复合可以有多种情况 例如 1 设 均可微 则复合 函数 是 的一元可微函数 可得 此式称为复合函数 对 的全导数公式 2 设 均可微 则复合函数 可微 它有一个中间变量 三个自变量 可得 6 28 3 设 均可微 则复合函数 可微 它有三个中间变量 两个自 变量 可得 注意 这里 表示 表示 与 不同 固定y对x求导 固定y z对x求导 7 28 例3 16 设 其中 可微 求 解 由于 及 显然可微 故复合函数可微 可得 把 中的 看作是第一个变量 看作是 第二变量 有时采用下面的记号更为方便清晰 其中 表示 对第一个变量的偏导数 表示 对第二个变量的偏导数 说明 8 28 例3 17 设 其中 可导 证 把 看作是由函数 复合而成 分别对 从而 求证 及 与 求导得 9 28 例3 18 设 其中 具有对各变量的连续的 二阶偏导数 且 求 解 根据函数的复合结构及复合函数的链式法则 得 注意到 都是 的三元函数 再有链式法则 其中 表示 先对第i个变量求导 再对第j个求二阶偏导 10 28 在解决物理 力学等问题时 常需要把一种坐标系下 的偏导数转化成另一种坐标系下的偏导数 如下例 例3 19 求 与 在极坐标中的 表达式 其中 具有连续的二阶偏导数 解 令 从而 此时 可以把 看作 与 复合而成 11 28 应用链式法则得 由 1 式得 把四个式子代入 2 式得 12 28 将 3 4 两式平方相加得 将 3 式两端再对x求偏导数 得 13 28 同理 将 4 式两端对y求偏导 并化简可得 所以 证毕 在一元函数中 一阶微分具有形式不变性 下面 我们讨论多元函数一阶全微分形式的不变性 14 28 以二元复合函数为例 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微 其全微分表达 形式都一样 这性质叫做全微分形式不变性 15 28 设 其中 对于多元复合函数 若f可微 u也可微 则 16 28 即 把 中的 看作中间变 量或自变量时的全微分形式完全一样 这一性质称为 一阶全微分形式不变性 高阶全微分不具有此性质 17 28 全微分的有理运算法则 例3 20 设 可微 求 的偏导数 解 利用一阶全微分形式不变性 可得 所以 18 28 3 6由一个方程确定的隐函数的微分法 常会遇到一些函数 其因变量与自变量的关系以方程 形式联系起来 例如 可把x y看作自变量 z看作因变量 则方程确定了 两个连续的二元函数 设方程 若存在n元函数 代入方程恒成立 则称 是由 确定的隐函数 19 28 定理3 4 隐函数存在定理 则方程 个有连续导数的函数y f x 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 的某邻域内可唯一确定一 满足 在点 它满足 若二元函数 的某邻域内有连续的偏导数 在点 以及 并且 20 28 两边对x求导 在 的某邻域内 则 21 28 若F x y 的二阶偏导数也都连续 二阶导数 则还可求隐函数的 22 28 定理3 4 推广 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 23 28 两边对x求偏导 同样可得 则 隐函数求导公式 24 28 例3 21 设 具有连续的一阶偏导数 方程 确定了函数 解 令 所以 求 显然复合 函数 具有连续的一阶偏导数 得 25 28 例3 22 设方程 确定了函数 解 利用隐函数求导公式 在点 1 0 1 处 求点 1 0 1 处的全微分 从而