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13.3最大值与最小值对应学生用书P191问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学2如图为yf(x)，xa，b的图象问题1：试说明yf(x)的极值 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值问题2：你能说出yf(x)，xa，b的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的3函数yg(x)，yh(x)在闭区间a，b的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数yg(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数yh(x)的最大值为h(b)，最大值为h(a)问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是1最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一2求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值1函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值3极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值求函数的最大值与最小值例1求函数f(x)x42x23，x3,2上的最值思路点拨精解详析f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45所以当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.一点通求函数的最值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解1已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m.则Mm_.解析：令f(x)3x2120，解得x2.计算f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，故Mm32.答案：322求函数f(x)ex(3x2)在区间2,5上的最值解：f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即a11b，且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm，对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围思路点拨(1)可通过配方求函数f(x)的最小值；(2)h(t)h(t)2t恒成立，从而可转化为求h(t)2t的最大值问题解决精解详析(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取得最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)2tt33t1.则g(t)3t233(t1)(t1)令g(t)0，得t11，t21(舍去)列表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.h(t)g(t)在(0,2)内恒成立m1.即实数m的取值范围是(1，)一点通有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.5已知g(x)ln xa，若g(x)x2在(0，e上恒成立，求a的取值范围解：g(x)x2即ln xaln xx2，故g(x)ln xx2在(0，e上恒成立设h(x)ln xx2，则h(x)2x，由h(x)0及0xe得x.当0x0，当xe时h(x)0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x时h(x)取得最大值为hln.所以g(x)0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在惟一的零点故g(x)在(0，)上存在惟一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k1.而f(2)4435，因此f(a)a22a3，解得a(舍去)或a.答案：5函数f(x)ax44ax3b(a0)在1,4)上的最大值为3，最小值为6，则ab_.解析：f(x)4ax312ax2(a0，x1,4)由f(x)0，得x0(舍)，或x3，可得x3时，f(x)取到最小值为b27a.又f(1)b3a，f(4)b，因此f(4)为最大值由解得所以ab.答案：二、解答题6已知函数f(x)aln x1(a0)(1)若a2，求函数f(x)在(e，f(e)处的切线方程；(2)当x0时，求证：f(x)1a.解：(1)当a2时，f(x)2ln x1，f(x)，f(e)3，kf(e)，所以函数f(x)在(e，f(e)处的切线方程为y3(xe)，即2xeye0.(2)令g(x)f(x)1aaln xa(x0)，则g(x)，由g(x)0，得x1.当0x1时，g(x)0，g(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增所以g(x)在x1处取得极小值，也是最小值因此g(x)g(1)0，即f(x)1a.7已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：(1)f(x)3x26x93(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0，则3(x1)(x3)0，解得x3.函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)结合(1)，令f(x)0，得x1或x3.又x2,2，x1.当2x1时，f(x)0；当1x0.x1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值，即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22，f(2)81218aa2.a22a2，f(x)maxa2220，a2.此时f(x)mina5257.8已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围解：由题意知f(1)3c.因此bc3c，从而b3.对f(x)求导，得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意知f(1)0，得a4b0，解得a12.因为f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，此时f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，并且此极小值也是最小值所以要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2即可整理得2c2c30，解得c或c1.所以c的取值范围为(，1.
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