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第四节 函数的图象1描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:(1)确定函数的定义域;化简函数的解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)(3)描点,连线2图象变换(1)平移变换yf(x)的图象yf(xa)的图象;yf(x)的图象yf(x)b的图象(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象;yf(x)的图象yf(x)的图象;yf(x)的图象yf(x)的图象;yax(a0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象yf(x)的图象yaf(x)的图象(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象;yf(x)的图象yf(|x|)的图象小题体验1f(x)的图象如图所示,则f(x)_.答案:f(x)2函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线yex关于y轴对称,则f(x)_.解析:与曲线yex关于y轴对称的图象对应的解析式为yex,将函数yex的图象向左平移1个单位长度即得yf(x)的图象,所以f(x)e(x1)ex1.答案:ex13(2018扬州期末)若函数yf(x)的图象经过点(1,2),则函数yf(x)1的图象必经过的点的坐标是_解析:把函数yf(x)的图象关于y轴对称,再向上平移1个单位,可得函数yf(x)1的图象把函数yf(x)的图象上的点(1,2)关于y轴对称,再向上平移1个单位,可得点(1,3),故函数yf(x)1的图象必定经过的点的坐标是(1,3)答案:(1,3)1函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言,如从f(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位,其中是把x变成x.2明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系如函数yf(|x|)的图象属于自身对称,而yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称是两个函数小题纠偏1函数y5x与函数y的图象关于_对称答案:原点2把函数yf(2x)的图象向右平移_个单位得到函数yf(2x3)的图象答案:题组练透分别画出下列函数的图象:(1)y|lg x|;(2)y2x2;(3)yx22|x|1.解:(1)y图象如图1.(2)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图2.(3)y图象如图3.谨记通法作函数图象的3种常用方法典例引领1若函数f(x)的图象如图所示,则f(3)_.解析:由图象可得ab3,ln(1a)0,得a2,b5,所以f(x)故f(3)2(3)51.答案:12(2019启东检测)若函数f(x)|axb|(a0,a1,bR)的图象如图所示,则ab的取值范围是_解析:由图可得,函数f(x)的零点为,即b0.由图可得,当x时,函数f(x)为增函数,故a1,所以aba2(0,)答案:(0,)由题悟法识图3种常用的方法即时应用1已知yf(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为_解析:由图象易知f(x)的值域为(,1(1,3)答案:(,1(1,3)2如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f_.解析:由图象知f(3)1,所以1,所以ff(1)2.答案:2锁定考向函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性常见的命题角度有:(1)研究函数的性质;(2)求参数的值或范围;(3)研究不等式;(4)确定方程根(零点)的个数(详见本章第八节考点二)题点全练角度一:研究函数的性质1已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解:f(x)作出函数f(x)的图象如图所示(1)由图知函数f(x)的单调递增区间为1,2和3,),单调递减区间为(,1和2,3(2)由图象可知,若yf(x)与ym图象有四个不同的交点,则0m1,所以集合Mm|0m1角度二:求参数的值或范围2(2019苏州实验中学测试)定义mina,b已知函数f(x)minx,x24x44,若动直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为_解析:设g(x)minx,x24x4,则f(x)g(x)4,故把g(x)的图象向上平移4个单位长度,可得f(x)的图象,函数f(x)minx,x24x44的图象如图所示,由直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点,可得m的取值范围为(4,5)答案:(4,5)角度三:研究不等式3(2018启东中学测试)如图所示,函数yf(x)的图象是圆x2y22上的两段弧,则不等式f(x)f(x)2x的解集是_解析:由图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)x,在同一平面直角坐标系中分别作出yf(x)与yx的图象,由图象可知不等式的解集为(1,0)(1,答案:(1,0)(1,4若不等式(x1)2logax(a0,且a1)在x(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为_解析:要使当x(1,2)时,不等式(x1)2logax恒成立,只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可当0a1时,显然不成立;当a1时,如图,要使x(1,2)时,y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方,只需(21)2loga2,即loga21,解得1a2,故实数a的取值范围是(1,2答案:(1,2通法在握函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质:根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值从图象的对称性,分析函数的奇偶性从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解(3)研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解演练冲关1已知函数f(x)若f(3a2)f(2a),则实数a的取值范围是_解析:如图,画出f(x)的图象,由图象易得f(x)在R上单调递减,因为f(3a2)f(2a),所以3a22a,解得3a1.