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专题4.8 曲线运动的综合性问题一选择题1.如图甲所示,质量相等,大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来,使小球a在竖直平面内来回摆动,小球b在水平面内做匀速圆周运动,连接小球b的细线与竖直方向的夹角和小球a摆动时细线偏离竖直方向的最大夹角都为,运动过程中两细线拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示.则下列说法正确的是()A.图乙中直线d表示细线对小球a的拉力大小随时间变化的关系B.图乙中曲线c表示细线对小球a的拉力大小随时间变化的关系C.=45D.=60【参考答案】BD2.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R1 m，小球可看做质点且其质量为m1 kg，g取10 m/s2。则()A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 mB.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 mC.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 ND.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N【参考答案】AC3. (2017泰州中学)如图所示,两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点),静止在倾斜的匀质圆盘上,圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动,a到转轴的距离为l,b到转轴的距离为2l,物块与盘面间的动摩擦因数为,盘面与水平面的夹角为30.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g.若a、b随圆盘以角速度匀速转动,下列说法中正确的是()A. a在最高点时所受摩擦力可能为0B. a在最低点时所受摩擦力可能为0C. =是a开始滑动的临界角速度D. =是b开始滑动的临界角速度【参考答案】. AD二计算题12017山东莱州模拟(15分)如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个半径均为R0.2 m的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径)，轨道底端D点与粗糙的水平地面相切。现有一辆质量为m1 kg的玩具小车以恒定的功率从E点由静止开始出发，经过一段时间t4 s后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点飞出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C点，C点与下半圆的圆心O等高。已知小车与地面之间的动摩擦因数为0.1，ED之间的距离为x010 m，斜面的倾角为30。求：(g取10 m/s2)(1)小车到达C点时的速度大小为多少？(2)在A点小车对轨道的压力大小是多少，方向如何？(3)小车的恒定功率是多少？【参考答案】(1)4 m/s(2)10 N方向竖直向上(3)5 W解析(1)把小车在C点的速度分解为沿水平方向的分速度vA和沿竖直方向的分速度vy，有v2g3R，vC，解得vC4 m/s。(2)由(1)知小车在A点的速度大小vAvCsin302 m/s，因为vA，小车对外轨有压力，轨道对小车的作用力竖直向下，根据牛顿第二定律有mgFNm，解得FN10 N，根据牛顿第三定律得，小车对轨道的压力的大小FNFN10 N，方向竖直向上。(3)从E到A的过程中，由动能定理可得Ptmgx0mg4Rmv，解得P5 W。2(14分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53的光滑斜面上。一长为L9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x5 cm。(取g10 m/s2，sin530.8，cos530.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D点到水平线AB的高度h；(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。【参考答案】(1)30 N(2)16 cm(3)2.9 J【名师解析】(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得：mgLmv，解得v1在D点，由牛顿第二定律得Fmgm由解得F30 N，由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N。(2)由D到A，小球做平抛运动v2ghtan53联立解得h16 cm。(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Epmg(Lhxsin53)，代入数据解得：Ep2.9 J。3(2016江苏无锡期中)(20分)如图所示，倾角为37的粗糙斜面AB底端与半径R0.9 m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高。质量m2 kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数；(2)若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值；(3)若滑块离开C处的速度大小为 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t。 (2)若滑块能到达C点，根据牛顿第二定律，有mgFN则得vC m/s3 m/s；A到C的过程：根据动能定理有mgcos 37mvmv联立解得，v03 m/s所以，滑块从A点沿斜面下滑时的初速度v0的最小值为3 m/s。(3)滑块离开C点做平抛运动，则有xvCtygt2由几何关系得：tan 37联立得10t25t3.60解得t0.4 s。答案(1)0.375(2)3 m/s(3)0.4 s4(2016山西太原校级高三月考) (20分)物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定。若某时刻F需F供，则物体能做圆周运动；若F需F供，物体将做离心运动；若F需F供，物体将做近心运动。