2018-2019学年高中物理 第五章 曲线运动 第7节 生活中的圆周运动学案 新人教版必修2.docx

第7节生活中的圆周运动核心素养关键词知识体系1.火车转弯处，外轨略高于内轨，使得火车所受支持力和重力的合力提供向心力.当火车以合适的速率通过弯道时，可以避免火车轮缘对内、外轨的挤压磨损.2.汽车过拱形桥时，在凸形桥的桥顶上，汽车对桥的压力小于汽车重力，汽车在桥顶的安全行驶速度小于；汽车在凹形桥的最低点处，汽车对桥的压力大于汽车的重力.3.绕地球做匀速圆周运动的航天器中，宇航员具有指向地心的向心加速度，处于完全失重状态.4.做圆周运动的物体，当合外力突然消失或不足以提供向心力时，物体将做离心运动；当合外力突然大于所需向心力时，物体将做近心运动.一、铁路的弯道火车转弯时做圆周运动，转弯处外轨高于内轨，重力和支持力的合力提供向心力.二、拱形桥1.汽车过拱形桥时做圆周运动，重力和桥面支持力的合力提供向心力.2.汽车运动到拱形桥的最高点时处于失重状态，运动到凹形桥的最低点时处于超重状态.三、航天器中的失重现象1.航天器中的物体随航天器一起做匀速圆周运动，自身重力和航天器的支持力的合力提供向心力.2.当支持力等于零时，物体处于完全失重状态.四、离心运动1.定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供做圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动.2.本质：离心现象是物体惯性的表现.一、合作探究找规律考点一车辆转弯问题火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：1.火车转弯处的铁轨有什么特点？2.火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？答：1.火车转弯处，外轨高于内轨.2.火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力.考点二汽车过桥问题如图所示，过山车的质量为m，轨道半径为r，过山车经过轨道最高点时的速度为v.1.过山车能通过轨道最高点的临界速度是多少？2.当过山车通过轨道最高点的速度大于临界速度时，过山车对轨道的压力怎样计算？答：1.临界条件为mg，故临界速度v.2.根据FNmg，可得FNmg.考点三圆周运动中的失重及离心现象链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出.汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面.1.链球飞出、汽车滑出路面的原因是因为受到了离心力吗？2.物体做离心运动的条件是什么？答：1.链球飞出、汽车滑出路面的原因是物体惯性的表现，不是因为受到了什么离心力，离心力是不存在的.2.物体做离心运动的条件是：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力.二、理解概念做判断1.做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动.()2.摩托车转弯时，如果超过一定速度，摩托车将发生滑动，这是因为摩托车收到沿半径方向向外的离心力作用.()3.汽车过拱桥时，汽车对桥面的压力可以大于自身重力，也可以小于自身重力.()4.火车转弯时，具有速度的限制.()5.汽车过凸形桥或者凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的.()6.做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动.()要点1|车辆转弯问题分析1.火车车轮的结构特点火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹(如图所示).2.火车转弯时的受力分析在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，若行驶速度合适，转弯时所需的向心力可仅由重力和支持力的合力提供.(1)推证：设车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为R，火车的质量为M，保证无侧向压力时的行驶速度为v0.根据直角三角形边角关系知，sin，由火车的受力情况：tan因为角很小，可近似取sintan，即，所以向心力F合Mg.又因为F合M，所以车速v0 .由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，故火车在该处转弯时满足上述条件的车速v0应是一个定值.(2)结论：当火车行驶速率vv0时，火车对内外轨均无侧向压力.当火车行驶速率vv0时，外轨道对轮缘有侧向压力.当火车行驶速率vv0时，内轨道对轮缘有侧向压力.典例1一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h10 cm，弯道半径为r625 m，轨道斜面长l1 435 mm，求这段弯道的设计速度v0是多大？并讨论当火车速度大于和小于v0时对内、外轨的侧压力.(g取10 m/s2)【思路点拨】当火车在倾斜轨道上转弯时，其临界速度为，tanh/l.当火车的速度大于临界速度时，火车对外轨有挤压力，如果小于临界速度，则火车对内轨有挤压力，对火车画出受力示意图，建立直角坐标系，把力统一成指向圆心方向的和背离圆心方向的，根据圆周运动的向心力方程求解.【解析】当火车以设计速度v0运行时，其受力如图所示，其中G与FN的合力Fmgtan提供火车转弯时的向心力，又Fm，所以mgtanm.