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专题13 两招破解平面向量难题一【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二【平面向量解题方法规律】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.（二）向量中的最值问题例2设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.练习1已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则对于任意的最小值为_.【答案】【解析】当且仅当， 时，取得最小值此时，取得最小值 练习2在边长为1的正ABC中，=x，=y，x0，y0且x+y=1，则的最大值为（）A B C D【答案】C【解析】，由此能求出当时，的最大值为（三）投影问题例3已知|=1，|=2，AOB=60，=+，+2=2，则在上的投影（）A既有最大值，又有最小值 B有最大值，没有最小值C有最小值，没有最大值 D既无最大值，双无最小值【答案】B【解析】根据题意得：在上的投影为代入得令得，代入得当时，原式有最大值，当时，式无最小值故选：练习1已知|=1，|=2，AOB=60，=+，+2=2，则在上的投影（）A既有最大值，又有最小值 B有最大值，没有最小值C有最小值，没有最大值 D既无最大值，双无最小值【答案】B【解析】运用向量投影的知识和减元可解决（四）向量的几何意义例4是所在平面内一点，则是点在内部（不含边界）的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要【答案】B【解析】若，点在内部，则，反之不成立，例如时，点为边的中点，是点在内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B. 练习2如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，则的最小值是 .【答案】考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义. 方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件得到，再把已知条件，代入得到，根据三点共线得，利用均值不等式得到，而，从而求得的最小值是.练习3在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，三点共线，则A B C D【答案】B【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.（七）坐标法解决向量问题例7如图，在矩形中， ， ，点为的中点，如果，那么的值是_【答案】9【解析】建立如图所示的直角坐标系，则,. 练习2如图，为的外心，为钝角，是边的中点，的值（ ） A 4 B.6 C7 D 5 【答案】D练习3是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定经过的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】B【解析】解出，计算并化简可得出结论【详解】（），即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过ABC的垂心故选：B练习4已知点O是锐角ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则的值为（）A B C D【答案】D【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出的值 即函数h（x）在（e1xe21）上为增函数，则，即4e-2a实数a的取值范围是故选：B练习2将向量列组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 ，那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列为等和向量列，若，则与向量一定是垂直的向量坐标是（ ）A B C D【答案】C【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查递推数列求每一下的方法，还考查了两个向量垂直的坐标表示.属于基础题.练习3已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意实数对（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M具有性，给出下列四个集合：M=（x，y）|y=x32x2+3； M=（x，y）|y=log2（2x）；M=（x，y）|y=22x； M=（x，y）|y=1sinx；其中具有性的集合的个数是（）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P（x2，y2），使OPOP作出函数图象，验证即可 【详解】|1，且，可设，即（x1）2+（y1）21的最大值故选：C 练习1的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.练习2已知在平面四边形中， ，,，点为边上的动点，则的最小值为A B C D【答案】C【解析】以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题
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