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第二章平面解析几何初步检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=4答案：D2已知点A(1,2),B(-2,3),C(4,t)在同一条直线上,则t的值为()A.B.C.1D.-1解析：因为点A,B,C共线,所以kAB=kBC,即3-2-2-1=t-34-(-2),解得t=1.答案：C3直线ax+2y-1=0与直线x+(a-1)y+2=0平行,则a等于()A.B.2C.-1D.2或-1解析：由a(a-1)-2=0得a=2或a=-1.经检验a=2或a=-1均符合题意.答案：D4在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(1,3,5),则其关于x轴的对称点的坐标是()A.(-1,-3, -5)B.(-1,-3,5)C.(1,-3,-5)D.(1,3,-5)解析：点M关于x轴对称的点的坐标,x坐标不变,y,z的新坐标与原来的坐标互为相反数.答案：C5若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.(-,-2)B.-23,2C.(-2,0)D.-2,23解析：由a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,即(3a-2)(a+2)0,解得-2a.答案：D6过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为()A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0D.x-2y+5=0解析：由题意可设所求的直线方程为x-2y+m=0,将A(2,3)代入上式得2-23+m=0,即m=4,故所求的直线方程为x-2y+4=0.答案：A7过点P(5,4)作圆C:x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积是()A.5B.10C.15D.20解析：圆C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,因此圆心C(1,1),半径r=5,从而PC=(5-1)2+(4-1)2=5,在RtPAC中,PA=PC2-AC2=52-(5)2=25,于是S四边形PACB=2SPAC=212525=10.答案：B8圆x+122+y2=4与圆(x-1)2+(y-3)2=m2的公切线的条数为4,则m的取值范围是()A.-374,374B.0,352-2C.2-352,352-2D.2-352,00,352-2解析：因为两圆有4条公切线,所以两圆相离,而两圆圆心距为-12-12+(0-3)2=352,半径分别为2和|m|,于是|m|+2352,|m|352-2,故2-352m352-2,且m0.答案：D9若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是()A.(x-5)2+y2=5B.(x+5)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5解析：设圆O的方程为(x-a)2+y2=5(a0,即a5.又因为圆关于y=2x+b成轴对称,所以点(-1,2)在直线y=2x+b上,所以b=4,所以a-b1.答案：(-,1)三、解答题 (本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)已知ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC边上的中点.(1)求AB边所在直线的方程;(2)求中线AM的长.解(1)(方法一)由两点式得AB边所在直线的方程为y-5-1-5=x+1-2+1,即6x-y+11=0.(方法二)由题意可求得直线AB的斜率为k=-1-5-2-(-1)=-6-1=6,则直线AB的方程为y-5=6(x+1),即6x-y+11=0.(2)设点M的坐标为(x0,y0),因为由中点坐标公式得x0=-2+42=1,y0=-1+32=1,所以M(1,1).所以|AM|=(1+1)2+(1-5)2=25.即中线AM的长为25.17(本小题满分8分)三角形ABC的边AC,AB上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在直线的方程.解因为AC边上的高线为2x-3y+1=0,所以kAC=-32.所以AC的方程为y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0,同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.下面求直线BC的方程,由3x+2y-7=0,x+y=0,得顶点C(7,-7),由x-y+1=0,2x-3y+1=0,得顶点B(-2,-1).所以kBC=-23,直线BC:y+1=-23(x+2),即2x+3y+7=0.18(本小题满分9分)已知圆C的方程为x2+y2-4mx-2y+8m-7=0(mR).(1)试求m的值,使圆C的面积最小;(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(4,-3)的直线方程.解配方得圆的方程为(x-2m)2+(y-1)2=4(m-1)2+4.(1)当m=1时,圆的半径最小,此时圆的面积最小.(2)当m=1时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.当斜率存在时设所求直线的方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.由直线与圆相切,得|2k-1-4k-3|k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为y+3=-34(x-4),即3x+4y=0.又经过点(4,-3),且与x轴垂直的直线方程为x=4,此时,直线也与圆相切.所以所求直线方程为3x+4y=0或x=4.19(本小题满分10分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为43,半径小于5.求:(1)直线PQ与圆C的方程;(2)求过点(0,5)且与圆C相切的直线方程.解(1)直线PQ的方程为y-3=3+2-1-4(x+1),即x+y-2=0,由题意圆心C在PQ的中垂线y-3-22=1x-4-12,即y=x-1上,设C(n,n-1),则r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2,由题意,有r2=(23)2+|n|2,所以n2+12=2n2-6n+17,解得n=1或n=5,所以r2=13或r2=37(舍),故圆C的方程为(x-1)2+y2=13.(2)当切线斜率存在时,设其方程为y=kx+5,则|k+5|1+k2=13,解得k=32或k=-23,所以方程为3x-2y+10=0或2x+3y-15=0,当切线斜率不存在时,不满足题意,故切线方程为3x-2y+10=0或2x+3y-15=0.20(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.解(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,得|3k+1|k2+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD|2+1,即1a2+(2a-3)23.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,即a(5a-12)0,得0a125.故点C的横坐标a的取值范围为0,125.
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