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1.2预习课本P911，思考并完成以下问题1什么是充分条件、必要条件？2什么是充要条件？1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqp/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2充要条件(1)定义：若pq且qp，则记作pq，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的()(2)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()答案：(1)(2)(3)2已知：“a2”；：“直线xy0与圆x2(ya)22相切”，则是的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：C3“x3”是“x29”的_条件(填“充分”或“必要”)答案：充分4“ab0”是“a0，b0”的_条件(填“充分”或“必要”)答案：必要充分条件、必要条件、充要条件的判断典例(1)在ABC 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c ，则“ab”是 “sin Asin B”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)由正弦定理，得，故absin Asin B，选A.(2)构造函数f(x)x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数因为f(x)所以函数f(x)在R上单调递增，所以abf(a)f(b)a|a|b|b|.选C.答案(1)A(2)C充要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用活学活用1已知函数f(x)axb(x0,1)，则“a3b0”是“f(x)0恒成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若f(x)0恒成立，则取x，可得fab0，a3b0.反之不成立，例如取f(x)x，其中a1，b，满足a3b10，但是f10”是“f(x)0恒成立”的必要不充分条件2指出下列各组命题中，p是q的什么条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)四边形的对角线相等/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形/ 四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件(2)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0/ (x1)2(y2)20，p是q的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用典例已知p：实数x满足x24ax3a20，其中a0；q：实数x满足x2x60.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围解由x24ax3a20且a0得3axa，所以p：3axa，即集合Ax|3axa由x2x60得2x3，所以q：2x3，即集合Bx|2x3因为綈q綈p，所以pq，所以AB，所以a0，所以a的取值范围是.一题多变1变条件本例中条件“a0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解：由x24ax3a20得ax3a，所以p：ax3a，即集合Ax|ax3a由x2x60得2x3，所以q：2x3，即集合Bx|2x3因为綈p綈q，所以qp，所以BA，所以2变条件将“q：实数x满足x2x60”改为“q：实数x满足x23x0”其他条件不变，求实数a的取值范围解：由x24ax3a20且a0得3axa.所以p：3axa，即集合Ax|3axa由x23x0得3x0，所以q：3x0，即集合Bx|3x0因为綈q綈p，所以pq，所以AB，所以1a0.所以a的取值范围是1,0)充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解 充要条件的证明典例试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是acy，求证：0.证明：(1)必要性：由，得0，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，0.层级一学业水平达标1设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D当数列an的首项a10时，若q1，则数列an是递减数列；当数列an的首项a10时，要使数列an为递增数列，则0q1，所以“q1”是“数列an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选D.2设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件3设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()AabBabCa2b Dab且|a|b|解析：选C对于A，当ab时，；对于B，注意当ab时，与可能不相等；对于C，当a2b时，；对于D，当ab，且|a|b|时，可能有ab，此时.综上所述，使成立的充分条件是a2b.4设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A0时，函数f(x)cos(x)cos x是偶函数，而f(x)cos(x)是偶函数时，k(kZ)故“0”是“函数f(x)cos(x)为偶函数”的充分不必要条件5使|x|x成立的一个必要不充分条件是()Ax0 Bx2xClog2(x1)0 D2x1解析：选B|x|xx0，选项A是充要条件选项C，D均不符合题意对于选项B，由x2x得x(x1)0，x0或x1.故选项B是使|x|x成立的必要不充分条件6如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的_条件解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即BA，所以A是B的必要不充分条件答案：必要不充分7条件p：1xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：p：x1，若p是q的充分不必要条件，则pq，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a2且y3”是“xy5”的充要条件；b24ac0是一元二次不等式ax2bxc2且y3时，xy5成立，反之不一定，如x0，y6.所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件；不等式解集为R的充要条件是a0且b24ac0，y0.所以“lg xlg y0”成立，xy1必成立，反之不然因此“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：9下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.解：(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分条件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形ABC是直角三角形，p是q的既不充分也不必要条件(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要不充分条件(4)若圆x2y2r2与直线axbyc0相切，则圆心到直线axbyc0的距离等于r，即r，所以c2(a2b2)r2；反过来，若c2(a2b2)r2，则r成立，说明x2y2r2的圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即圆x2y2r2与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件10已知数列an的前n项和Snpnq(p0且p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.证明：(1)充分性：当q1时，a1p1.当n2时，anSnSn1pn1(p1)当n1时，上式也成立于是p，即数列an为等比数列(2)必要性：当n1时，a1S1pq.当n2时，anSnSn1pn1(p1)p0且p1，p.因为an为等比数列，所以p，q1.即数列an为等比数列的充要条件为q1.