《复平面上的点集》PPT课件.ppt

平面上以为中心 d 任意的正数 为半径的圆 内部的点的集合称为的邻域 而由不等式所确定的点被称为的去心邻域 1 区域的概念 1 4复平面上的点集 包括无穷远点自身在内且满足 z M 0的所有点的集合 称为无穷远点的邻域 即它是圆 z M的外部且包含无穷远点本身 不包括无穷远点本身的仅满足 z M的所有点称为无穷远点的去心邻域 也记作M z 设G为一平面点集 z0为G中任意一点 如果存在z0的一个邻域 该邻域内的所有点都属于G 则称z0为G的内点 如果G内的每个点都是它的内点 则称G为开集 平面点集D称为一个区域 如果它满足下列两个条件 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来 设D为复平面内的一个区域 如果点P不属于D 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点 这样的点P称为D的边界点 D的所有边界点组成D的边界 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域 记作 D 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面 即存在正数M 使区域D的每个点z都满足 z M 则称D为有界的 否则称为无界的 2 单连通域与多连通域平面曲线在数学上 经常用参数方程来表示各种平面曲线 如果x t 和y t 是两个连续的实变函数 则方程组x x t y y t a t b 代表一条平面曲线 称为连续曲线 如果令z t x t iy t 则此曲线可用一个方程z z t a t b 来代表 这就是平面曲线的复数表示式 对曲线z t x t iy t 如果在区间 a b 上x t 和y t 都是连续的 且对a t b有 x t 2 y t 2 0 则称该曲线为光滑的 有几段依次相连的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 设C z z t a t b 为一条连续曲线 z a 与z b 分别为C的起点与终点 对于满足a t1 b a t2 b的t1与t2 当t1 t2而有z t1 z t2 时 点z t1 称为曲线C的重点 没有重点的连续曲线C 称为简单曲线或若尔当 Jardan 曲线 如果简单曲线C的起点与终点闭合 即z a z b 则曲线C称为简单闭曲线 任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集 其中除去C外 一个是有界区域 称为C的内部 另一个是无界区域 称为C的外部 C为它们的公共边界 简单闭曲线的这一性质 其几何直观意义是很清楚的 定义 复平面上的一个区域B 如果在其中任意作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于B 就称为单连通域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通域