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第一节 直线与直线方程
课时作业
A组——基础对点练
1.直线x+y+a=0(a为实常数)的倾斜角的大小是( )
A.30 B.60
C.120 D.150
解析:直线x+y+a=0(a为实常数)的斜率为-,令其倾斜角为θ,则tan θ=-,解得θ=150,故选D.
答案:D
2.如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,
∵AB<0,BC<0,∴->0,->0.∴直线过第一、二、三象限,不过第四象限,故选D.
答案:D
3.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,] B.[,π)
C.[0,]∪(,π) D.[,)∪[,π)
解析:由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是[,π).
答案:B
4.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是( )
A.m≠- B.m≠0
C.m≠0且m≠1 D.m≠1
解析:由解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线.
答案:D
5.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由a=1可得l1∥l2,反之,由l1∥l2可得a=1,故选C.
答案:C
6.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.[0,π) B.
C. D.∪
解析:当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;
当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.
因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),所以α∈∪,
综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.
答案:C
7.(2018开封模拟)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为( )
A.3x+4y+15=0 B.4x+3y+6=0
C.3x+y+6=0 D.3x-4y+10=0
解析:设所求直线的斜率为k,依题意k=-3=-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.
答案:A
8.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( )
A.(1,-3) B.(4,3)
C.(3,1) D.(2,3)
解析:2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由,解得则直线过定点(3,1),故选C.
答案:C
9.(2018张家口模拟)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0≤α≤ B.<α<π
C.≤α< D.<α≤
解析:直线l的斜率k=tan α==m2+1≥1,所以≤α<.
答案:C
10.已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是( )
A.0 B.2 C. D.1
解析:直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1,故选D.
答案:D
11.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是( )
A.(-2,-1) B.(2,3)
C.(2,1) D.(-2,1)
解析:∵点N在直线x-y+1=0上,
∴可设点N坐标为(x0,x0+1).
根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==.
∵直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,∴kMN=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3),故选B.
答案:B
12.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
解析:如图,因为kAP==1,kBP==-,
所以k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
答案:(-∞,-]∪[1,+∞)
13.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________.
解析:令x=0,则l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+.依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.
答案:1或-2
14.(2018武汉市模拟)若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为________.
解析:圆x2+y2-2x+4y=0可化为(x-1)2+(y+2)2=5,圆心为(1,-2),则直线2x+y+m=0过圆心(1,-2),故2-2+m=0,m=0.
答案:0
15.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,求b的取值范围.
解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[-2,2].
B组——能力提升练
1.已知f(x)=asin x-bcos x,若f=f,则直线ax-by+c=0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析:令x=,则f(0)=f,即-b=a,则直线ax-by+c=0的斜率k==-1,其倾斜角为.故选D.
答案:D
2.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
解析:两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为-1,方程为x+y-2=0.
答案:A
3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
解析:根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,而这两点连线所在直线的斜率为,故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2,故选A.
答案:A
4.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1-,)
C.(1-,] D.[,)
解析:由消去x,得y=,当a>0时,直线y=ax+b与x轴交于点(-,0),结合图形(图略)知(1+)=,化简得(a+b)2=a(a+1),则a=.∵a>0,∴>0,解得b<.考虑极限位置,即a=0,此时易得b=1-,故选B.
答案:B
5.已知p:“直线l的倾斜角α>”;q:“直线l的斜率k>1”,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:当<α≤π时,tan α≤0,即k≤0,而当k>1时,即tan α>1,则<α<,所以p是q的必要不充分条件,故选B.
答案:B
6.若经过点(1,0)的直线l的倾斜角是直线x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为( )
A.4x-3y-4=0 B.3x-4y-3=0
C.3x+4y-3=0 D.4x+3y-4=0
解析:设直线x-2y-2=0的倾斜角为α,则其斜率tan α=,直线l的斜率tan 2α==.又因为l经过点(1,0),所以其方程为4x-3y-4=0,故选A.
答案:A
7.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
解析:由题知,反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径为1,且反射光线与该圆相切,
∴=1,化简得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.
答案:D
8.已知倾斜角为θ的直线与直线x-3y+1=0垂直,则=( )
A. B.-
C. D.-
解析:依题意,tan θ=-3(θ∈[0,π)),
所以===,故选C.
答案:C
9.(2018天津模拟)已知m,n为正整数,且直线2x+(n-1)y-2=0与直线mx+ny+3=0互相平行,则2m+n的最小值为( )
A.7 B.9 C.11 D.16
解析:∵直线2x+(n-1)y-2=0与直线mx+ny+3=0互相平行,
∴2n=m(n-1),∴m+2n=mn,两边同除以mn可得+=1,∵m,n为正整数,
∴2m+n=(2m+n)=5++≥5+2=9.当且仅当=时取等号.故选B.
答案:B
10.直线xcos θ-y-1=0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________.
解析:直线的斜率为k=cos θ∈[-1,1],即tan α∈[-1,1],所以α∈[0,]∪[π,π).
答案:[0,]∪[π,π)
11.过点A(1,2)且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为________.
解析:直线x-2y+3=0的斜率为,所以由垂直关系可得要求直线的斜率为-2,所以所求方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
答案:2x+y-4=0
12.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是________.
解析:动直线x+my=0(m≠0)过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).由题意易得直线x+my=0与直线mx-y-m+3=0垂直,即PA⊥PB.所以|PA||PB|≤===5,即|PA||PB|的最大值为5.
答案:5
13.已知直线x=是函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴,求直线ax+by+c=0的倾斜角.
解析:f(x)=sin(x-φ),其中tan φ=,将x=代入,得sin(-φ)=1,即-φ=kπ+,k∈Z,解得φ=-kπ-,k∈Z.所以tan φ=tan=-1=,所以直线ax+by+c=0的斜率为-=1,故倾斜角为.
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