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2.5.1平面几何中的向量方法课后篇巩固探究1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析由题意知,AB=(3,3),DC=(2,2),所以ABDC.又因为|AB|DC|,所以四边形ABCD为梯形.答案A2.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cosBDC=()A.-725B.725C.0D.12解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又BDC为DB,DC的夹角,cosBDC=DBDC|DB|DC|=-9+1655=725.答案B3.在ABC中,设O是ABC的外心,且AO=13AB+13AC,则BAC=()A.30B.45C.60D.90解析因为AO=13AB+13AC,所以O也是ABC的重心.又因为O是ABC的外心,所以ABC是等边三角形,故BAC=60.答案C4.已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论正确的是()A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知OE+OF=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点,故选D.答案D5.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OCAB的值为()A.-15B.15C.-65D.65解析因为3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=-5OC,所以9OA2+24OAOB+16OB2=25OC2.因为A,B,C在圆上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.代入原式得OAOB=0,所以OCAB=-15(3OA+4OB)(OB-OA)=-15(3OAOB+4OB2-3OA2-4OAOB)=-15.答案A6.在ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,若ab=bc=ca,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故ABC是等边三角形.答案B7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且OA+OB=OC,其中O为坐标原点,则AOB=.解析如图所示,由|OA|=|OB|=|OC|=1,OA+OB=OC,得四边形OACB为边长为1的菱形,且AOB=120.答案1208.已知A(3,2),B(-1,-1),若点Px,-12在线段AB的中垂线上,则x=.解析设AB的中点为M,则M1,12,MP=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),MPAB,则MPAB=0,所以-4(x-1)+(-1)(-3)=0,解得x=74.答案749.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,ACB=90,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.证明ADCE=(AC+CD)(CA+AE)=AC+12CBCA+23AB=AC+12CBCA+23CB-23CA=AC+12CB13CA+23CB=-13|CA|2+13|CB|2.因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,故ADCE.10.导学号68254091已知ABC是等腰直角三角形,B=90,D是BC边的中点,BEAD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:ADB=FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=AC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2).又DA=(-1,2),由题设BFDA,所以BFDA=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=23.所以BF=43,23.所以DF=BF-BD=13,23.又DC=(1,0),所以cos ADB=DADB|DA|DB|=55,cos FDC=DFDC|DF|DC|=55,又ADB,FDC(0,),所以ADB=FDC.
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