当很小时，取sintan，代入上式有v0 m/s20.87 m/s75 km/h.讨论：当vv0时，外轨对外轮边缘产生沿路面向内的弹力(侧压力)，此时火车受力如图所示，设火车的质量为m，根据牛顿第二定律有FNsinF外cosm，FNcosF外sinmg.联立上述两式解得：F外mcosmgsin.由此看出，火车的速度v越大，F外越大，铁轨越容易损坏，若F外过大，会造成铁轨的侧向移动，损坏铁轨，造成火车出轨.当vv0时，内轨对内轮边缘产生沿路面向外的侧压力.同理有FNsinF内cosm，FNcosF内sinmg.联立解得F内mgsinmcos.可以看出，v越小，F内越大，内轨的磨损也越大，因此在有弯道限速标志的地方一定要遵守规定.【答案】见解析山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严重倾斜.每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激.假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为R，重力加速度为g，列车转弯过程中倾角(车身与水平面夹角)为，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度(轨道不受侧向挤压)为()ABCD解析：列车在这样的轨道上转弯安全行驶，此时列车受到的支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtanm解得：v故选C答案：C处理火车转弯问题的步骤：(1)正确地受力分析；(2)把各力正交分解求解向心力；(3)根据物体做圆周运动的平面及圆心确定半径；(4)利用牛顿第二定律列方程求解.名师点易错汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮受到地面施加的侧向挤压作用.要点2|拱形桥、凹形桥问题分析1.汽车过拱桥时(1)向心力分析：汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力mg及桥对其支持力FN的合力提供向心力，如图所示.(2)动力学关系：mgFNm，所以FNmg.(3)结论：汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力.(4)速度对压力的影响：汽车的速度不断增大时，由上面表达式FNmg可以看出，v越大，FN越小.当FN0时，由mgm可得v.当速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面.我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因.2.汽车过凹桥时(1)向心力分析：如图所示，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.(2)动力学关系：FNmgm，所以FNmgm.(3)结论：由牛顿第三定律知，车对桥的压力FNmgm，大于车的重力.(4)速度对压力的影响：由FNmgm可以看出，v越大，车对桥的压力越大.典例2如图所示，质量m2.0104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m.如果桥面承受的压力不得超过 3.0105 N，则：(1)汽车允许的最大速度是多少？(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)【思路点拨】汽车在图示最低点时：支持力减去重力提供向心力，而在最高点时：重力减去支持力提供向心力.【解析】(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：FNmgm代入数据解得v10 m/s.(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：mgFN代入数据解得FN105 N由牛顿第三定律知最小压力为105 N.【答案】(1)10 m/s(2)105 N变式训练21如图所示，质量为m的小汽车驶上半径为R的拱桥的过程，说法正确的是()A若汽车到桥顶的压力为，汽车的速度大小为B若拱桥的半径一定，汽车行驶到桥顶的速度越大越安全C在汽车到桥顶的速度相同的情况下，拱桥的半径越大，汽车越安全D若拱桥的半径增大到与地球半径相同，汽车速度多大都不可能腾空飞起来解析：汽车的压力为时，汽车所受合力为，根据合力提供向心力有m，汽车的速度：v，故A错误；当汽车在桥顶的速度大于，汽车将做离心运动而离开地面发生危险，故汽车在桥顶的速度不是越大越安全，故B错误；汽车离开桥顶做离心运动的临界条件是速度大于，可知半径越大时，临界速度越大，故汽车在行驶速度相同的情况下，半径越大汽车离临界速度越远，汽车行驶越安全，故C正确；汽车做离心运动离开桥顶时的临界速度为，汽车要离开桥面腾空，则速度必达到这里的R为地球的半径，故D错误，所以C正确，A、B错误.答案：C(1)汽车过拱桥时一般做变速圆周运动，受力较复杂，但汽车在桥的最高端或最低端时，竖直方向上的合力提供向心力，利用F合可在受力分析的基础上求速度，也可在已知过桥速度时，根据受力分析求某个力.(2)汽车过凸形桥，当v时，车对桥的压力为零；当0v时，0Fmg；当v时，车将脱离桥面.名师点易错上述两种拱形桥问题中支持力的方向均为竖直向上的，依据圆心位置的差异而出现了大于重力或小于重力的现象.分析时先要找到圆心的位置，再分析.要点3|圆周运动中的失重现象1.航天器中完全失重的原因绕地球做匀速圆周运动的航天器，其中的物体做圆周运动所需的向心力由物体所受重力提供，因此航天器中的物体处于完全失重状态，即航天器对航天员及舱内物体的支持力为零.