答案:(3,1)2(2019扬州中学高三调研)已知函数f(x)的图象上关于y轴对称的点恰有9对,则实数a的取值范围是_解析:若x0,则x0,x0时,f(x)sin1,f(x)sin1sin1,则若f(x)sin1,x0关于y轴对称,则f(x)sin1f(x),设g(x)sin1,x0,作出函数g(x)的大致图象如图所示要满足题意,则须使g(x)sin1,x0与f(x)logax,x0的图象恰有9个交点,则0a1,且满足f(17)g(17)2,f(21)g(21)2,即2loga17,loga212,解得a.答案:一抓基础,多练小题做到眼疾手快1已知函数f(x)x21,若0x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系为_解析:作出函数图象(图略),知f(x)在(0,)上单调递增,所以f(x1)f(x2)答案:f(x2)f(x1)2(2018常州一中期末)将函数yex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移2个单位,所得函数的解析式为_解析:将函数yex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,可得ye2x,再向右平移2个单位,可得ye2(x2)e2x4.答案:ye2x43(2018前黄中学月考)设函数yf(x1)是定义在(,0)(0,)的偶函数,在区间(,0)是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x1)f(x)0的解集为_解析:yf(x1)向右平移1个单位得到yf(x)的图象,由已知可得f(x)的图象的对称轴为x1,过定点(2,0),且函数在(,1)上递减,在(1,)上递增,则f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为(,0(1,2答案:(,0(1,24使log2(x)x1成立的x的取值范围是_解析:在同一坐标系内作出ylog2(x),yx1的图象,知满足条件的x(1,0)答案:(1,0)5若关于x的方程|x|ax只有一个解,则实数a的取值范围是_解析:由题意a|x|x令y|x|x图象如图所示,故要使a|x|x只有一解,则a0.答案:(0,)6设函数f(x)若f(f(a)2,则实数a的取值范围是_解析:函数f(x)的图象如图所示,令tf(a),则f(t)2,由图象知t2,所以f(a)2,当a0时,由a2a2,即a2a20恒成立,当a0时,由a22,得0a,故a.答案:(, 二保高考,全练题型做到高考达标1已知f(x)x,若f(x)的图象关于直线x1对称的图象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为_解析:设g(x)上的任意一点A(x,y),则该点关于直线x1的对称点为B(2x,y),而该点在f(x)的图象上所以y2x3x2,即g(x)3x2.答案:g(x)3x22如图,定义在1,)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为_解析:当1x0时,设解析式为f(x)kxb(k0),则解得当1x0时,f(x)x1.当x0时,设解析式为f(x)a(x2)21(a0),图象过点(4,0),0a(42)21,a,当x0时,f(x)(x2)21x2x.故函数f(x)的解析式为f(x)答案:f(x)3(2019江阴中学检测)方程x2|x|a1有四个不同的实数解,则a的取值范围是_解析:方程解的个数可转化为函数yx2|x|的图象与直线y1a交点的个数,作出两函数的图象如图,易知1a0,所以1a.答案:4(2019启东中学期中)设奇函数f(x)的定义域为5,5,若当x0,5时,f(x)的图象如图,则不等式0的解集为_解析:不等式0,等价于或由图象可知:当1x5时,由f(x)0,解得2x5.当0x1时,由f(x)0,解得0x1,因为f(x)为奇函数,当2x0时,由f(x)0,此时无解,当5x2时,由f(x)0,解得5x2,故不等式的解集为5,20,1)2,5答案:5,20,1)2,55已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根,则a的取值范围为_解析:x0时,f(x)2x1,0x1时,1x10,f(x)f(x1)2(x1)1.故x0时,f(x)是周期函数,如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点,故a1,即a的取值范围是(,1)答案:(,1)6(2019镇江中学测试)已知函数f(x)若a,b,c互不相等,且f(a)f(b)f(c),则abc的取值范围是_解析:作出函数f(x)的图象如图所示,不妨设abc,则bc21224,a(1,10),则abc24a(25,34)答案:(25,34)7(2019徐州调研)设函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数,如1.22,1.21,若直线ykxk(k0)与函数yf(x)的图象有三个不同的交点,则k的取值范围是_解析:函数f(x)作出函数f(x)的图象如图所示ykxkk(x1),故该直线的图象一定过点(1,0),若ykxk与yf(x)的图象有三个不同的交点,则f(x)kxk有三个不同的根,k0,当ykxk过点(2,1)时,k,当ykxk过点(3,1)时,k,要使f(x)kxk有三个不同的根,则实数k的取值范围是.答案:8(2019金陵中学月考)已知yf(x)是偶函数,yg(x)是奇函数,它们的定义域均为,且它们在x0,上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析:f(x)g(x)0f(x)与g(x)在同一区间内符号相反,由图可知,当x0,时,两者异号的区间为.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,当x,0)时,两者异号的区间为,f(x)g(x)0的解集是.答案:9(2018盐城一中测试)已知函数f(x)x|mx|(xR),且f(4)0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集;(5)求集合Mm|使方程f(x)m有三个不相等的实根解:(1)因为f(4)0,所以4|m4|0,即m4.(2)因为f(x)x|4x|即f(x)所以函数f(x)的图象如图所示由图象知函数f(x)有两个零点(3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为2,4(4)从图象上观察可知:不等式f(x)0的解集为x|0x4或x4(5)由图象可知若yf(x)与ym的图象有三个不同的交点,则0m4,所以集合Mm|0m410已知函数f(x)2x,xR.(1)当m取何值时方程|f(x)2|m有一个解?两个解?