现有一根长L0.5 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m1 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，g取10 m/s2，则：(1)在小球以速度v15 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多大？(2)在小球以速度v21 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求轻绳再次伸直时所经历的时间。(2)因为v2v0，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，如图所示水平方向：xv2t竖直方向：ygt2L2(yL)2x2代入数据解得：t0.4。答案(1)40 N(2)绳中无张力0.4 s5.为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为60，长为L12 m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2m的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A点高为h0.9 m的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为。g取10 m/s2，求：(1)小球初速度v0的大小；(2)小球滑过C点时的速率vC；(3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。【名师解析】(1)小球做平抛运动到达A点，由平抛运动规律知竖直方向有：v2gh即：vy3 m/s因为在A点的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0vytan 30 m/s(2)从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得：mg(hL1sin )mgL1cos mgL2mvmv解得：vC3 m/s。当小球刚好能到达与圆心等高时有：mgR2mv解得：R22.7 m当圆轨道与AB相切时：R3L2tan 601.5 m，即圆轨道的半径不能超过1.5 m综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：0R1.08 m。答案(1) m/s(2)3 m/s(3)0R1.08 m6.如图所示，一水平传送带AB长为L6 m，离水平地面的高为h5 m，地面上C点在传送带右端点B的正下方。一物块以水平初速度v04 m/s自A点滑上传送带，传送带匀速转动，物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g10 m/s2。(1)要使物块从B点抛出后的水平位移最大，传送带运转的速度应满足什么条件？最大水平位移多大？(2)若物块从A点滑上传送带到落地所用的时间为2.3 s，求传送带运转的速度(3.162，3.77，结果保留三位有效数字)。做平抛运动的过程hgt2t1 s则最大的水平位移为smaxv2t2 m6.32 m(2)若物块从A点滑上传送带到落地所用的时间为2.3 s，由于平抛运动的时间为1 s，因此物块在传送带上运动的时间为t11.3 s若物块从A到B以v04 m/s匀速运动，需要的时间为t21.5 s若物块一直匀加速运动，则所用的时间为t3 s(2) s1.162 s由于t2t1t3，所以物块在传送带上先加速再匀速则t1v213.2v400解得v m/s4.72 m/s。答案(1)v6.32 m/s6.32 m(2)4.72 m/s7. (12分) （2016安徽皖江联考） 如图所示，光滑的AB杆上套一轻质弹簧，弹簧一端与杆下端连接于固定的转轴，另一端与套在杆上质量为m的小球连接。已知AB杆足够长，弹簧的原长为l0，劲度系数为k，OO为过B点的竖直线，杆与水平面间的夹角始终为。已知弹簧的弹性势能公式为其中k为劲度系数，x为弹簧的形变量。（1）若杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置由静止释放，求小球速度最大时弹簧的弹性势能；（2）当球随杆一起绕OO匀速转动时，转动角速度不同弹簧的长度就会不同，已知球随杆一起以足够大的角速度转动，且在稳定的情形下弹簧处于伸长状态，小球在水平面内做匀速圆周运动。求此时弹簧伸长量。【名师解析】(12分) （1）当小球速度最大时，有： （2分）解得弹簧的压缩量为： （1分）故（2分）（2）设弹簧伸长量为l2，在水平方向上有：（3分）竖直方向上有：（3分）解得：（1分）8.(12分)(2016长春模拟)如图所示，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点已知h2 m，s m取重力加速度g10 m/s2.(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小【参考答案】(1)0.25 m(2) m/s (2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得mghmv.(2分)因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角相等，设为，则根据平抛运动规律可知sin .(1分)根据运动的合成与分解可得sin .(1分)联立可得v水平 m/s.(2分)9(12分)(2017临沂模拟)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R0.8 m的圆环剪去了左上角135 的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R.用质量m0.5 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x8t2t2(m)，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道g10 m/s2，求：(1)物块在水平桌面上受到的摩擦力；(2)B、P间的水平距离；(3)判断物块能否沿圆轨道到达M点【参考答案】(1)大小为2 N，方向向左(2)7.6 m (3)不能 (2)物块在DP段做平抛运动，有vy4 m/s，(1分)t0.4 s(1分)vx与v夹角为45，则vxvy4 m/s，(1分)xDPvxt1.6 m(1分)在BD段xBD6 m，(1分)所以xBPxBDxDP7.6 m(1分)(3)设物块能到达M点，由机械能守恒定律有mvmgR(1cos 45)mv，(1分)vv(2)gR(2)gR.(1分)要能到达M点，需满足vM，而，所以物块不能到达M点(1分)
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