物体在航天器中处于失重状态，并不是说物体不受重力，只是重力提供了做圆周运动所需的向心力，而支持力为零.2.在绕地球做匀速圆周运动的航天器中，涉及重力的一切现象不再发生.例如：无法用弹簧秤测物体所受的重力；无法用天平测物体的质量等等.典例3在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象()荡秋千经过最低点的小孩汽车过凸形桥汽车过凹形桥在绕地球做匀速圆周运动的飞船中的仪器ABCD【思路点拨】超重时加速度方向向上，失重时加速度方向向下；绕地球匀速圆周运动的卫星及里面的物体都是处于完全失重状态.【解析】物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力(或支持力)的作用，物体运动至最高点时向心加速度向下，则mgFNm，有FNmg，物体处于失重状态，若mgm，则FN0，物体处于完全失重状态.物体运动至最低点时，向心加速度向上，则FNmgm，有FNmg，物体处于超重状态.由以上分析知将出现超重现象.【答案】B变式训练31我国已成功发射了载人航天飞船，飞船中的宇航员需要在航天之前进行多种训练.如图所示是离心试验器的原理图.可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力.离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30角，被测者所受座位的压力是他所受重力的多少倍？解析：被测者做匀速圆周运动所需要的向心力由他所受重力和座位对他的支持力的合力提供，如图所示：在竖直方向受力平衡，FNsin30mg，在水平方向，由牛顿第二定律得FNcos30mr2，由式可得FN2mg.即被测试者所受座位的压力是其重力的2倍.答案：2倍在圆周运动中分析超、失重现象时，要抓住加速度方向这个关键，若物体的加速度向上，则物体处于超重状态；若物体的加速度向下，则物体处于失重状态；若物体向下的加速度恰为g，则物体处于完全失重状态(此时依靠重力工作的仪器不能使用).名师点易错物体在航天器中处于完全失重状态，并不是说物体不受重力，只是重力全部用于提供物体做圆周运动所需的向心力，使得支持力为0.要点4|离心运动1.物体做离心运动的条件做圆周运动的物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够大的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动.2.合外力与向心力的关系(如图)(1)若F合mr2或F合，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”.(2)若F合mr2或F合，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”.(3)若F合mr2或F合，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”.(4)若F合0，则物体做直线运动.3.常见的几种离心运动项目实验图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟衣物的附着力F不足以提供向心力时，即Fm2r，水滴做离心运动而离开衣物汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmaxm，汽车做离心运动用离心机把体温计的水银甩入玻璃泡中当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动，进入玻璃泡内典例4有一种叫做“魔盘”的娱乐设施，如图所示.当“魔盘”转动得很慢时，盘上的人都可以随“魔盘”一起转动而不至于被甩开.当“魔盘”的转速增大时，盘上的人逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处(盘半径大于1 m)随“魔盘”一起转动(没有滑动).问：(1)小孩需要的向心力是由什么提供的？这个向心力是多少？(2)假设人与“魔盘”间的动摩擦因数0.2，要使离轴心1 m处的小孩不发生滑动，求“魔盘”转动的最大角速度(取人与“魔盘”间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力).【思路点拨】人随“魔盘”转动时需要的向心力Fm2r，人离转动中心越远F越大.当F大于最大静摩擦力时，人就被甩出去，所以离中心越远越容易被甩出.【解析】(1)小孩随“魔盘”一起做圆周运动时，小孩受到重力、支持力和静摩擦力作用，小孩做圆周运动所需的向心力是由小孩与“魔盘”之间的静摩擦力提供的.“魔盘”转动时的角速度为0.2 rad/s，由牛顿第二定律可得Fmr211.8 N.(2)小孩受到的最大静摩擦力为Fmaxmg由牛顿第二定律可得Fmaxmr由可得max1.4rad/s.【答案】(1)静摩擦力11.8 N(2)1.4 rad/s变式训练41如图所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为的赛道上做匀速圆周运动.已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用B运动员受到的合力为m，是一个恒力C若运动员加速，则可能沿斜面上滑D若运动员减速，则一定加速沿斜面下滑解析：向心力是按照效果命名的力，进行受力分析时，不能分析向心力，将运动员和自行车看作一个整体，受到重力、支持力、摩擦力作用，A选项错误；运动员骑自行车在倾斜赛道上做匀速圆周运动，合力提供向心力，大小为m，方向指向圆心，时刻在改变，B选项错误；若运动员加速，有离心的趋势，可能沿斜面上滑，C选项正确；若运动员减速，有近心运动的趋势，可能沿斜面下滑或有向下运动的趋势，D选项错误.