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课时分层作业 十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共35分)1.在一次数学测验中,采集到如下一组数据x-2-10123y0.240.5112.023.988.02则下列函数与x,y的函数关系最接近的是(其中a,b是待定系数)()A.y=ax+bB.y=a+bxC.y=ax2+bD.y=a+【解析】选B.由数据知x,y之间的函数关系近似为指数型.2.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【解析】选B.选项B中,Q的值随t的变化越来越快,即运输效率在逐步提高.3.某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为()A.10B.11C.13D.21【解析】选A.该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护费为2+4+2x=x(x+1),所以x年的平均费用为y=x+1.5,由均值不等式得:y=x+1.52+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号.4.(2018南昌模拟)我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%),现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过()A.6粒B.7粒C.8粒D.9粒【解析】选B.由题意得,3%,解得n7.05,所以若这批米合格,则n不超过7粒.5.将进货单价为80元的商品400个,按90元一个售出时能全部卖出.已知这种商品每涨价1元,其销售数就减少20个.为了获得最大利润,售价应定为每个_元.()A.5B.90C.95D.96【解析】选C.设售价为(90+x)元.所以利润为(10+x)(400-20x)=-20(x+10)(x-20)=-20(x-5)2+4 500,所以当x=5,即售价为95元时,利润最大.6.(2018昆明模拟)如图,一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是2 m和a m(0a10),不考虑树的粗细,现用12 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是()【解题指南】先依据题设条件,求出花园面积与a之间的函数关系,再排除各个选项.【解析】选B.依据题设条件,可得花园面积的解析式u=该函数的图象与选项B吻合.7.图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S=S(a)(a0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是()【解析】选C.依题意,当0a1时,S(a)=+2a=-a2+3a;当1a2时,S(a)=+2a;当23时,S(a)=+2+3=,于是S(a)=由解析式可知选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是_小时.【解题指南】先依据题设条件列出两个方程,注意利用整体思想求解该问题.【解析】由已知条件,得192=eb,又48=e22k+b=eb(e11k)2,所以e11k=,设该食品在33 的保鲜时间是t小时,则t=e33k+b=192e33k=192(e11k)3=192=24.答案:24【变式备选】某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤_次才能达到市场要求.(已知lg 20.301 0,lg 30.477 1)【解析】设过滤n次才能达到市场要求,则2%0.1%,即,所以nlg-1-lg 2,所以n7.39,所以n=8.答案:89.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过500元,其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为_元.【解析】依题意,价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)=当f(x)=168时,由1680.9187200时,y5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足,但当x538时,y5,不满足公司的要求.(3)对于y=ln x+1,易知满足.当x10,1 000时,yln 1 000+1.下面证明ln 1 000+15.因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)0,满足.再证明ln x+1x25%,即2ln x+4-x0.设F(x)=2ln x+4-x,则F(x)=-1=0,x10,1 000,所以F(x)在10,1 000上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)0).(2)由基本不等式可知y=+32+3=7,当且仅当=即x=6时取等号,ymin=7.(3)因为x4,8,y=,所以y=+3在4,6上单调递减,在6,8上单调递增,所以当x=6时,y取最小值7,又因为当x=4时,y=7;当x=8时,y=7,所以y的取值范围是.
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