2018-2019学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (IV).doc

2018-2019学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (IV)一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合并集的定义求解即可得到结果【详解】，故选D【点睛】本题考查集合的并集，解题时注意集合元素的互异性，属于简单题2.若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得到22x=23，于是得2x=3，进而得到结果【详解】由4x=8得22x=23，2x=3，x=32故选D【点睛】本题考查指数幂的运算和指数函数的性质，解题时注意灵活变形，属于基础题3.若l1、l2为异面直线，直线l3/l1，则l3与l2的位置关系是（）A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交【答案】D【解析】解：因为l1、l2为异面直线，直线l3/l1，则l3与l2的位置关系是异面或相交，选D4.若log12x=3，则x=A. 18 B. 19 C. 8 D. 9【答案】A【解析】【分析】根据对数的定义求解即可得到结果【详解】log12x=3，x=(12)3=18故选A【点睛】本题考查对数与指数之间的关系，解题时注意“ax=Nx=logaN(a0,a1)”的运用，特别是变形前后的底数不变5.已知正方体ABCDA1B1C1D1，则AC与BA1所成的角为A. 300 B. 450 C. 600 D. 900【答案】C【解析】【分析】画出图形，根据两异面直线所成角的定义作出所求角，然后通过解三角形得到所求角的大小【详解】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连A1C1,BC1，则得A1C1AC，BA1C1即为异面直线AC与BA1所成的角在BA1C1中，由题意得BA1=A1C1=A1B，BA1C1=60，即AC与BA1所成的角为60故选C【点睛】（1）求异面直线所成的角的步骤为：“找”、“证”、“算”。其中“找”常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种，即利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移（2）计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行6.函数y=3x22，x2,1的值域为A. 1,10 B. 2,10 C. 2,+ D. 2,1【答案】B【解析】【分析】根据二次函数在区间上的单调性，并结合函数的图象可得值域【详解】由题意得函数f(x)=3x2-2图象的对称轴为x=0，函数f(x)=3x2-2在(-2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(x)min=f0=-2，又f-2=10,f1=1，f(x)max=10函数的值域为-2,10故选B【点睛】求二次函数在闭区间上的值域时，一般根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系进行求解，体现数形结合思想在解题中的应用，属于基础题7.已知函数fx=x2+1(x1)的反函数是f1x,则f110=A. 21 B. 101 C. 3 D. 3【答案】D【解析】【分析】根据反函数的定义求出f-1x的解析式，然后再求出f-110即可【详解】y=x2+1(y2)，x2=y-1,x=y-1，f-1x=x-1(x2)，f-110=10-1=3故选D【点睛】解答本题的关键是根据反函数的定义求出反函数的解析式，然后再求出函数值，解题时注意只有在给定区间上单调的函数才有反函数，同时还要注意求反函数解析式的方法，反函数的定义域（值域）为原函数的值域（定义域）8.已知a=213,b=312,c=log32，则A. abc B. cba C. acb D. cab【答案】D【解析】【分析】由题意得0c1，b1，然后再通过构造中间量比较得到ab即可得到结果【详解】213212，212312，213312，即a1，0c=log321，ca0,m,nN*,n1)求解，转化时特别 要注意符号的确定，属于基础题11.方程lgx9x=0的根所在的大致区间是A. 6,7 B. 7,8 C. 8,9 D. 9,10【答案】D【解析】【分析】设fx=lgx-9x，然后根据零点存在性定理进行判断后可得所求区间【详解】设fx=lgx-9x，则f6=lg6-96=-32+lg60，f7=lg7-970，f8=lg8-980，f9=-1+lg90，f9f100，函数fx在区间9,10内有零点，方程lgx-9x=0的根所在的大致区间是9,10故选D【点睛】（1）解题时注意转化思想的运用，注意方程的根、函数的零点及函数图象与x轴交点的横坐标间的等价关系（2）解答函数零点存在性问题的常用办法有三种：一是用零点存在性定理，二是解方程，三是利用函数的图象进行判断12.