答案：C离心现象是由于外界所能提供的合力F供小于物体做圆周运动所需的向心力F需m而造成的，即离心现象产生的条件是F供F需.名师点易错离心力和向心力都是根据作用效果命名的力，不是物体实际受到的力，受力分析时不要凭空添加力.对点训练一车辆转弯问题1.火车通过弯道时，为了保证安全，要求火车在按规定速度v行驶时，内外侧轨道均不向车施加侧向力()A当火车以速度v通过此弯处时，所受到的铁轨对火车的支持力充当了转弯的向心力B当火车以速度v通过此弯道，受到重力、铁轨的支持力和转弯的向心力作用C当火车以大于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨D当火车以大于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压内轨解析：火车在按规定速度行驶时内外轨道均不向车轮施加侧向压力，受重力和支持力，合力提供向心力，A错误，B错误；当火车以大于v的速度通过此转弯处时，有离心趋势，挤压外轨，即车轮轮缘会挤压外轨，C正确，D错误.故选C答案：C对点训练二汽车过桥问题2.如图所示，汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧下拴一个质量为m的小球，当汽车在水平路面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以同一速度通过一个凸形桥的最高点时弹簧长度为L2，下列关系中正确的是()AL1L2BL1L2CL1L2D前三种情况均有可能解析：小球与汽车一起做圆周运动，小球的向心力由小球所受力的合力提供.因此，小球的重力应大于弹簧对小球的拉力.即由题意知k(L1L0)mg，k(L2L0)mg，由此可得L1L2，故选B答案：B对点训练三圆周运动中的失重现象3.(2018密云模拟)应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入.例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动.关于苹果从最高点c到最右侧点d运动的过程，下列说法中正确的是()A手掌对苹果的摩擦力越来越大B苹果先处于超重状态后处于失重状态C手掌对苹果的支持力越来越小D苹果所受的合外力越来越大解析：苹果做匀速圆周运动，从c到d的过程中，加速度始终指向圆心，大小不变，在水平方向上的分加速度逐渐增大，根据牛顿第二定律知，摩擦力越来越大，A选项正确；从c到d的过程中，竖直方向的加速度向下，故苹果处于失重状态，B选项错误；从c到d的过程中，竖直向下的加速度逐渐减小，即重力和支持力的合力逐渐减小，支持力越来越大，C选项错误；苹果做匀速圆周运动，合外力大小不变，D选项错误.答案：A对点训练四离心运动4.如图一辆质量为500 kg的汽车静止在一座半径为50 m的圆弧形拱桥顶部.(取g10 m/s2)(1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？(2)如果汽车以6 m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？(3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？解析：(1)汽车静止于拱桥顶部，重力和支持力二力平衡，mgF5 000 N，根据牛顿第三定律可知，汽车对圆弧形拱桥的压力是5 000 N.(2)汽车以6 m/s的速度经过拱桥的顶部时，重力和支持力的合力提供向心力，mgFm，代入数据解得F4 640 N，根据牛顿第三定律得汽车对拱桥的压力为4 640 N.(3)汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零时，重力提供向心力，mgm，解得v10 m/s.答案：(1)5 000 N(2)4 640 N(3)10 m/s【强化基础】1.如图所示，质量相等的A、B两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是()A它们所受的摩擦力fAfBB它们的线速度vAvBC它们的运动周期TARB，故fAfB，故A正确；由vr，AB，RARB，可知vAvB，故B错误；根据T，AB，可知TATB，C错误；由于A、B在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相等，故D错误.答案：A2.(多选)(2018赣州期中)洗衣机的脱水筒采用电机带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是()A在人看来水会从桶中甩出是因为水滴受到离心力很大的缘故B脱水过程中，大部分衣物紧贴筒壁C加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好D靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好解析：水滴不会受到离心力作用，水会从桶中甩出是因为水滴受到合外力不足以提供向心力，A选项错误；脱水过程中，大部分衣物做离心运动而紧贴筒壁，B选项正确；根据向心力公式可知，Fm2R，增大会使向心力F增大，衣服中的水容易发生离心运动，会使更多水滴被甩出去，脱水效果更好，C选项正确；Fm2R，半径越大，需要的向心力越大，所以靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好，D选项正确.