《基本不等式》PPT课件.ppt

边城高级中学张秀洲 1 理解并掌握基本不等式及变形应用 2 会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题 自学教材P97 P100解决下列问题 一 理解并掌握基本不等式及变形应用 二 创新设计 自学导引 三 教材 P100练习1 2 3 4 下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗 a b 设AE a BE b 则正方形ABCD的面积是 这4个直角三角形的面积之和是 a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 结论 文字叙述为 两数的平方和大于或等于它们积的2倍 一般地 对于任意实数a b 总有 当且仅当a b时 等号成立 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 执果索因 对基本不等式的几何意义作进一步探究 Rt ACD Rt DCB A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 对基本不等式的几何意义作进一步探究 A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 几何意义 半径不小于半弦 规律总结 基本不等式 注意 1 不等式使用时 注意 一正 二定 三相等 2 当且仅当a b时取等号 3 叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 均值不等式 解 如图设BC x CD y 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 此时x y 10 x y A B D C 典例剖析 例1 1 如图 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 若x y皆为正数 则当xy的值是常数P时 当且仅当x y时 x y有最小值 解 如图 设BC x CD y 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 得xy 81 当且仅当x y时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 即x y 9 A B D C 典例剖析 例1 2 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 若x y皆为正数 则当x y的值是常数S时 当且仅当x y时 xy有最大值 各项皆为正数 和或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 相等 利用基本不等式求最值时 要注意 规律总结 典例剖析 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化 即建立函数关系式 然后求函数的最值 其中用到了均值不等式定理 典例剖析 解 设水池底面一边的长度为xm 则水池的宽为 水池的总造价为y元 根据题意 得 当 时y有最小值297600 所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低 最低造价是297600元 三 教材 P100练习1 2 3 4 基本不等式的功能在于和与积的互化 应用基本不等式求最值时一定要注意其 一正 二定 三相等 的条件 实际解题时主要技巧是 拆项 添项 配凑因式 典例剖析 题型一 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求函数的最值 要满足 1 函数式中各项必须都是正数 2 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数 定值 3 等号成立条件必须存在 典例剖析 典例剖析 2 已知a b c为不全相等的正实数 求证a2 b2 c2 ab bc ca 证明 a 0 b 0 c 0 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 典例剖析 典例剖析 典例剖析 典例剖析 提炼精华 你学会了吗 通过这节课的学习 你有什么收获 对自己说 你有什么收获 对同学说 你有什么提示 对老师说 你有什么疑惑 求最值时注意把握 一正 二定 三相等 2 利用基本不等式求最值 本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1 两个重要的不等式 1 2 当且仅当a b时 等号成立 总复习 课本P103 P104 复习参考题 必做题 教材 P100 P101A组2 4题 选做题 创新设计 变式2 1 3 1次 2020年3月4日