已知函数fx=2+log3x的定义域为1,3，gx=f2x+fx2+m，若存在实数a1,a2,a3yy=gx，使得a1+a2a3，则实数m的取值范围是A. m114 B. m134 C. m1 D. m2【答案】A【解析】【分析】根据题意得到gx的解析式，然后利用换元法求出函数gx的最大值和最小值然后由“存在实数a1,a2,a3yy=gx，使得a1+a2a3”可得2gxmingxmax，由此可得所求范围【详解】由题意得gx=(2+log3x)2+2+log3x2+m=(log3x)2+6log3x+6+m，由1x31x23，得1x3，函数gx的定义域为1,3令t=log3x,t0,12，且h(t)=t2+6t+6+m=(t+3)2-3+m，函数h(t)在0,12上单调递增，hxmin=h0=6+m,hxmax=h12=374+m，gxmin=6+m,gxmax=374+m由题意得“存在实数a1,a2,a3yy=gx，使得a1+a2a3”等价于“2gxmingxmax”，26+m374+m，解得m-114.故选A【点睛】本题考查换元法的应用及二次函数值域的取法，解题的关键是正确理解题意，将“存在实数a1,a2,a3yy=gx，使得a1+a2a3”转化为函数的最值的问题处理，考查理解、分析和解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数y=fx的图象过点2,2，则f3=_.【答案】3【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数y=fx的解析式，然后可得f3的值【详解】由题意设y=fx=x，函数y=fx的图象过点2,2，2=2=212，=12，fx=x12，f3=312=3故答案为3【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题14.已知球的表面积为36,则该球的体积为_.【答案】36【解析】【分析】设球半径为R，由球的表面积求出R=3，然后可得球的体积【详解】设球半径为R，球的表面积为36，4R2=36，R=3，该球的体积为V=43R3=4333=36故答案为36【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果15.函数f(x)=x24x+3x+m有3个零点，则m=_.【答案】m=1或m=34【解析】【分析】令gx=x-x2-4x+3，则由条件可得函数y=gx和函数y=m的图象有3个公共点，画出函数y=gx的图象，结合图象可得所求m的值【详解】令gx=x-x2-4x+3，函数fx=x2-4x+3-x+m有3个零点，函数y=gx的图象和函数y=m的图象有3个公共点画出函数y=gx=-x2+5x-3,x3的图象，如下图所示当x=1时，gx=1；当x=32时，g32=34结合图象可得，当m=34或m=1时，直线y=m与函数y=gx的图象有3个公共点，即函数fx=x2-4x+3-x+m有3个零点故答案为m=34或m=1【点睛】求函数的零点，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解16.给出下列4个结论：棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥；函数y=x+x49x2既不是奇函数又不是偶函数；若函数fx=lgax2+5x+4的值域为R，则实数的取值范围是0,2516； 若函数fx满足条件fx4f1x=x,则fx的最小值为415其中正确的结论的序号是：_. (写出所有正确结论的序号)【答案】,【解析】【分析】对所给的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论的序号【详解】对于，由平面几何知识可得，正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，此时中心与各顶点构成平面图形，所以棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥所以正确对于，由9-x20得-3x3，故函数的定义域为(-3,3)，所以x-40=25-16a0，解得0a2516综上可得实数的取值范围是0,2516，所以正确对于，以1x代替fx-4f1x=x中的x可得f1x-4fx=1x，由fx-4f1x=xf1x-4fx=1x消去f1x整理得fx=-115(x+4x)，所以fx=115x+4x1152x4x=415，当且仅当x=4x，即x=2时等号成立所以正确综上可得正确结论的序号为故答案为【点睛】解答本题时要结合相关的知识对每个结论进行分析、判断，考查对数所学知识的掌握情况和判断能力，同时判断时还要注意对问题中的一些特殊情况的处理，选择合适的方法进行求解，如通过反例等方法进行判断等三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知集合A=x|x4或x2，B=x|3x782x，求CRAB.