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4.2.2导数的综合应用【考纲要求】 熟练利用导数工具研究函数性质。【知识梳理】1利用导数研究函数单调性的步骤(1)求导数f(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)1的解集为(A)A(3，2)(2,3)B(，)C(2,3)D(，)(，)【例题精析】题型一利用导数研究函数的零点或方程根的方法例1已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x.由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(3,1)探究提高(1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐统一(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图像交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识变式训练1 已知函数f(x)x3x26xa.(1)对任意xR，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若函数f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)(2)a或a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立探究提高(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用变式训练2 设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)如果对任意的s，t都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)当a2时，f(x)xln x，f(x)ln x1，f(1)2，f(1)1，故y2(x1)所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为xy30.(2)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于：g(x1)g(x2)maxM，g(x)x3x23，g(x)3x22x3x，x02g(x)0g(x)3递减极(最)小值递增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以满足条件的最大整数M4.(3)对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立等价于：在区间上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，由(2)知，在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.f(x)min1.又f(1)a，a1.下面证当a1时，在区间上，函数f(x)1成立当a1且x时，f(x)xln xxln x，记h(x)xln x，h(x)ln x1，h(1)0，当x时，h(x)ln x10，所以函数h(x)xln x在区间上递减，在区间(1,2上递增，h(x)minh(1)1，即h(x)1，所以当a1且x时，f(x)1成立，即对任意s，t都有f(s)g(t)题型三利用导数研究生活中的优化问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x).再由C(0)8，得k40，因此C(x).又建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元变式训练3 (2011福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)a2(2)x4
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