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第2课时等差数列的性质学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.梳理在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则anam2ap.知识点二由等差数列衍生的新数列思考若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？答案(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列梳理若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)1已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率()2在等差数列an中，若l，m，n，p，q，rN*，且lmnpqr，则alamanapaqar.()3在等差数列an中，若mn为偶数，且m，nN*，则.()类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题解因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，则a8_.考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案3解析bn为等差数列，设其公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8.a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1b7b6b1a1(b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a17b4a17033.类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？考点等差数列的判定题点判断数列是否为等差数列解取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.反思与感悟根据等差数列an的通项公式ana1(n1)ddn(a1d)，可知an为等差数列anpnq(p，q为常数)，此结论可用来判断an是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质跟踪训练2某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司既不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为2.6在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题答案180解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，a590.a2a82a5180.7已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)_.考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题答案解析由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tantan.8若方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_.考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题答案解析设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1a4a2a32，再设此等差数列的公差为d，则2a13d2，a1，d，a2，a31，a4，|mn|a1a4a2a3|.9设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题答案105解析a1a2a33a215，a25.a1a2a3(a2d)a2(a2d)5(25d2)80，又d为正数，d3.a11a12a133a123(a210d)3(530)105.10若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列对称设项问题答案21解析设这三个数为ad，a，ad，则解得或这三个数为1,3,7或7,3，1.这三个数的积为21.11在等差数列an中，已知amn，anm，则amn的值为_考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案0解析方法一设等差数列的公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a，b为常数)，则得a1，bmn.所以amna(mn)b0.二、解答题12已知an为等差数列，且a1a3a518，a2a4a624.(1)求a20的值；(2)若bnan，试判断数列bn从哪一项开始大于0.考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题解(1)因为a1a3a518，a2a4a624，所以a36，a48，则公差d2，所以a20a317d40.(2)由(1)得ana3(n3)d6(n3)22n，所以bn2n3n.由bn0，即3n0，得n，所以数列bn从第7项开始大于0.13看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一请用所学数学知识对此给出简要的说明考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解由题意知，在等差数列中，若mn2p，则aman2ap.因为12，所以12.三、探究与拓展14若等差数列an满足an1an4n3，则an的通项公式为_考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案an2n解析由题意得an1an4n3，an2an14n1，得an2an4.an是等差数列，设公差为d，d2.a1a21，a1a1d1，a1.an2n.15在正项数列an中，a11，an1an.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.考点等差数列的判定题点证明数列是等差数列解(1)数列是等差数列an1an，an1an，()()，an是正项数列，0，1，是等差数列，公差为1.(2)由(1)知是等差数列，且d1，(n1)d1(n1)1n，ann2.
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