资源描述
第21讲坐标系与参数方程1.2018全国卷在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.试做2.2017全国卷在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,y=1-t(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.试做命题角度坐标系与参数方程(1)根据x=cos ,y=sin 以及2=x2+y2可将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现;(3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+3y=53,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4sin .(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;(2)射线OP:=6与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长. 听课笔记 【考场点拨】进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=cos ,y=sin ,2=x2+y2.方程的两边同乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.【自我检测】在直角坐标系xOy中,圆C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:=3(R).(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;(2)若曲线C3的极坐标方程为=6(R),设C2与C1的交点为O,M,C3与C1的交点为O,N,求OMN的面积.解答2简单曲线的参数方程2 已知直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(t为参数),曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),且直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求当=4时,|AB|的值;(2)已知点P(1,0),当直线l的倾斜角变化时,求|PA|PB|的取值范围.听课笔记 【考场点拨】(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题时能够事半功倍.【自我检测】已知曲线C:4x29+y216=1,直线l:x=3+t,y=5-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程;(2)设曲线C上任意一点P到直线l的距离为d,求d的最大值与最小值.解答3极坐标方程与参数方程的综合应用3 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2+22t,y=-1+22t(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=22acos+4a56.(1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P(2,-1),直线l与曲线C相交于M,N两点,若|MN|2=6|PM|PN|,求a的值.听课笔记 【考场点拨】参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如cos2+sin2=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.利用关系式x=cos,y=sin,x2+y2=2,yx=tan等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化.【自我检测】在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为3x-y-23=0,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos =(1-cos2).(1)写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程;(2)已知直线l与曲线C交于A,B两点,试求AB的中点N的坐标.模块七选考模块第21讲坐标系与参数方程典型真题研析1.解:(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.2.解:(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离d=|3cos+4sin-a-4|17.当a-4时,d的最大值为a+917,由题设得a+917=17,所以a=8;当a56,t1t20,(t1-t2)2=-6t1t2,(t1+t2)2+2t1t2=0,即(-2)2+2(5-6a)=0,解得a=1,符合题意,a=1.【自我检测】解:(1)直线l的方程为3x-y-23=0,即3(x-2)=y.令x=t+2,y=3t,则直线l的一个参数方程为x=t+2,y=3t(t为参数).由曲线C的极坐标方程可得2(1-cos2)=2cos ,即2sin2=2cos ,可得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)将x=t+2,y=3t代入y2=2x,得3t2-2t-4=0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=23.设点A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x0=x1+x22=2+t1+t22=73,y0=y1+y22=3(t1+t2)2=33,故AB的中点N的坐标为73,33.备选理由 例1第(2)问考查两弦长之和,其实质是极径之和,可以写成极角的表达式,利用三角函数求解最值,有利于强化学生的综合分析能力与化归转化思想;例2考查参数方程与极坐标方程的综合应用.例1配例1使用在直角坐标系xOy中,圆C的圆心为0,12,半径为12,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)设M,N是圆C上两个动点,且满足MON=23,求|OM|+|ON|的最大值.解:(1)圆C的直角坐标方程为x2+y-122=14,即x2+y2-y=0,化成极坐标方程为2-sin =0,整理得=sin .(2)设M(1,),N2,+23,则|OM|+|ON|=1+2=sin +sin+23=12sin +32cos =sin+3.由0,0+23,得03,所以3+323,故32sin+31,即|OM|+|ON|的最大值为1.例2配例3使用在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=1+cos,y=sin(其中为参数),曲线C2:x28+y24=1.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(A,B均异于原点O),当02时,求|OB|2-|OA|2的最小值.解:(1)由题意得,曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,则C1的极坐标方程为=2cos .曲线C2的极坐标方程为2=81+sin2.(2)联立=(0)与C1的极坐标方程,得|OA|2=4cos2,联立=(0)与C2的极坐标方程,得|OB|2=81+sin2,则|OB|2-|OA|2=81+sin2-4cos2=81+sin2-4(1-sin2)=81+sin2+4(1+sin2)-8281+sin24(1+sin2)-8=82-8(当且仅当sin =2-1时取等号),所以|OB|2-|OA|2的最小值为82-8.
展开阅读全文