资源描述
椭圆的定义和标准方程一、教学内容分析 本课选自普通高中课程标准实验教科书(选修2-1)数学(北师大版),第三章第一节。本节教材的主要内容是使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用,使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程;掌握椭圆的定义,标准方程的推导过程及步骤,标准方程中a、b、c的代数意义,标准方程及其轨迹。本节对椭圆的定义及其轨迹的研究,使学生在学习了圆及其方程后,又一次探究了定义的本质,通过探究使学生从感性认识上升到了理性认识,形成了对椭圆定义的深刻理解,培养了学生研究轨迹的能力,从而进一步让学生体验“用方程研究曲线”这一基本思想,体现了数学的美,也符合认知的渐进原则。二、学生学习情况分析 我校是普通高级中学,有很好的多媒体设备,但是学生数学基础比较薄弱,所以在这节课之前,我带领了学生进行了对圆及其轨迹方程的复习,尤其是推导过程,使学生有很想研究其他曲线的欲望。三、设计思想 为了让学生“学会”知识,而且“会学”知识,并体现新课程的理念,首先为了激发学生的学习积极性,我做了很好的情景创设;其次围绕教材的重难点(椭圆概念的形成、标准方程及其推导),设置活动环节,设置由浅入深环环相扣的问题,在教学中我适时的引导和学生间、师生间的互动,让学生经历了分析、发现、探究及反思的过程,使学生真正成为学习的主人并提高获取知识的能力,尝试合作的乐趣,体验成功的喜悦。四、教学目标 1.使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和实际问题的作用。 2.掌握椭圆的定义,标准方程的推导及步骤,标准方程中a、b、c的代数和几何意义,标准方程及其轨迹。 3.掌握直接法求曲线方程,培养学生数形结合的数学思想,提高分析问题的能力。 4.营造亲切、和谐的氛围,以“趣”激学,引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题,培养学生的创新意识,体会数学的简洁美、和谐美,培养合作学习的意识,体会成功带来的喜悦,发现数学的应用意识,体会数学的应用价值。五、教学的重点和难点教学重点:椭圆的定义和标准方程的推导,学生的自主建立坐标系以及方程中a、b、c的理解教学难点:椭圆概念的形成,六、教 具:多媒体、实物投影仪 七、教学过程:(一)情境引入(借助多媒体)以图片展示开始引入,让学生有一个对椭圆的感官认识,并知道在现实生活中随处可以见到椭圆。情境预设:学生对图片感兴趣,通过老师的引导,激发学生对椭圆的探究的热情。(二)探求新知.1.抛出问题:“如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢?”,让学生探讨后,给出椭圆的画法。情境预设:学生画椭圆的方法可能都比较含混,不够精确,比如把圆压扁的思想方法描绘等。2.老师用一根绳子,把它的两端固定在画板的F1和F2处,要求绳长大于两点的距离,用铅笔把绳子拉紧,使笔尖在画板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆。设计意图:知道椭圆的画法,并从画法中感受绳长和两定点间距离的关系,知道绳长大于两定点间的距离.这么做主要是为了让学生更深的理解椭圆的定义中,“动点M到两定点F1 F2的距离和是一定值”,为学生得出椭圆的定义打下了基础。3.椭圆的定义画出椭圆后,让学生试着描述椭圆的定义,最后让学生读课本,得出椭圆的规范定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 设计意图:一方面是培养学生的分析归纳能力,一方面是出于对学生的数学基础较弱的考虑。老师对定义进行分析并强调三点:“在平面内”;动点到两定点间的距离和是一个定值(设为2a);两定点间的距离(设为2c)小于2a.4.椭圆的方程复习用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点的坐标;(2)写出适合条件 P(M) ;(3)用坐标表示条件P(M),列出方程 ; (4)化方程为最简形式;(5)证明已化简后的方程为所求方程(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)引入求椭圆的方程的推导。设置问题:怎么叫“建立适当的坐标系”呢?研究建立坐标系的问题,从而得出建立坐标系的一般原则:情境预设:将坐标系建在椭圆上不同的位置,让学生观察,并写出端点坐标,在这个过程中,学生会发现和想起建系的规律。尽可能使方程的形式简单、运算简单;利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.得出坐标系后,设出动点和两定点的坐标,根据定义“动点到两定点的距离的和等于定值(即),列出方程并化简,从而得出椭圆的方程:(强调,焦点坐标为,焦点在轴,中心在坐标原点)如图示:0F1F2M提出问题:根据建系原则,是否还有其他的坐标系呢?情境预设:学生根据建系原则,仔细思考,会发现将焦点放在y轴上。再调换坐标轴得出焦点在y轴上的椭圆方程。根据图形及方程分析方程中的a、b、c的几何和代数意义,让学生更深入的体会椭圆方程中的a、b、c,从而理解椭圆方程。下来例题中设计相关对椭圆方程的认识的例子,比如对a0,b0,c0的考察,焦点位置的判断,ab的应用问题等。例1.判断下列哪些是椭圆方程?若是,则判断焦点在那个坐标轴?并指出a2、b2和焦点坐标 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程 ,焦点在轴上; 焦点为,且; 两个焦点分别为,且过点; 经过点和. 例3已知方程表示焦点在轴上得椭圆,求的取值范围。八、小结概括提出问题:本节课你都学习了哪些内容?预设情境: 学生回答: 如何画椭圆、椭圆的定义、椭圆的标准方程老师进行总结:定义平面内与两定点F1、F2距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。标准方程图形xF1MoyA OxyMF1F2AB焦点坐标,之间的关系的几何意义如上图中的:,提出问题:除了知识方面的以外,还有哪些思想方法是我们必须掌握的?预设情境:学生回答:数形结合法;观察归纳法。 老师补充:类比的方法。最后老师总结:今天学习的内容不是很多,但是我们从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘,如果我们做生活的有心人,就会发现数学与生活是密切联系的。九、作业布置课本68页习题31,第1、4题;十、板书设计椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆方程的应用4. 小结椭圆标准方程的推导例题十一、教学反思 在教学设计中,应注意充分调动学生的已有知识,引导学生把新旧知识进行整合,掌握知识的系统结构。为了突破本节的难点椭圆概念的形成,在教学设计中我设计了一个活动,让学生亲手感受画出椭圆的过程,并培养学习的信心。为了突出重点我设计了另一个活动是计算机辅助在建系的教学,让学生能够更深刻的体会到建立合适的坐标系的必要性,通过变换坐标系,使学生逐步理解和掌握求曲线方程的步骤,强化学生求曲线方程的基本功。总之,在以“学生为核心”的理念引导下,我要在每个阶段的教学中都精心设计问题情境,为学生自主探究和发现创设条件,为学生的实践能力和创新能力,构造一个探索性的学习空间。
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