数模电梯模型.doc

问题背景：现代高层商务楼中一般都配套了多台电梯，因此如何安排好各台电梯的运行方式，既能保证大楼内各公司员工的正常工作和出行，又能降低能耗，节约成本，是大楼物业管理中的重要内容之一。在一般高层商务楼中，经常采用的是分层次或单双层的运行方式，或者某部 电梯直达某高层以上的方法，试从节约能源和尽力满足客户需求这两个角度，具体评价这些方案的优劣。 实际问题探讨现有一商务楼，层高25层，每层的员工数在220-260之间，员工上班时间均为上午9时至下午17：30分。大楼内有客用电梯6台， 另有一台消防电梯。电梯运行速度大约为1.7m /s，大楼的层高为3.2m（装修以后的，装修前为 4.1m ），试建立一个合适的电梯运行方案（包 括闲时和忙碌时），使尽可能降低能耗但又不至于使用户有较大的不 舒服。若大楼另有两层底下车库，方案该做如何调整？摘要：本文针对高层商务楼中的电梯运行管理方案设计问题，分析了影响电梯耗能和用户满意度的主要因素，运用规划论和计算机仿真的方法，分别给出了忙碌时和空闲时的电梯运行方案以及有地下车库时的改进方案， 并对运行方案做出定量的实例分析。 在评价指标的选择上， 我们充分考虑到了指标的全面性、独立性和易获取性。在优化模型的求解中，给出动态规划算法，大大降低了计算复杂性。 针对问题（1）：我们以乘客的平均侯梯时间、平均乘梯时间，电梯运行时间，总的运行距离，总的电梯停靠次数作为衡量电梯耗能和乘客满意度的主要指标，同时还结合最长侯梯时间以保证单个乘客的侯梯时间不会太长。 针对问题（2）：在上行高峰的条件下对电梯随机、单双层和分区运行 3 种方式进行优劣比较，以电梯运行时间和电梯停靠耗能作为其评价指标，以“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”和“一个周期内的停靠耗能与电梯停靠总耗能之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则为依据，对 3 种电梯运行方式建立了简易的数学模型进行描述与比较，确定分区运行为最佳方案。 针对问题（3）：电梯忙时主要有上行高峰和下行高峰两种情况，由于两者具有对称性，故仅考虑上行高峰的情形。基于问题（2）的结论，忙时我们采用分区运行的方式。关键的任务是确定出最佳分区方案。通过对上行高峰时段电梯运行情况的分析，利用概率论的方法得到电梯往返运行一次的时间，以电梯运行总距离短、电梯停靠总次数少、电梯运行时间短、人均侯梯与乘梯总时间短为目标，建立了电梯优化调度的数学模型，且采用动态规划算法求得电梯在上行高峰条件下的最优调度方案。最后对各楼层人数给定下的实例进行计算，算得 25 层楼的最优分组为26,7 11,12 15,1619,2022,2325 。 针对问题（4）：电梯闲时的主要任务是负责层间运行，由于电梯响应任务不繁忙，从能耗的角度考虑需将部分电梯暂时停掉，解题的关键就是确定实际所需的电梯数量。本文在电梯数量变化的基础上给出了几种闲时调度方案以及方案选择准则。在具体比较各方案时，根据时间步长法的思路，设计详细的仿真流程，借助C+编程对系统进行仿真。在给定交通流为10人/min的条件下，需要开启的最佳电梯数目为3台。该电梯调度方法有效地避免了电梯“空驶现象”。针对问题（5）：大楼有地下车库与原先的主要差别在于，乘客有多个入口进入大楼。在这种情况下，最关键的就是确定出用几台电梯为地下两层服务，剩余几台电梯为地上员工服务。在这种情况下，以两者运行时间的“最大最小”原则作为其评价指标，建立规划模型，确定出服务于门厅和服务于地下车库的电梯数。最后具体给出各楼层中在门厅侯梯的乘客人数，确定出最佳方案如表6所示。关键词：指标体系 运行方案 优化模型 计算机仿真随着社会的发展，高层建筑和智能化建筑不断出现，作为垂直运输工具的电梯得到了越来越广泛的应用，人们对电梯提出的要求越来越高。从服务质量的角度说，人们总是希望候梯时间与乘梯时间的总和越短越好；从输送能力的角度说，要求电梯系统有较高的运送处理能力；从运营成本的角度说，要求电梯避免空驶，减少启停车次数，降低系统能耗。 