两直线的相对位置平面的投影.ppt

第三讲两直线的相对位置平面的投影 一 两直线的相对位置 平行 相交交叉 平行两直线 投影特性 空间两直线平行 则其各同面投影必互相平行 反之亦然 即 AB CDab cd a b c d a b c d 同面直线 异面直线 投影特性 若空间两直线相交 则其同面投影必相交 且交点满足点的投影规律 即 交点是两直线的共有点 AB CD Kab cd ka b c d k a b c d k 相交两直线 1 2 3 4 同面投影可能相交 但 交点 肯定不符合空间点的投影规律 同面投影可能有一组或两组平行 但决不会三组同面投影互相平行 是 面的重影点 是H面的重影点 投影特性如何 交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线 O 判断重影点的可见性 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 a b c d c a b d 例1 判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线 只要有两个同名投影互相平行 空间两直线就平行 AB CD b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 AB与CD不平行 例2 判断图中两条直线是否平行 方法一 求出侧面投影 X Z O 方法二 1 假设AB CD 则两直线组成一平面 必有A B C D四点共面 连线 2 AD BC直线的投影不满足平行条件 又不满足相交条件 为交叉直线 则A B C D四点不共面 3 AB不平行于CD 例3 过C点作水平线CD与AB相交 先作正面投影 O X 分析 1 水平线投影特性2 相交两直线投影特性 例4 判断直线AB与CD的相对位置 X C d a b c d a b e a0 e0 e AB与CD交叉 分析 1 两直线的类型 2 假设AB与CD相交 3 作图判断两投影的交点E是不是AB上的点 直角投影定理 两直线垂直且其中一直线平行于某投影面 则它们在该投影面上的投影反映直角 设直角边BC H面因BC AB 同时BC Bb所以BC ABba平面 直线在H面上的投影互相垂直 因此bc ab 故bc ABba平面 又因BC bc 证明 垂直相交 或垂直交叉 两直线 例1 求作交叉两直线AB CD的公垂线 c e e f f 例2 已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线 菱形的一边AB位于直线AM上 求该菱形的投影 X a c a c m m k k b b d d 例3 判断两直线是否垂直 a b c a b c a b c a c b a b c b a c 侧垂线与侧平线垂直相交 水平线与铅垂线垂直相交 正垂线与侧垂线垂直相交 二 平面的投影图 用几何元素组的投影表示平面 一 平面的投影图 二 各类平面的投影特性 平面的分类 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜 a b c a c b c b a 投影面垂直面 类似性 积聚性 投影特性 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性 X Z O 投影面垂直面 垂直于一个投影面 并与另外两个投影面倾斜的平面 投影特性 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线 它与投影轴的夹角分别反映该平面对另两个投影面的倾角 平面在另两个投影面上的投影均为小于原平面的类似形 铅垂面正垂面侧垂面 投影面平行面 积聚性 积聚性 实形性 投影特性 在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴垂直的直线 X Z O 投影面平行面 平行于一个投影面 并必与另外两个投影面垂直的平面 投影特性 平面在所平行的投影面上的投影反映实形 平面在另两个投影面上的投影均积聚为一条直线 且平行于相应的投影轴 水平面正平面侧平面 3 一般位置平面 一般位置平面与三个投影面都倾斜 投影特性 在三个投影面上的投影都不反映实形 而是小于原平面的类似形 B 判断平面A B C对投影面的相对位置 B A是一般位置平面 B是正垂面 C是水平面 分析 铅垂面的水平投影积聚成一条倾斜直线 且与X轴的夹角为 角 据此可作图 例 过点A a a 作一铅垂面 并使其与V面的倾角为 30 c b a c a b X O 作图 过点A的水平投影a作与X轴成30 夹角的线段ab 在线段ab上任选一点c 即得铅垂面的水平投影 过点A的正面投影a 作a b a c 则abc和a b c 即为所求铅垂面 例 过直线AB作一正垂面 分析 正垂面的正面投影积聚成一条倾斜直线 因此过AB所作的正垂面的投影一定与a b 重合 水平投影可任意作一平面图形即可 c 注意 若无条件限制 过直线AB可作无数个平面 若过AB作垂直面 可作正垂面 也可作铅垂面 但是由于AB是一般位置直线 所以过AB不可能作出水平面或正平面 迹线即平面与投影面的交线 水平迹线 正面迹线 侧面迹线 PH PV PW PH PV PW PX PY PZ 三 用有积聚性的迹线表示特殊位置平面 平面主要用几何元素表示 也可以用迹线表示 X PV QH X RV RH TH TV 在工程图学中 常用迹线表示投影面垂直面或投影面平行面作为辅助平面来图解空间问题 m m n n 几何依据一 一直线经过平面上两个点 则此直线一定在该平面上 方法一 两点确定一条直线 三 平面上的直线和点 1 平面上取直线 Q D E F M N m m n n 几何依据二 一直线经过平面上一个点且平行于平面上的另一直线 则此直线一定在该平面上 方法二 一点一方向确定一条直线 例1 已知K点在平面ABC上 求K点的水平投影 d k 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 2 平面上的点 几何依据 如点在平面内的任一直线上 则此点一定在该平面上 平面上取点的方法 在平面的已知直线上取点 例2 已知在平行四边形ABCD上开一燕尾槽 要求根据其正面投影作出其水平投影 X a b c d a b d c 1 2 1 2 5 6 5 6 4 3 4 3 V H PV PH 平面上投影面平行线 既在平面上又平行于投影面的直线 在一个平面上对V H W投影面分别有三组投影面平行线 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质 又与所属平面保持从属关系 水平线 正平线 3 平面上的特殊直线 投影面平行线 例1 a b c b a c m n n m 已知 ABC给定一平面 试过点C作属于该平面的正平线 过点A作属于该平面的水平线 例2 在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为10mm n m n m 唯一解 X O 例3 已知平行四边形ABCD的两面投影 在其上取一点K 使K点在H面之上15mm 在V面之前10mm c a b b a c O X d d 15 10 k k e e f f k b 例4 已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 解法一 解法二 X O X O 作业 习题 P73 6P84P91 3 4 5 6 7 8预习 教材P100 P106 P43判断两直线的相对位置 PQ MN是 MN SF是 PQ SF是 相交线 平行线 交叉线 平行 交叉 平行 交叉 相交 交叉 课堂练习判断图中各直线的相对位置 例1求点A到水平线BC的距离AK及其投影 分析 点A到BC的距离AK BC 因为BC为水平线 所以在水平面投影上能反映直角关系 c a b c a b X O 若点在直线上 则点的投影必在直线的同面投影上 投影特性 AC CB ac cb a c c b 若点在直线上 则点分割空间线段之比等于点的投影分割线段的同面投影之比 即 从属性 定比性 即 C AB c ab c a b 一 直线上的点 点C不在直线AB上 例1 判断点C是否在线段AB上 点C在直线AB上 例2 判断点K是否在线段AB上 a b 因k 不在a b 上 故点K不在AB上 应用定比性 a b k a b k X Z O a 1 b 1 k 1 例3 已知直线AB 在AB上取点C和D 点C距H面10mm 点D分割AB成AD DB 3 1 作点C和D的两面投影 a b a b 10 c c d d