(2)若不等式f2(x)f(x)m0在R上恒成立,求m的取值范围解:(1)令F(x)|f(x)2|2x2|,G(x)m,画出F(x)的图象如图所示由图象可知,当m0或m2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0m2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解(2)令f(x)t(t0),H(t)t2t,因为H(t)2在区间(0,)上是增函数,所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0,)上恒成立,应有m0,即所求m的取值范围为(,0三上台阶,自主选做志在冲刺名校1对于函数f(x)lg(|x2|1),给出如下三个命题:f(x2)是偶函数;f(x)在区间(,2)上是减函数,在区间(2,)上是增函数;f(x)没有最小值其中正确命题的个数为_解析:因为函数f(x)lg(|x2|1),所以函数f(x2)lg(|x|1)是偶函数;由ylg xylg(x1)ylg(|x|1)ylg(|x2|1),如图,可知f(x)在(,2)上是减函数,在(2,)上是增函数;由图象可知函数存在最小值为0.所以正确答案:22已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)f(x),且g(x)在区间(0,2上为减函数,求实数a的取值范围解:(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P(x,2y)在h(x)的图象上,即2yx2,所以yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x,g(x)1.因为g(x)在(0,2上为减函数,所以10在(0,2上恒成立,即a1x2在(0,2上恒成立,所以a14,即a3,故实数a的取值范围是3,)命题点一函数的概念及其表示1(2018江苏高考)函数f(x)的定义域为_解析:由log2x10,即log2xlog22,解得x2,所以函数f(x)的定义域为x|x2答案:x|x22(2016江苏高考)函数y的定义域是_解析:要使函数有意义,需32xx20,即x22x30,得(x1)(x3)0,即3x1,故所求函数的定义域为3,1答案:3,13(2016浙江高考)设函数f(x)x33x21,已知a0,且f(x)f(a)(xb)(xa)2,xR,则实数a_,b_.解析:因为f(x)x33x21,所以f(a)a33a21,所以f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得因为a0,所以由得a2b,代入式得b1,a2.答案:214(2018全国卷改编)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是_解析:法一:当即x1时,f(x1)f(2x),即为2(x1)22x,即(x1)2x,解得x1.因此不等式的解集为(,1当时,不等式组无解当即1x0时,f(x1)f(2x),即为122x,解得x0.因此不等式的解集为(1,0)当即x0时,f(x1)1,f(2x)1,不合题意综上,不等式f(x1)f(2x)的解集为(,0)法二:f(x)函数f(x)的图象如图所示结合图象知,要使f(x1)f(2x),则需或x0.答案:(,0)命题点二函数的基本性质1.(2016江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间1,1)上,f(x)其中aR.若ff,则f(5a)的值是_解析:因为函数f(x)的周期为2,结合在1,1)上f(x)的解析式,得fffa,fff.由ff,得a,解得a.所以f(5a)f(3)f(41)f(1)1.答案:2(2013江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为_解析:由于f(x)为R上的奇函数,所以当x0时,f(0)0;当x0时,x0,所以f(x)x24xf(x),即f(x)x24x,所以f(x)由f(x)x,可得或解得x5或5x0,所以原不等式的解集为(5,0)(5,)答案:(5,0)(5,)3(2018全国卷改编)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x)若f(1)2,则f(1)f(2)f(3)f(50)_.解析:法一:f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x),得f(x1)f(x1),f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x),函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数得f(0)0.又f(1x)f(1x),f(x)的图象关于直线x1对称,f(2)f(0)0,f(2)0.又f(1)2,f(1)2,f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200,f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.法二:由题意可设f(x)2sin,作出f(x)的部分图象如图所示由图可知,f(x)的一个周期为4,f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2.答案:24(2017全国卷改编)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是_解析:由x22x80,得x4或x2.因此,函数f(x)ln(x22x8)的定义域是 (,2)(4,)注意到函数yx22x8在(4,)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4,)答案:(4,)5(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(,0)时,f(x)2x3x2,则f(2)_.解析:由已知得,f(2)2(2)3(2)212,又函数f(x)是奇函数,所以f(2)f(2)12.答案:126(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x4)f(x2)若当x 3,0时,f(x)6x,则f(919)_.解析:因为f(x4)f(x2),所以f(x6)f(x),所以f(x)的周期为6,因为91915361,所以f(919)f(1)又f(x)为偶函数,所以f(919)f(1)f(1)6.答案:6命题点三函数的图象1.(2016全国卷改编)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x),若函数y与yf(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则(xiyi)_.解析:因为f(x)2f(x),所以f(x)f(x)2.因为0,1,所以函数yf(x)的图象关于点(0,1)对称函数y1,故其图象也关于点(0,1)对称所以函数y与yf(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以i0,i2m,所以(xiyi)m.答案:m2(2015全国卷)已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4),则a_.解析:因为f(x)ax32x的图象过点(1,4),所以4a(1)32(1),解得a2.答案:2
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