为了能尽量满足上述要求，其关键在于设计理想的电梯管理方案。现有一商务楼，层高25层，每层的员工数在220-260之间，我们给出各层具体人数如表1所示，总人数为6000人。在该层商务楼中，员工上班时间均为上午9时至下午17：30分。大楼内有客用电梯6台，另有一台消防电梯。电梯运行速度大约为1.7m/s，装修前大楼的层高为4.1m。根据国家相关规定，消防电梯只能在紧急救援中投入使用，因此在电梯运行方案设计中不将消防电梯考虑在内。 我们希望通过数学建模方法寻找出相对理想的电梯运行方案，使尽可能降低能耗，同时尽力满足客户需求。本文具体要研究如下问题： （1）衡量电梯运行能耗和用户满意度的指标有很多，综合考虑指标的全面性、独立性和易获取性，分析确定合理的评价指标体系。 （2）影响一个电梯系统运行效果的主要因素是电梯的运行方式。一般高层商务楼中，经常采用的是分层次或单双层的运行方式，或者某部电梯直达某高层以上的方法。分析确定合理的评价指标体系，用以评价这些方案的优劣。 （3）同时考虑能耗和用户满意度，建立一个忙时的电梯运行方案。忙时主要有上行高峰和下行高峰两个情况。考虑到上行时人群由一层分散至其他各层的过程与下行时人群由各层集中至一层的过程对称，我们只须制定上行高峰时段的电梯运行方案。 （4）同时考虑能耗和用户满意度，建立一个闲时的电梯运行方案。交通空闲期即是整个大厦中搭乘电梯的乘客很少，电梯响应任务不繁忙。在这种交通情况下，只须确定实际所需电梯数量，将不需要的电梯暂时停掉，以此来大幅度减少能耗。（5）若大楼另有两层地下车库时，客流输入发生变化，需要对原先调度方案进一步调整。2.1 模型的假设 （1）所有员工必须乘坐电梯到达目标层，不出现步行的情况； （2）电梯内每位员工在各楼层下电梯的概率相等，且相互独立； （3）电梯的停止和启动认为是瞬时的，不考虑加速度； （4）员工在呼叫电梯时，不考虑呼梯错误的情况； （5）如果将所有的电梯分为若干组，各组服务的方案不同，而每一组内的若干台电梯服务方案是一致的； （6）垂直运输过程中不考虑其他随机因素对电梯运行的干扰； （7）在任何情况下，电梯都不能出现超载的情况； （8）每位乘客上下电梯所用时间为常数，电梯开关门所用时间也为常数。 （注：还有一些重要的假设将在各部分给出并作出说明）商务楼的楼层高度 大楼总的员工人数 第层楼的员工人数电梯的最大容量 服务于这栋大楼的电梯数 相邻楼层间高度电梯运行的平均速度 每个乘客上下电梯所用时间 开关电梯门所用时间3.1 评价指标体系的建立 随着建筑物高度的增加，建筑物内的交通情况变得越来越复杂，对电梯运行安排的性能要求越来越高。在电梯数目一定的条件下，电梯的运行安排需要考虑两个方面，分别是办公人员对电梯的满意程度和电梯的运行能耗。 3.1.1 时间指标 办公人员对电梯的满意程度包括生理和心理两方面。生理满意一般包括：电梯在启动和暂停时的加速度不致让人感到不适。心理满意包括：尽可能短的等待时间，尽可能短的乘电梯时间。假设中已经给出了电梯的运行参数，忽略了电梯启动、暂停时的加速度，那么我们只须再给出时间指标即可。关于时间指标有以下定义，在解决具体的问题时，可以有选择性的采用。 （1） 平均候梯时间，其中U代表总的乘客人数，表示第个乘客实际的候梯时间。（2） 平均乘梯时间，其中表示第个乘客实际的乘梯时间。（3） 平均花费时间（4） 候梯最长时间（5） 电梯运行时间，其中指电梯运行开始时刻，指电梯运行停止时刻。3.1.2能耗指标 电梯耗费的能量越低，则相应的运行费用越低，电梯的能耗与电梯的运行距离密切相关。在电梯运行过程中，启动的加速阶段和停靠的减速阶段产生较大的能耗，所以电梯的能耗与电梯的停站次数也密切相关。 （1）总的运行距离 其中，表示服务于这栋大楼的电梯数，是指第台电梯的运行总距离。（2） 总的电梯停靠次数 其中，是指第台电梯的总停靠次数。3.2几种电梯运行方式的比较 （1）衡量电梯运行能耗和用户满意度的指标有很多，综合考虑指标的全面性、独立性和易获取性，分析确定合理的评价指标体系。 （2）影响一个电梯系统运行效果的主要因素是电梯的运行方式。一般高层商务楼中，经常采用的是分层次或单双层的运行方式，或者某部电梯直达某高层以上的方法。分析确定合理的评价指标体系，用以评价这些方案的优劣。高层办公大楼中一般都会配套使用多部电梯，经常采用的电梯运行方式是随机、单双层、分区运行。本部分对上行高峰时电梯运行效果进行具体分析，从能源和满足客户需求两个角度评价这些方法的优劣。 在这里我们做出以下假设：大楼的层数为，记（其中）；电梯每次上行均在第一层满载，最大载客量为，下行不载客；电梯内每位员工在各楼层下电梯的概率相等，且相互独立；大楼总的员工人数为，电梯需要向各层运送乘客数是，假设各层人数相等则需电梯运送的乘客总数为；电梯每次停靠的能耗为，将电梯运行的总能耗记为；忽略电梯启动和制动时的加速和减速过程，即电梯始终以速度匀速运行；电梯运行中经过各层的时间为常数，记为秒；考虑到运行安全，电梯停靠时电梯门都缓慢的打开和关闭，可认为乘客出入电梯的时间为常数且与出入电梯的人数无关，记为。为简化描述同时不失一般性，我们假设有两台电梯同时独立运行。电梯运行方案的比较有多种标准，这里我们同时考虑能源和客户需求，选取电梯运行时间和电梯停靠次数作为标准，并利用“比例”原则对常见的三种运行模式进行描述，具体的比例如下：=3.2.1 随机运行方案该方案允许电梯在向上运行过程中可以在任意层停靠，由于电梯是随机运行的，两台电梯的平均运行周期均为，两台电梯共运送乘客，等待运用的乘客的总数为，所用的时间为，为电梯随机停靠次数（），按照比例关系可以得到：，即，3.2.2单双层运行方案 该方案要求两台电梯中的一台向上运行时停靠奇数层，另一台向上运行时停靠第一层和偶数层，这里要考虑 的奇偶性进行讨论。 （1） 当 为偶数时，则 为奇数。停靠奇数层的电梯运行周期为，停靠偶数层的电梯运行周期为，故运送所有乘客所用时间即为完成运送至奇数层的乘客所用的时间，停靠次数为，类似的有，即，。（2） 当为奇数时，则为偶数。停靠奇数层的电梯运行周期为，停靠偶数层的电梯运行周期为，故运送所有乘客所用时间即为完成运送至偶数层的乘客所用的时间，类似的有，即，。（3） 3.2.3分区运行方案该方案以层为界分为上下两段。一台电梯运行第一层到层，另外一台电梯则从第一层开始，运行至层至第层。仿照上面几个表达式分别针对上区和下区，可以得到：，（表示取整数），通过整理可以得到，。根据此种运行方案的特点有，。令时有，所以。因为是的增函数，是的减函数，则关于的函数为：=因此当时，能够取得最小值，最优的运行时间和相应停靠能量损耗分别为：和3.2.4 电梯运行效果的比较 我们从电梯运行的时间和能耗两个角度对以上三种运行方案进行比较。由于故有和即，通过上述分析，我们知道无论是电梯运行的时间还是电梯能耗，都是分区运行方案最优。在第一部分我们已经知道电梯运行的总时间是影响乘客满意度的重要因素，因此有结论：分区运行方案的顾客满意度比单双层和随机方案的满意度都高，分区运行方案的电梯能耗比单双层和随机方案的能耗都少。在下面的忙时电梯运行方案设计中，我们采用分区的方法来安排电梯运行方案。 3.3忙时的电梯运行方案 通过上面的比较，我们采用分区的方法来安排忙碌时的电梯运行方案。电梯实行分组，会提高电梯服务的效率。把一栋楼房分成两个或更多的组，每组由相邻的楼层组成，不同的组用不同的电梯服务。对一栋楼房来说，要对电梯实行分组需要确定以下参数：所分的组数，每一组服务哪些楼，每一组中的电梯数等。图1表示一个装有3组电梯的楼房，空格是电梯直达不停站，阴影部分表示电梯服务的楼层。也可以采用不同的分组安排，把电梯分作4组，这样楼层的分法以及各组电梯的数目就会不同。在楼层层数，各楼层人数以及电梯数目给定的情况下，可以应用算法确定出最优的分区方法。本部分主要任务就是建立一个合适的电梯分区运行方案，使尽可能降低能耗但又不至于使用户有较大的不舒服。3.3.1楼层分区 电梯忙时主要有两个部分，分别是上行高峰和下行高峰。