答案：BCD3.(2018温州模拟)下列对教材中的四幅图分析正确的是()A图甲：被推出的冰壶能继续前进，是因为一直受到手的推力作用B图乙：电梯在加速上升时，电梯里的人处于失重状态C图丙：汽车过凹形桥最低点时，速度越大，对桥面的压力越大D图丁：汽车在水平路面转弯时，受到重力、支持力、摩擦力、向心力四个力的作用解析：被推出的冰壶由于惯性，能继续前进，并不是受到手的推力作用，A选项错误；电梯在加速上升时，加速度向上，电梯里的人处于超重状态，B选项错误；汽车过凹形桥最低点时，向心加速度向上，支持力与重力的合力提供向心力，速度越大，需要的向心力越大，支持力越大，汽车对桥面的压力越大，C选项正确；汽车在水平路面转弯时，受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，合力提供向心力，D选项错误.答案：C4.(多选)如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是()A小球能够通过最高点时的最小速度为0B小球能够通过最高点时的最小速度为C如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁有作用力D如果小球在最低点时的速度大小为，则小球对管道的作用力为5mg解析：圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，故A正确，B错误；设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下.由牛顿第二定律得mgFm，v2，代入解得F3mg0，方向竖直向下，根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力，故C正确；在最低点时重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：Nmgm，v，解得：Nmgmmgm6mg；根据牛顿第三定律，球对管道的外壁的作用力为6mg，故D错误.故选AC答案：AC5.如图所示，长度均为l1 m的两根轻绳，一端共同系住质量为m0.5 kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为l.重力加速度g10 m/s2.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为()A5 N B N C15 N D10 N解析：小球在最高点速率为v时，重力提供向心力，mgm，当小球在最高点的速率为2v时，重力和绳的拉力提供向心力，mg2FTcos30m，联立解得FT5 N，A选项正确.答案：A【巩固易错】6.(多选)(2018银川市兴宁区期中)如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是()AF突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动BF突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动CF突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动DF突然变大，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心解析：根据圆周运动规律可知，当向心力突然消失或变小时，物体会做离心运动，当向心力突然变大时，物体做向心运动，向心力F突然消失，小球将沿轨迹Pa做匀速直线运动，A选项正确；向心力F突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动，B选项错误；向心力F突然变大，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心，做向心运动，C选项错误，D选项正确.答案：AD7.(2018蚌埠市期中)飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直平面内以速度v做半径为r的匀速圆周运动，在轨道的最高点和最低点时，飞行员对座椅的压力()A是相等的 B相差mC相差2mD相差2mg解析：飞行员在最高点时，根据牛顿第二定律结合向心力公式得mgFN1m.在最低点，FN2mgm，联立解得FN2FN12mg，D选项正确.答案：D【能力提升】8.如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为 “魔力陀螺”.它可等效为图乙所示模型；竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点.质点受轨道的磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.(1)若质点在A点的速度为，求质点在该点对轨道的弹力；(2)若磁性引力大小F可变，质点以速度2恰好通过B点，求F的最小值.解析： (1)设轨道在A点对质点向上的弹力大小为FNFmgFNm代入数据，得：FNF由牛顿第三定律得：质点在A点对轨道弹力大小为F，方向竖直向下.(2)质点在B点时有FBmgFNm当FN0时，恰好通过B点故FB5mg. 答案： (1)F方向竖直向下(2)5mg9.铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：(取g10 m/s2)弯道半径r/m660330220165132110内外轨道高度差h/mm50100150200250300(1)据表中数据，导出h和r关系的表达式，并求出r440 m时h的值；(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L1 435 mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速度v.(以km/h为单位，结果取整数.设轨道倾角很小时，正切值按正弦值处理)解析：(1)由表中数据可知，每组的h与r之积为常数，hr66050103m233 m2.当r440 m时，h75 mm.(2)内、外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示，则mgtanm，很小，则有tansin所以v m/s15 m/s54 km/h.答案：(1)hr33 m275 mm (2)54 km/h专题圆周运动中的临界问题要点1|水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题.1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fmm，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.2.与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳子拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.典例1如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆心的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动？【解析】由于A在转盘上随转盘做匀速圆周运动，所以它所受的合力必然指向圆心.对物体A进行受力分析可知，重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，因此A所受的摩擦力方向一定沿着半径方向，或指向圆心，或背离圆心.具体而言，当较小时，A有向圆心O运动的趋势，故转盘对A的摩擦力方向背离圆心；当较大时，A有远离圆心O运动的趋势，故转盘对A的摩擦力方向指向圆心.当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即FFmmr，由于B静止，则有Fmg又因为FmFNmg由式可得：1 .当A将要沿转盘指向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为FFmmr由式可得：2 .故要使A随转盘一起转动，其角速度的范围为21，即 .【答案】变式训练11(2018湖北期中)如图所示，两根轻绳同系一个质量m0.14 kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L2.00 m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为37和53，小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度g取10 m/s2，已知sin370.60，cos370.80.求：(1)若要两绳均处于拉直状态，小球的角速度1至少为多少？(2)当小球的角速度为24.00 rad/s时，两轻绳拉力各为多少？解析：(1)分析可知，小球绕轴做匀速圆周运动，AC绳一定有拉力，当角速度较小时，BC绳拉直但无拉力，重力和AC绳拉力的合力提供向心力.根据牛顿第二定律，mgtan37mLsin37解得12.5 rad/s.(2)当角速度较大时，AC绳没有拉力，当AC绳拉直但没有力时，小球受到的重力和BC绳拉力的合力提供向心力.根据牛顿第二定律，mgtan53mLsin37解得0 rad/s分析可知，当2.5 rad/s rad/s时两绳均张紧当24 rad/s时，AC绳无拉力此时BC绳与杆的夹角53竖直方向上，T2cosmg水平方向上，T2sinmBCsin根据几何关系可知，ACsin37BCsin53联立解得T23.36 N，T10.答案：(1)2.5 rad/s(2)03.36 N(1)典例中要注意分析物体A所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化.(2)典例中的临界条件是物体A所受静摩擦力达到了最大静摩擦力，此时对应的角速度也达到了临界值.名师点易错静摩擦力的方向是与物体相对运动趋势方向相反，在圆周运动中要分清物体相对运动趋势方向.要点2|竖直面内圆周运动的临界问题1.轻绳模型如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，即mg，则v.在最高点时：(1)v，拉力或压力为零.(2)v时，物体受向下的拉力或压力.(3)v时，物体不能达到最高点.即绳类的临界速度为v临.2.轻杆模型如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：(1)v0时，小球受向上的支持力FNmg.(2)0v时，小球受向上的支持力0FNmg.(3)v时，小球除受重力之外不受其他力.(4)v时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大.即杆类的临界速度为v临0.典例2一根长L60 cm的绳子系着一个小球，小球在竖直平面内做圆周运动.已知球的质量m0.5 kg，求：(1)试确定到达最高点时向心力的最小值；(2)小球能够到达最高点继续做圆周运动的最小速度；(3)当小球在最高点时的速度为3 m/s时，绳对小球的拉力.