层级二应试能力达标1“0ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当0ab成立，所以是充分条件；当ab时，有ab，不能推出0ab，所以不是必要条件，故选A.2已知p：x2x0，那么命题p的一个必要不充分条件是()A0x1B1x1C.x D.x2解析：选B由x2x00x1，运用集合的知识易知：A中0x1是p的充要条件；B中1x1是p的必要不充分条件；C中x是p的充分不必要条件；D中x0”是“x1”的必要条件B已知向量m，n，则“mn”是“mn”的充分条件C“a4b4”是“ab”的必要条件D在ABC中，“ab”不是“AB”的充分条件解析：选AA中，当x1时，有x0，所以A正确；B中，当mn时，mn不一定成立，所以B不正确；C中，当ab时，a4b4不一定成立，所以C不正确；D中，当ab时，有AB，所以“ab”是“AB”的充分条件，所以D不正确故选A.4设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Bq：axa1，p是q的充分不必要条件，解得0a.故选B.5已知关于x的方程(1a)x2(a2)x40(aR)，则该方程有两个正根的充要条件是_解析：方程(1a)x2(a2)x40有两个实根的充要条件是即设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是1a2或a10.答案：(1,210，)6已知“1k0，解得1k1，所以10，q：x22x1a20.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围解：不等式x28x200的解集为Ax|x10或x0的解集为Bx|x1a或x0依题意pq，所以AB.于是有解得0a3.所以正实数a的取值范围是(0,38求二次函数yx2mx1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件解：线段AB的方程为xy3，由题意得方程组在0,3上有两组实数解，将代入，得x2(m1)x40(0x3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)x2(m1)x4，则二次函数f(x)在x0,3上有两个实根，故有：解得3m，故m的取值范围是.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1，或x1B若1x1，则x21，或x1D若x1，或x1，则x21解析：选D命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”2已知命题若ab，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()A的逆命题为真B的逆命题为真C的逆否命题为真D的逆否命题为真解析：选D的逆命题为b，若a2，b3，则不成立故A错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故B错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确3设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM，或xP”是“xMP”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A“xM，或xP”不能推出“xMP”，反之可以4设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题解析：选A因为原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则ab2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则ab2”，是假命题，反例为a1.2，b0.3，则ab1.5b，则ab”B命题“若“ab，则|a|b|”的逆命题C命题“当x2时，x25x60”的否命题D命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.7“a0”是“方程ax210至少有一个负根”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C方程ax210至少有一个负根等价于x2，故a30”是sin A的_条件，“sin A”是“A30”的_条件解析：A30不一定推出sin A，但在ABC中，sin A30A30.答案：必要不充分充分不必要11给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限它的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的为_，假命题的为_解析：逆命题和否命题是假命题，逆否命题为真命题答案：逆否命题逆命题、否命题12有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中真命题是_，假命题是_(填序号)解析：的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为若“mx22(m1)xm30的解集为R，则m1”当m0时，解集不是R，应有 即m1.是假命题；原命题为真，逆否命题也为真答案：13已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b无公共点；命题q：，则p是q的_条件，q是p的_条件解析：qp，p/ q，p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件答案：必要不充分充分不必要14命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得3a0，3a0.答案：3,015若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x的取值范围是_解析：由x2,5或xx|x4，得x1或x2.此命题是假命题，1x2.答案：1,2)三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当|b2|0时，a1，b2；(3)已知x，y为正整数，当yx2时，y1，x1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题(2)若|b2|0，则a1且b2，真命题(3)已知x，y为正整数，若yx2，则y1且x1，假命题17(本小题满分15分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数解：(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)18(本小题满分15分)已知命题：“所有xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x3a)(xa2)0的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)命题：“所有xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题，得x2xm(x2x)max，得m2，即Bm|m2(2)不等式(x3a)(xa2)2a，即a1时，解集Ax|2ax3a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB，2a2，此时a(1，)；当3a2a，即a1时，解集A，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立；当3a2a，即a1时，解集Ax|3ax2a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立，3a2，此时a，1.综上可得a，.19(本小题满分15分)设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.证明：充分性：因为A90，所以a2b2c2.于是方程x22axb20可化为x22axa2c20，所以x22ax(ac)(ac)0.所以x(ac)x(ac)0.所以该方程有两根x1(ac)，x2(ac)，同样另一方程x22cxb20也可化为x22cx(a2c2)0，即x(ca)x(ca)0，所以该方程有两根x3(ac)，x4(ca)可以发现，x1x3，所以方程有公共根必要性：设x是方程的公共根，则由，得x(ac)，x0(舍去)代入并整理，可得a2b2c2.所以A90.所以结论成立20(本小题满分15分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2(a1)xa20的解集为，命题乙：函数y(2a2a)x为增函数分别求出符合下列条件的实数a的范围(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题解：甲命题为真时，(a1)24a2或a1，即a1或a.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，实数a的取值范围为aa.(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，a1，甲假乙真时，1a，甲、乙中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围为aa1或1a.
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