考虑到上行时人群由一层分散至其他各层的过程与下行时人群由各层集中至一层的过程对称，本文仅对上行高峰时段的电梯运行情况建立数学模型，设计科学的算法，找到电梯分区的最佳安排。 假设所研究的大楼有个楼层，每个楼层的客流需求都知道。所有楼层总的流需求为，第层的需求为。由部电梯组成的梯群服务于这栋大楼，层楼分为个区域，每个区域由一部电梯服务。分区的情况可以清楚地表示如下。第1组电梯服务于1层（门厅），层，.，层；第2组电梯服务于1层（门厅），层，.，层；第组电梯服务于1层（门厅），层，.，层；第组电梯服务于1层（门厅），层，.，层；其中和应满足严格不等条件：动态分区的目标是寻求个值的最优值。3.3.2运行周期 由于电梯始终上下往复运动，因此电梯的运动过程可以用它运行一个周期的时间来表征，将电梯运行一周所用的时间称为运行周期。电梯运行周期应包括如下几个部分：（1） 层间运行的时间：，其中（2） 开关电梯门的时间：，其中不妨设（3） 乘客上下电梯时间：，其中不妨设在上述是指类似地，衡量用户满意度程度大小，我们采用电梯运行时间和平均花费时间，和该优化问题以耗能尽量小和用户满意度尽量大为优化目标，是一个多目标优化问题。多目标优化往往不好处理，我们可以通过各指标间的相互关系，将其化为单目标问题。电梯服务的总时间越少，由知每位乘客的平均时间少，由此可以实现用户满意度尽量大的目的。层间运行的时间只有而开关电梯门的时间却有，由此可知要使得电梯运行的时间达到最小时，总的电梯停靠次数也基本上接近最小。类似地，总的运行距离也会随电梯运行时间的变小而变小。通过上述分析，该问题可以归结为以电梯运行时间最短为目标的单目标优化。在上高峰时期，电梯的任务是尽快地把乘客送到目的楼层，因此拿“电梯送完所有乘客所需要的时间”作为衡量电梯服务的主要标准，有其合理性。通过上述分析，要使得耗能尽量少以及用户满意度尽量大，我们只需要取电梯运行时间最小即可。依据“最大最小原则”，只需要求服务最慢的一组电梯的服务时间最短：所以确定哪一种调度方案最优，其实就是确定，的值使得的值达到最小，能够取到这个最短时间值的方案，就可以认为是最优方案，也即有如下数学模型：目标函数 约束条件这是一个带整数的非线性规划问题，当分成一个区域（也即不分区）时，可以很容易求得电梯运送时间；当分成两个区域，也即m =2时，通过穷举的方法也可以比较快的得到模型的最优解，而随着m的增大，穷举次数将以指数增长，因而我们有必要构造适当的算法以求解。 3.3.5算法设计因为大楼电梯数不可能很多，所以对，的取值可以采取穷举的方法。下面我们主要是在，确定的情况下，构造算法来求取的最优值。在确定分区点时，一旦当前一个分区点确定以后，其后续分区点的最优位置只受当前分区点位置确定，而不受当前分区点之前分区点位置影响。这个特点刚好满足动态规划方法的无后效性。因而我们考虑利用动态规划方法求解分区点的最优位置。令表服务范围为楼的第组电梯的运送时间，这一公式在上面已经给出。定义等于由前面的组电梯服务楼的极大极小运行时间。整栋楼的运送任务全部完成的时间是最后一组电梯完成任务的时间，即，下面建立这个问题的动态规划公式，算法的流程图如下图2所示。第一阶段，只用第一组为楼服务，则运送时间为，即：第二阶段，只用第一组和第二组为楼服务，则第一组电梯的运送时间为，第二组电梯的运送时间为，整个大楼运送时间为：因此应选择，使得上式极小化。由第一阶段，有。所以上式化为：第阶段，类似上述分析，结合Bellman最优化原理，有如下递推方程，应用上述动态规划公式，我们采用matlab语言编程，可以得到最优的分组安排方案。3.3.6模型求解 忙时的电梯调度方案需要考虑上行高峰期和下行高峰期的电梯运行情况，由于上行时的电梯运行方案与下行时电梯的运行方案具有空间上的对称性，因此需要耗费的总时间可以看成是近似相等的。我们通过计算机程序运算，再将所得结果进行仔细的分析和比较，从而得出了忙时上行的电梯最佳运行方案，类似地，我们可以得出忙时下行的电梯运行方案，下面将上行时各种电梯运送方式的结果列表给出，如表2所示。