矩阵的相似变换和特征值.ppt

返回主界面 第五章矩阵的相似变换和特征值 线性代数与空间解析几何电子教案网络版 说明 由于PowerPoint软件版本差异 在您的电脑上浏览本电子课件可能有些内容出现会出现异常 课件作者 王小才 5 1方阵的特征值和特征向量 5 2相似矩阵 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 一 特征值 特征向量的定义和计算 1 设A是n阶方阵 为数 为n维非零向量 若A 则称 为A的特征值 称 为A的对应于 的特征向量 2 由A 得齐次线性方程组 I A 它有非零解 系数行列式 I A 0 这个关于 的一元n次方程 称为A的特征方程 I A 称为A的特征多项式 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 例1 求 的特征值和特征向量 解 所以A的特征值为 1 2 2 4 解之得 A的对应于 1 2的特征向量为 对于 1 2 2I A x 即 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 解之得 A的对应于 2 4的特征向量为 对于 2 4 4I A x 即 例1 求 的特征值和特征向量 解 所以A的特征值为 1 2 2 4 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 解 I A 2 1 2 所以A的特征值为 1 2 2 3 1 对于 1 2 求得 2I A x 的基础解系 p1 0 0 1 T 对应于 1 2的特征向量为kp1 0 k R 对于 2 3 1 求得 I A x 的基础解系 p2 1 2 1 T 对应于 2 3 1的特征向量为kp2 0 k R 例2 求 的特征值和特征向量 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 解 I A 1 2 2 所以A的特征值为 1 1 2 3 2 I A x 的基础解系 p1 1 0 1 T 对应于 1 1的特征向量为kp1 0 k R 2I A x 的基础解系 p2 0 1 1 T p3 1 0 4 T 对应于 2 3 2的特征向量为k2p2 k3p3 k2 k3不同时为零 例3 求 的特征值和特征向量 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 例4 设 为方阵A的特征值 证明 2为A2的特征值 证明 因为 为A的特征值 即有非零向量x使Ax x 于是 A2 x A Ax A x Ax 2x 所以 2为A2的特征值 例5 设 为方阵A的特征值 证明 2 2 3 4 为 A 2A2 3A 4I的特征值 证明 因为 为A的特征值 即有非零向量x使Ax x 于是 A x 2A2 3A 4I x 2 A2 x 3Ax 4x 2 2x 3 x 4x 2 2 3 4 x x 所以f 为f A 的特征值 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 二 特征值 特征向量的性质 定理5 1 设 1 n 实数或复数 可以重复 是n阶方阵A aij 的n个特征值 即 I A 1 2 n 则 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 1方阵的特征值和特征向量 定理5 2 设 是方阵A的一个特征值 f是一个 多项式 则f 是方阵f A 的一个特征值 推论 若f是多项式 A是一个方阵 使f A O 这时称f为A的一个零化多项式 则A的任一特征值 必满足f 0 注 A的零化多项式的根未必都是A的特征值 例如f x x2 1 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 5 2相似矩阵 一 相似矩阵的定义和性质 设A B都是n阶方阵 若有可逆矩阵P 使得P 1AP B 则称矩阵A与B相似 记为A B P称为相似变换矩阵或过渡矩阵 易见 矩阵间的相似关系满足反身性 A A 对称性 A B B A 传递性 A B B C A C 即矩阵间的相似关系是一种等价关系 且A与B相似 A与B相抵 但反之未必 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 命题 设A B f是一个多项式 则f A f B 证明 设P 1AP B f x anxn a1x a0 则 P 1f A P anP 1AnP A1p 1AP a0P 1IP an P 1AP n a1P 1AP a0I P 1 anAn a1A a0I P anBn a1B a0I f B 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 定理5 5 设n阶方阵A与B相似 则有相同的特征多项式和特征值 事实上 设P 1AP B 则 I A P 1 I A P I B 注 特征多项式相同的矩阵未必相似 例如 它们的特征多项式都是 1 2 但是若有P 1AP B 则A PBP 1 B 矛盾 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 二 方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理5 6 n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 证明 必要性 设P 1AP diag 1 2 n 则AP Pdiag 1 2 n 即 P的列向量依次为p1 p2 pn A p1 p2 pn 1p1 2p2 npn 可见 p1 p2 pn就是A的n个线性无关的特征向量 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 于是P 1AP diag 1 2 n p1 p2 pn 对应的特征值依次为 1 2 