(g10 m/s2)【解析】(1)小球通过最高点的临界条件是重力提供向心力，故向心力的最小值为mg5 N.(2)小球通过最高点的最小速度为vmin，mgm，解得vmin m/s.(3)当小球在最高点时的速度为3 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，mgFm，代入数据解得F2.5 N.【答案】(1)5 N(2) m/s(3)2.5 N变式训练21如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：(1)要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？(2)若盒子以第(1)问中周期的做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？解析：(1)设此时盒子的运动周期为T0，因为在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用.根据牛顿运动定律得mgm，又v，得T02.(2)设此时盒子的运动周期为T，则此时小球的向心加速度aR，由第(1)问知gR，且T，由以上三式得a4g，设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为FN，根据牛顿运动定律知在水平方向上有Fma4mg，在竖直方向上有FNmg0，即FNmg，F为正值，FN为负值，所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg.答案：(1)2(2)右侧面，4mg下侧面，mg解答竖直平面内圆周运动临界问题时应注意以下几点：(1)要明确运动的模型，即绳或杆.(2)分析物体的受力情况，找到向心力来源.(3)会应用向心力公式列方程.列方程时以指向圆心为正方向，若未知的力求出为正，说明该力的方向与正方向一致，若求出为负，说明该力方向与正方向相反.名师点易错杆提供的不一定为支持力，也可以为拉力.对点训练一水平面内圆周运动问题1.(多选)如图所示，一个质量为m的小球用一根长为l的细绳吊在天花板上，给小球一水平初速度，使它在水平内做匀速圆周运动，此时细绳与竖直方向的夹角为、重力加速度为g.下列说法正确的是()A细绳对小球的拉力大小为B细绳对小球的拉力大小为mgtanC小球做圆周运动的线速度大小为D小球做圆周运动的线速度大小为解析：小球受重力和拉力两个力作用，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则知，细绳对小球的拉力T，故A正确，B错误；根据牛顿第二定律得，mgtanm，解得v，故C正确，D错误.故选AC答案：AC2.(2018四川省高三二模)如图所示，天花板上有一可自由转动光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球.两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等.则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为()ABCD解析：一根绳子的张力F是相等的，对于A球，Fsin1m1l1sin1，对于B球，Fsin2m2l2sin2，联立可知，m1l1m2l2，即，D选项正确.答案：D对点训练二竖直面内圆周运动问题3.(多选)一杂技演员骑摩托车沿一竖直圆形轨道做特技表演，如图所示.A、C两点分别是轨道的最低点和最高点，B、D分别为两侧间的端点，若运动中的速率保持不变，人与车的总质量为m，设演员在轨道内逆时针运动.下列说法正确的是()A人和车的向心加速度大小不变B摩托车通过最低点A时，轨道受到的压力不可能等于mgC由D点到A点的过程中，人受重力、支持力、摩擦力、向心力4个力的作用D摩托车通过B、D两点时，轨道受到的压力相同解析：据题知，人和车做匀速圆周运动，速率不变，由公式a知，向心加速度大小不变，故A正确；摩托车通过最低点A时，重力和支持力的合力提供向心力，有：Nmgm，得Nmgm，故轨道的支持力一定大于重力mg，根据牛顿第三定律，轨道受到的压力大于mg，故B正确；由D点到A点的过程中，人受重力、支持力、摩擦力3个力的作用，故C错误；摩托车通过B、D两点时，轨道受到的压力均为Nm，但是压力的方向不同，故D错误.故选AB答案：AB【强化基础】1.(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时(设三物体都没有滑动)()AC物体的向心加速度最大BB物体所受的静摩擦力最小C当圆台转速增加时，C比A先滑动D当圆台转速增加时，B比A先滑动解析：根据公式a2r可知C物体的向心加速度最大.向心力由摩擦力提供，则有fFm2r，可知物体B受到的摩擦力最小.当静摩擦力最大时，物体相对圆台恰好不滑动，则有mgm2r，即，由于C的离轴距离最大，当转速增大时，C先滑动.答案：ABC2. (2018新余市高三模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B小球过最高点的最小速度是C小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：小球通过最高点时，重力提供向心力，杆的弹力可以等于零，mgm，A选项正确；当弹力与重力等大反向时，解得过最高点的最小速度为0，B选项错误；mgFm，当0v时，杆对球的作用力随速度增大而减小，当v时，杆对球的作用力随速度增大而增大，C、D选项错误.答案：A3.