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第二章 推理与证明滚动训练二(2.12.2)一、选择题1用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”，即假设正确的是：假设a，b，c都不是偶数，故选B.2用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D是正确的考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案A解析任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0.故选A.3“已知实数x，y满足(x1)2(y1)21，求的最大值”时，可理解为在以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆上找一点，使它到原点距离最远问题，据此类比到空间，试分析：已知实数x，y，z满足(x1)2(y1)2(z1)21，求的最大值是()A.1 B.1 C.1 D.1考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析由题意，根据类比思想，(x1)2(y1)2(z1)21，球心(1,1,1)到原点的距离为，的最大值是球心(1,1,1)到原点的距离加上半径，即1，故选C.4有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是()A甲 B乙C丙 D丁考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面中的应用答案C解析若甲当选，则都说假话，不合题意若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁当选，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意故当选的同学是丙，故选C.5对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是()A各正三角形内的任一点B各正三角形的中心C各正三角形边上的任一点D各正三角形的某中线的中点考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案B解析正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心6设an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn也是等差数列，类比上述性质，设sn，tn是等比数列，则下列说法正确的是()A若rnsntn，则rn是等比数列B若rnsntn，则rn是等比数列C若rnsntn，则rn是等比数列D以上说法均不正确考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案B解析在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘故由“an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn是等差数列”，类比推理可得：“设sn，tn是等比数列，若rnsntn，则rn是等比数列”故选B.7观察下列数表规律：23671011 01 4589 12则数2 018的箭头方向是()A2 018 B2 018C 2 018D2 018考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案A解析因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2 018在上行，则2 0182(n1)4，得n505N.故2 018在上行，又因为在上行偶数的箭头为，故选A.8已知f(x)x3x，a，bR，且ab0，则f(a)f(b)的值一定()A大于零 B等于零C小于零 D正负都有可能考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用答案A解析f(x)x3x，f(x)是增函数且是奇函数ab0，ab，f(a)f(b)f(b)，f(a)f(b)0.二、填空题9在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21sin22sin289_.考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案44.5解析设Ssin21sin22sin289，则Ssin289sin288sin21，两式倒序相加，得2S (sin21sin289)(sin22sin288)(sin289sin21)(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)89，S44.5.10观察下列等式：132332,13233362,13233343102，.根据上述规律，第五个等式为_考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案132333435363212解析由所给等式可得，等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下，123,1236,123410，即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为132333435363(123456)2212.11已知点A(x1,)，B(x2,)是函数y3x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函数ytan x的图象上任意不同两点，则类似地有_成立考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案tan解析因为ytan x图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数ytan x图象上的点的纵坐标，即有0.又cos B，只需证a2c2b20.即证a2c2b2.又a2c22ac，只需证2acb2.由已知，即2acb(ac)，只需证b(ac)b2，即证acb成立，在ABC中，acb显然成立所以B为锐角综合法：由题意得，则b，b(ac)2acb2(因为acb)因为cos B0，又0B.所以0B2时，4.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明(1)要证2，只要证()2(2)2，只要证2a24a，只要证a.a24a2显然成立，a成立，0，b0，且ab，ab(ab)11224，ab4.
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