n 充分性 设A的n个线性无关的特征向量依次为 则A p1 p2 pn 1p1 2p2 npn 记P p1 p2 pn 则上式可写成AP Pdiag 1 2 n 二 方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理5 6 n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 推论a n阶复方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的每个ni重特征值 i有ni个线性无关的特征向量 即秩 iI A n ni 推论b 若n阶方阵A有n个不同的特征值 则A与对角矩阵相似 三 方阵的相似对角化 对于n阶方阵A 求可逆矩阵P 使P 1AP为对角矩阵这件事称为矩阵A的相似对角化 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 求 I A 0的根 A可以相似对角化 秩 iI A n ni A不能相似对角化 例123 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 例6 A 320 010 的特征多项式为 00 1 特征值 3 i中有两个是虚数 所以A不与实对角矩阵相似 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 2相似矩阵 3I A x 的基础解系 p1 5 3 1 T iI A x 的基础解系 p2 0 i 1 T iI A x 的基础解系 p3 0 i 1 T 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 5 3实对称矩阵的相似对角化 一 实对称矩阵的特征值和特征向量 1 复矩阵的共轭矩阵 设A aij m n aij C A的共轭矩阵 可以验证 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 2 实对称矩阵 定理5 7 实对称矩阵的特征值均为实数 从而 另一方面 两式相减得 向量x满足Ax x 则 又因为x非零 故 因此 可见 为实数 事实上 设复数 为对称矩阵A的特征值 非零复 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 事实上 1p1T Ap1 T p1TAT p1TA 定理5 8 设 1 2是实对称矩阵A的两个不同的特征值 p1 p2是对应与它们的特征向量 则p1与p2正交 于是 1 2 p1Tp2 0 但是 1 2 故p1Tp2 0 从而 1p1Tp2 p1TAp2 p1T 2p2 2p1Tp2 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 定理5 9 对于任意n阶实对称矩阵A 存在正交矩阵Q 使得Q 1AQ diag 1 2 n 其中 1 2 n为A的全部特征值 Q q1 q2 qn 的列向量组是A的对应于 1 2 n的标准正交特征向量 二 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 推论 设 是n阶实对称矩阵A的r重特征值 则对应于 恰有r个线性无关的特征向量 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 例7 把 正交相似对角化 解 I A 2 4 2 所以A的特征值为 1 2 2 3 4 2I A x 的基础解系 1 0 1 1 T 4I A x 的基础解系 2 1 0 0 T 3 0 1 1 T 由于 1 2 3已经是正交的了 将它们单位化即可得 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 注 对于 2 3 4 若取 4I A x 的基础解系 2 1 1 1 T 3 1 1 1 T 则需要将它们正交化 取 1 2 再单位化 即得 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 例8 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 1 证明 是对应于 1的特征向量 与 3正交 2 求A 证明 1 由定理5 8可知 成立 因为 1是A的二重特征值 所以A有两个线性无关的特征向量 1 2对应于 1 注意到 1 2 3线性无关 而 1 2 3线性相关 可设 k1 1 k2 2 k3 3 故 k1 1 k2 2是对应于 1的特征向量 由 3 3 1 3 2 0得k3 0 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 解 2 由 1 可知对应于 1两个线性无关的 将正交向量组 1 2 3单位化得正交矩阵 例8 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 1 证明 是对应于 1的特征向量 与 3正交 2 求A 特征向量可取为x1 2x2 2x3 0的基础解系 1 2 1 2 T 2 2 2 1 T 第五章矩阵的相似变换和特征值 5 3实对称矩阵的相似对角化 Q 由此可得A Q QT 教学内容和基本要求 第五章矩阵的相似变换和特征值 理解矩阵的特征值和特征向量的概念 熟练掌握矩阵的特征多项式 特征值 特征向量的求法 熟练掌握特征多项式 特征值 特征向量的性质 了解矩阵的迹的概念 了解矩阵的迹 行列式与其特征值的关系 理解矩阵的相似性概念 理解两矩阵相似的必要条件 熟练掌握矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件 并熟练掌握相应的对角矩阵及相似变换矩阵的求法 熟练掌握实对称矩阵的性质 熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵的方法