如图所示，小球固定在轻杆一端绕圆心O在竖直面内做匀速圆周运动，下列关于小球在最高点以及与圆心O等高处的受力分析一定错误的是()解析：小球做匀速圆周运动，重力和弹力的合力提供向心力，小球运动到与圆心O等高处时，弹力方向应该斜向右上方，A选项错误，B选项正确；小球运动到最高点时，弹力可能竖直向上也可能竖直向下，C、D选项正确.答案：A4.(多选)(2018临沂三模)如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在光滑竖直杆上，轻质弹簧用光滑轻环套在杆上，细绳和弹簧的另一端固定在质量为m的小球上，开始时处于静止状态，现使该装置绕杆旋转且角速度缓慢增大，则下列说法正确的是()A轻绳上的弹力保持不变B轻绳上的弹力逐渐变大C弹簧上的弹力逐渐变大D弹簧上的弹力先变小后变大解析：设绳与水平方向的夹角为，分析小球的受力情况，如图所示：竖直方向合力为零，Tsinmg.随着角速度的增大，变小，绳上的拉力增大，A选项错误，B选项正确；水平方向的合力提供向心力，角速度较小时，弹簧处于压缩状态时，随着角速度增大时，向心力增大，弹力逐渐减小，弹簧恢复原长时，弹力变为零，当角速度继续增大，此时弹簧处于伸长状态，弹簧的弹力继续增大，C选项错误，D选项正确.答案：BD【巩固易错】5.(多选)在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3 m的正三棱柱abc，俯视如图所示.长度为L1 m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一质量为m0.5 kg、不计大小的小球.初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v02 m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上(不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失).已知细线所能承受的最大拉力为7 N，则下列说法中正确的是()A细线断裂之前，小球速度的大小保持不变B细线断裂之前，小球所受细线拉力为零C细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7 sD细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.1 m解析：细线断裂之前，绳子拉力与速度垂直，不改变小球的速度大小，故小球的速度大小保持不变.故A正确；细线断裂之前，小球所受细线拉力不为零，选项B错误；绳子刚断裂时，拉力大小为7 N，由Fm得，此时的半径为r m，由于小球每转120半径减小0.3 m，则知小球刚好转过一周，细线断裂，则小球运动的总时间为t，而r11 m，r20.7 m，r30.4 m，v02 m/s，解得：t0.7 s.故C正确；小球每转120半径减小0.3 m，细线断裂之前，小球运动的位移大小为1 m0.1 m0.9 m.故D错误.故选AC答案：AC6.(多选)如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FNv2图象如图乙所示.下列说法正确的是()A当地的重力加速度大小为B小球的质量为RCv2b时，杆对小球弹力方向向下D若c2b，则杆对小球弹力大小与重力大小相等解析：在最高点，若v0，则FNmga；若FN0，由图知：v2b，则有mgmm，解得g，mR，故B错误，A正确；由图可知：当v2b时，杆对小球弹力方向向上，当v2b时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若c2b.则Nmgmm，解得FNmg，即小球受到的弹力与重力大小相等，故D正确.故选AD答案：AD【能力提升】7.(2018池州期中)如图所示，轻杆长2l，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动，已知重力加速度取g.若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时O轴的受力大小和方向？解析：两球绕O轴做圆周运动，角速度相等，线速度相等.若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，A球受到的重力提供向心力.根据牛顿第二定律得mgm解得vB球受到的重力和杆的作用力提供向心力，F2mg2m联立解得F4mg此时杆对B球的拉力的大小为4mg，方向竖直向下.答案：4mg竖直向下8.(2018济南一模)如图所示，在水平面内有一平台可绕竖直的中心轴以角速度3.14 rad/s旋转.在平台内沿半径方向开两个沟槽，质量为0.01 kg的小球A放置在粗糙的沟槽内，球与沟槽的动摩擦因数为0.5；质量为0.04 kg的小球B放置在另一光滑的沟槽内.长度为1 m的细线绕过平台的中心轴，其两端与两球相连.设平台中心轴是半径可忽略的细轴，且光滑，球A始终相对圆盘保持静止.(g3.142 m/s2.最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：(1)球A到轴O的距离多大时，小球A恰好不受摩擦力？(2)球A到轴O的最大距离为多少？解析：(1)球A恰好不受摩擦力时，细线的拉力提供向心力，FTmA2rA研究球B的受力情况，FTmB2(LrA)联立解得rA0.8 m.(2)球A到轴O的距离最大时，向心力最大，即最大静摩擦力和细线拉力的合力提供向心力，FfFTmA2rA研究球B的受力情况，FTmB2(LrA)联立解得，rA0.9 m球A到轴O的最大距离为0.9 m.答案：(1)0.8 m(2)0.9 m