一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解.doc

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一次函数的图象和性质一、知识要点: 1、一次函数:形如y=kx+b (k0, k, b为常数)的函数。 注意:(1)k0,否则自变量x的最高次项的系数不为1; (2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。 2、图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0) (2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质: (1)图象的位置: (2)增减性 k0时,y随x增大而增大 k0时,y随x增大而减小 4求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况: 利用一次函数的定义 构造方程组。 利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向 。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 利用题目已知条件直接构造方程 。二、例题举例: 例1已知y=,其中=(k0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。证明:与成正比例, 设=a(a0的常数), y=, =(k0的常数), y=a=akx, 其中ak0的常数, y与x也成正比例。 例2已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断=(3-)是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解:依题意,得 解得 n=-1, =-3x-1, =(3-)x, 是正比例函数; =-3x-1的图象经过第二、三、四象限,随x的增大而减小; =(3-)x的图象经过第一、三象限,随x的增大而增大。 说明:由于一次函数的解析式含有待定系数n,故求解析式的关键是构造关于n的方程,此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。 例3直线y=kx+b与直线y=5-4x平行,且与直线y=-3(x-6)相交,交点在y轴上,求此直线解析式。 分析:直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定与y轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。 解:y=kx+b与y=5-4x平行, k=-4, y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴, b=18, y=-4x+18。 说明:一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定点,即函数图象平行于直线y=kx,经过(0, b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定k,由与y轴交点定b。 例4直线与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析式。 解:点B到x轴的距离为2, 点B的坐标为(0,2), 设直线的解析式为y=kx2, 直线过点A(-4,0), 0=-4k2, 解得:k=, 直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2. 说明:此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备的。 (1)图象是直线的函数是一次函数; (2)直线与y轴交于B点,则点B(0,); (3)点B到x轴距离为2,则|=2; (4)点B的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=; (5)已知直线与y轴交点的纵坐标,可设y=kx+, 下面只需待定k即可。 例5已知一次函数的图象,交x轴于A(-6,0),交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限,它的横坐标为-2,AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式。 分析:自画草图如下: 解:设正比例函数y=kx, 一次函数y=ax+b, 点B在第三象限,横坐标为-2, 设B(-2,),其中0, =6, AO|=6, =-2, 把点B(-2,-2)代入正比例函数y=kx,得k=1 把点A(-6,0)、B(-2,-2)代入y=ax+b, 得 解得: y=x, y=-x-3即所求。 说明:(1)此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,注意两个函数中的系数要用不同字母表示; (2)此例需要把条件(面积)转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步:一是利用面积公式AOBD=6(过点B作BDAO于D)计算出线段长BD=2,再利用|=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件,想一想点B的位置有几种可能,结果会有什么变化?(答:有两种可能,点B可能在第二象限(-2,2),结果增加一组y=-x, y=(x+3). 例6已知正比例函数y=kx (k0)图象上的一点与原点的距离等于13,过这点向x轴作垂线,这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30,求这个正比例函数的解析式。 分析:画草图如下:则OA=13,=30, 则列方程求出点A的坐标即可。 解法1:设图象上一点A(x, y)满足 解得:; 代入y=kx (k1时, BCD=ABD, BDC=ADB, BCDABD, = =- - - - = 8-22x+5=0 x1=, x2=, 经检验:x1=, x2=,都是方程的根。 x=,不合题意,舍去。x=, D点坐标为(, 0)。 设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b, 所求一次函数为y=-x+(2)若点D在点C左侧则x1, 可证ABCADB, - - - - 8-18x-5=0 x1=-, x2=, 经检验x1=-, x2=,都是方程的根。 x2=不合题意舍去,x1=-, D点坐标为(-, 0), 图象过B、D(-, 0)两点的一次函数解析式为y=4x+综上所述,满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+. 例8已知:如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,过点C(4,0)作AB的垂线交AB于点E,交y轴于点D,求点D、E的坐标。 解:直线y=x-3与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-3), OA=6,OB=3, OAOB,CDAB, ODC=OAB, cotODC=cotOAB,即 OD=8. 点D的坐标为(0,8), 设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入 0=4k+8, 解得 k=-2 直线CD:y=-2x+8, 由解得 点E的坐标为(,-) 说明:由于点E既在直线AB上,又在直线CD上,所以可以把两直线的解析式联立,构成二元一次方程组,通过解方程组求得。
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