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4.2.2导数的综合应用【考纲要求】 熟练利用导数工具研究函数性质。【知识梳理】1利用导数研究函数单调性的步骤(1)求导数f(x);(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)1的解集为(A)A(3,2)(2,3)B(,)C(2,3)D(,)(,)【例题精析】题型一利用导数研究函数的零点或方程根的方法例1已知函数f(x)x33ax1,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x1处取得极值,直线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a),当a0,当a0时,由f(x)0,解得x.由f(x)0,解得x0时,f(x)的单调增区间为(,),(,),单调减区间为(,)(2)f(x)在x1处取得极值,f(1)3(1)23a0,a1.f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0,解得x11,x21.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x1处取得极大值f(1)1,在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图像可知:实数m的取值范围是(3,1)探究提高(1)对于该问题的求解,一般利用研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图像的交点情况,建立含参数的方程组(或不等式)求之,实现形与数的和谐统一(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图像交点联系起来,缺乏转化与化归、数形结合的意识变式训练1 已知函数f(x)x3x26xa.(1)对任意xR,f(x)m恒成立,求m的最大值;(2)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围解:(1)(2)a或a0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值;(3)若f(x)0,f(x)0,故f(x)在(0,)上是单调递增函数(2)由(1)可知,f(x).若a1,则xa0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为增函数,f(x)minf(1)a,a(舍去)若ae,则xa0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为减函数,f(x)minf(e)1,a(舍去)若ea1,令f(x)0得xa,当1xa时,f(x)0,f(x)在(1,a)上为减函数;当ax0,f(x)在(a,e)上为增函数,f(x)minf(a)ln(a)1,a.综上所述,a.(3)f(x)x2,ln x0,axln xx3.令g(x)xln xx3,h(x)g(x)1ln x3x2,h(x)6x.x(1,)时,h(x)0,h(x)在(1,)上是减函数h(x)h(1)20,即g(x)0,g(x)在(1,)上也是减函数g(x)g(1)1,当a1时,f(x)x2在(1,)上恒成立探究提高(1)求函数的单调区间,直接求导,然后解不等式即可,注意函数的定义域(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等,求解时注意分类讨论思想的运用变式训练2 设f(x)xln x,g(x)x3x23.(1)当a2时,求曲线yf(x)在x1处的切线方程;(2)如果存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M;(3)如果对任意的s,t都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围解(1)当a2时,f(x)xln x,f(x)ln x1,f(1)2,f(1)1,故y2(x1)所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为xy30.(2)存在x1,x20,2,使得g(x1)g(x2)M成立,等价于:g(x1)g(x2)maxM,g(x)x3x23,g(x)3x22x3x,x02g(x)0g(x)3递减极(最)小值递增1由上表可知:g(x)ming,g(x)maxg(2)1,g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min,所以满足条件的最大整数M4.(3)对任意的s,t,都有f(s)g(t)成立等价于:在区间上,函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,由(2)知,在区间上,g(x)的最大值为g(2)1.f(x)min1.又f(1)a,a1.下面证当a1时,在区间上,函数f(x)1成立当a1且x时,f(x)xln xxln x,记h(x)xln x,h(x)ln x1,h(1)0,当x时,h(x)ln x10,所以函数h(x)xln x在区间上递减,在区间(1,2上递增,h(x)minh(1)1,即h(x)1,所以当a1且x时,f(x)1成立,即对任意s,t都有f(s)g(t)题型三利用导数研究生活中的优化问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x) (0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值解(1)设隔热层厚度为x cm,由题设,每年能源消耗费用为C(x).再由C(0)8,得k40,因此C(x).又建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6,令f(x)0,即6.解得x5,x(舍去)当0x5时,f(x)0,当5x0,故x5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元变式训练3 (2011福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y10(x6)2,其中3x6,a为常数已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大解:(1)a2(2)x4
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