大学数学函数的极限.ppt

类似于数列极限 如果在自变量的某个变化过程中 对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数 那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限 对于数列极限 故 很自然地 函数的极限 相似地 语言表述当时有则 自变量趋于有限值时函数的极限 1 表示时有无极限与有无定义没有关系 2 任意给定后 才能找到 依赖于 且越小 越小 3 不唯一 也不必找最大的 只要存在即可 注 函数极限的几何解释 如果函数f x 当x x0时极限为A 以任意给定一正数 作两条平行于x轴的直线y A 和y A 存在点x0的 邻域 x0 x0 当x在邻域 x0 x0 内 但x x0时 曲线y f x 上的点 x f x 都落在两条平行线之间 要使 只要取 当时 就有 证 要使 成立 证 取 当时 成立 可任取一 当时 要使 左极限left handlimit 右极限right handlimit x仅从x0的左侧趋于x0 记作 或 x仅从x0的右侧趋于x0 记作 或 左极限与右极限 考虑符号函数 现在考虑x从左右两个方向趋于0时f x 的极限 右极限 左极限 从右边趋于0 从左边趋于0 左右极限不相等 证明函数极限不存在的方法是 1 证明左极限与右极限至少有一个不存在 2 或证明左极限和右极限均存在 但不相等 例题 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f x 当 x 大于某一正数时有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正数X 使得当x满足不等式 x X时 对应的函数值f x 都满足不等式 f x A 那么常数A就叫做函数f x 当x 时的极限 即 的方式有两种可能 且无限增大 且无限增大 注 且 若或不存在 则不存在 若 则不存在 几何意义 如果函数f x 当x 时极限为A 以任意给定一正数 作两条平行于x轴的直线y A 和y A 则总存在一个正数X 使得当xX时 函数y f x 的图形位于这两条直线之间 观察y arctanx的图像 从图像容易看出结果 所以 考虑函数f x ax 分a 1 0 a 1两种情形下 分别求x x x 时f x 的极限 函数极限的性质 唯一性函数f x 当x x0时极限存在 则极限必唯一 局部有界性 局部保号性 设 推论 如果 且当时 则 即 如果函数f x 在某个极限过程中的极限为零 那么就称f x 是此极限过程的无穷小 量 无穷小举例 无穷小是以零为极限的变量 函数 不是绝对值很小的固定数 但0可以作为无穷小的唯一一个常数 都是无穷小量 是无穷小量 是无穷小量 与 与 无穷小 不能说函数f x 是无穷小 应该说在什么情况下的无穷小 即无穷小与自变量的变化过程有关 如时是无穷小 但时 则不是无穷小 无穷小的性质 定理1 极限与无穷小的关系 即 其中 两个无穷小的和或差 仍是无穷小 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小 例如 因为 所以 同理 如果函数f x 在某个极限过程中 对应的函数值的绝对值可以无限增大 那么就称f x 是此极限过程的无穷大 量 只有一种趋势 包括两种趋势 如 无穷大 观察函数y 1 x的图像 再考察函数y lnx 注意 无穷大不是很大的数 而是表示函数的绝对值可以无限增大 反映函数值的一种变化趋势 无穷小和无穷大的关系 在同一极限过程中 无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化 无穷小和无穷大的运算法则 以下A表示有极限的函数 K表示有界函数 C代表常数 结果不定 称为未定式 极限的四则运算法则 注 设有数列和 如果则1 2 3 当且时 例 求 解这里分母的极限不为零 故 小结 例 求 解 例 求 解 例 求 解 例 求 解 例 求 解 例 求 解 因式分解消除零因子 有理化消除零因子 消除零因子 例 求 解 思考 由题设知 分子必须是x的零次多项式 解答 由x 0得3x 0即u 0 重要极限 的应用举例 重要极限 6 例 重要极限 的应用举例 公式特点 定义 无穷小的比较 例 比较下列两个无穷小 低阶 高阶 同阶 练一练 无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度 高阶的较快 低阶的较慢 同阶的相当 等价的同步 求两个无穷小之比的极限时 分子分母都可用等价无穷小来替换 适当替换可以简化极限的计算 等价无穷小替换定理 证明 常用等价无穷小 练一练 例题求极限 解原式