【答案】x|2x3【解析】【分析】解不等式得到集合B，求出CRA后可得CRAB【详解】A=x|x4或x2，CRA=x|2x4，又B=x|3x-78-2x=x|x3，CRAB=x|2x3【点睛】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，解题时注意结合数轴进行求解，属于简单题18.已知函数fx=x2-3ax+2 aR.（）若a=1，解不等式fx0恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）1,2；（II）223,223.【解析】【分析】（）直接解不等式可得所求解集；（）由题意得不等式x2-3ax+20对于任意实数x恒成立，根据判别式的符号求解即可【详解】（）当a=1时，不等式fx0为x2-3x+20，即(x-1)(x-2)0，解得1x0对于任意实数x恒成立，=(-3a)2-8=9a2-80，即a289，-223a223，实数的取值范围为-223,223【点睛】解一元二次不等式时需要结合对应的二次方程和二次函数的图象求解，体现数形结合的应用对于二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可结合二次函数图象即抛物线的开口方向和判别式的符号求解即可19.若用模型y=ax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y m与刹车时的速度x km/h的关系，而某种型号的汽车的速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m.在限速100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，问这辆车是否超速行驶？【答案】没有超速.【解析】【分析】先根据题意得到函数y=ax2的解析式，然后根据刹车后滑行距离为50m，求出相应的车速x，与限速比较后可得结论【详解】由题意知点(60,20)在函数y=ax2的图象上，20=a602，解得得a=1180，y=1180x2，当y=50时，则有50=1180x2，整理得x2=9000，x=3010x=3010100，这辆车没有超速行驶【点睛】本题考查二次函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力，属于基础题20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形， PD底面ABCD, PD=AB=2,E、F分别为AB、PC的中点.（）证明：直线EF平面PAD；（）求三棱锥BEFC的体积.【答案】（I）详见解析；（II）13.【解析】【分析】（）取PD的中点G，连FG,AG，利用平面几何知识可得四边形AEFG为平行四边形，从而EFAG，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（）根据VB-EFC=VF-BCE，由题意求得点F到平面BCE的距离即可得到所求体积【详解】（）证明：取PD的中点G，连FG,AG，F为PC的中点，FGCD，且FG=12CD又AECD，且AE=12CD，四边形AEFG为平行四边形，EFAG，又EF平面PAD,AG平面PAD，EF平面PAD（）PD底面ABCD，F为PC的中点，点F到平面BCE的距离为d=12PD=1又SBCE=12BEBC=1212=1，VB-EFC=VF-BCE=13SBCEd=1311=13，即三棱锥B-EFC的体积为13【点睛】（1）在解决线面关系的问题时，要注意“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间的转化，合理选择证题思路使问题得以解决（2）几何体的体积、面积等问题常与线面关系结合在一起考查，解决体积问题时要考虑“等积法”在求解中的灵活应用21.已知函数fx=ax,x0且a1，不等式fx2的解集为M.（）若a=2，求M；（）若M3,+，求实数的取值范围.【答案】（I）M=xx4或1x2；（II）1,2.【解析】【分析】（）通过分类讨论解不等式可得结果；（）分0a1两种情况求出集合M，再根据集合的包含关系得到关于的不等式，解不等式后可得所求范围【详解】（）不等式fx2等价于x22x2或x2log2x2，解得1x2，或x4，M=xx4，或1x2（）由fx2得：x2log2x2或x2ax2，即x4或x2ax2，当0a1时，由x2ax2，得xloga21时，由x2ax2，得x2xloga2*，M3,+，不等式组*的解集为， loga22，解得1a2，综上可得10，f(x)的定义域是R令gx=2x2-2x+2x2+1,x-12,2，则g(x)=2-2xx2+1且g(x)在-1,1上是减函数，以下证明：设-1x1x20， gx1g(x2)，即g(x)在-1,1上是减函数，lggx1lggx2，f(x)在-1,1上也是减函数同理可证得f(x)在1,+)上是增函数 在上是减函数，在上是增函数，又，由题意“存在，使得成立”等价于“的范围即为函数的值域”，集合.【点睛】（1）解答第一问时要注意一元二次不等式、一元二次方程和二次函数间的关系，通过转化的方法使问题得以解决；（2）第二问中要强化对题意的理解，本题是函数中的存在性问题（或能成立问题），由于“存在，使得成立”，故可得的范围即为函数的值域