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单元检测九(A)直线与圆(提升卷)考生注意:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共4页2答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间100分钟,满分130分4请在密封线内作答,保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知直线l:axy2a0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A1B1C2或1D2或1答案D解析当a0时,y2不合题意当a0时,令x0,得y2a,令y0,得x,则a2,得a1或a2.2已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,1),且l1与l垂直,直线l2:2xby10与直线l1平行,则ab等于()A4B2C0D2答案B解析由题知,直线l的斜率为1,则直线l1的斜率为1,所以1,所以a4.又l1l2,所以1,b2,所以ab422.故选B.3坐标原点(0,0)关于直线x2y20对称的点的坐标是()A.B.C.D.答案A解析直线x2y20的斜率k,设坐标原点(0,0)关于直线x2y20对称的点的坐标是(x0,y0),依题意可得解得即所求点的坐标是.故选A.4过点A(2019,a)和B(2020,b)的直线与直线l:xym0垂直,则|AB|的值为()A4B2C.D与m的取值有关答案C解析由题意得kAB1,所以ba1,所以|AB|.故选C.5若直线axby10平分圆C:x2y22x4y10的周长,则ab的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析把圆的方程化为标准方程得(x1)2(y2)24,圆心坐标为(1,2),根据题意可知,圆心在直线axby10上,a2b10,即a12b,ab(12b)b2b2b22,当b时,ab取得最大值.6已知点A(3,4),B(6,3)到直线l:axy10的距离相等,则实数a的值等于()A.BC或D或答案C解析由已知可得,化简得|3a3|6a4|,解得a或a.7已知圆O1的方程为x2y21,圆O2的方程为(xa)2y24,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么实数a的所有取值构成的集合是()A1,1,3,3B5,5,3,3C1,1D3,3答案A解析由题意得两圆心之间的距离d|a|213或d|a|211,所以a1,1,3,3.故选A.8在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2y28x150,若直线l:ykx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值是()ABCD答案A解析由圆C的方程知其圆心为(4,0),半径为1,圆心到直线l的距离d,由题意知,当距离d2时,满足条件,2,解得k0,直线l的斜率k的最小值为.9已知圆C1:(x2)2(y3)21,圆C2:(x3)2(y4)29,M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|PN|的最小值为()A54B.1C62D.答案A解析圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2,3),半径为1,圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,|PM|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径,即1354.10已知圆C:x2y22x4ya0,圆C与直线x2y40相交于A,B两点,且OAOB(O为坐标原点),则实数a的值为()AB.C.D.答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由于OAOB,所以x1x2y1y2x1x2(x1x2)40.(*)联立直线和圆的方程,消去y得5x28x4a160,x1x2,x1x2,代入(*)式得a.11已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且|,则实数k的取值范围是()A(,) B,)C,2) D,2)答案C解析设AB的中点为D,则ODAB.因为|,所以|2|,所以|2|.因为|2|24,所以|21.因为直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点,所以|24,所以1|24,即124,解得k2,故选C.12对于函数yf(x),yg(x),若存在x0,使f(x0)g(x0),则称M(x0,f(x0),N(x0,g(x0)是函数f(x)与g(x)的一对“雷点”已知f(x),g(x)kx1,若函数f(x)与g(x)恰有一对“雷点”,则实数k的取值范围为()A.B.C.D.答案C解析令y,整理得(x2)2y21(y0),它表示圆心为(2,0),半径为1的半圆(x轴上方),作出这个半圆及其关于原点对称的半圆,如图所示由g(x)kx1知,g(x)的图象为过定点P(0,1)的直线l,易求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率k,直线PA,PB的斜率分别为1,故实数k的取值范围为.故选C.第卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上)13已知a0,直线ax(b2)y40与直线ax(b2)y30互相垂直,则ab的最大值为_答案2解析由两直线垂直可得a2(b2)(b2)0,即a2b24,ab2,当且仅当ab时,(ab)max2.14当点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大时,实数m的值为_答案1解析直线mxy12m0过定点Q(2,1),所以当PQ与直线垂直时,点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大,即m1,所以m1.15已知点Q(1,m),P是圆C:(xa)2(y2a4)24上任意一点,若线段PQ的中点M的轨迹方程为x2(y1)21,则实数m的值为_答案4解析设P(x,y),线段PQ的中点为M(x0,y0),则因为点M(x0,y0)在圆x2(y1)21上,所以221,即(x1)2(ym2)24.将此方程与方程(xa)2(y2a4)24比较,可得解得m4.16已知在平面直角坐标系xOy中,圆O1:x2y29,圆O2:x2(y6)216,若在圆O2内存在一定点M,过点M的直线l被圆O1,O2截得的弦分别为AB,CD,且,则定点M的坐标为_答案解析因为总成立,且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是,所以点M在两圆圆心的连线上因为圆心连线的方程为x0,所以可设M(0,y0),当直线l的斜率不存在时,显然满足题意,当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,直线l的方程为ykxy0,因为,所以,解得y0或y018(此时点M在圆O2外,舍去),故定点M的坐标为.三、解答题(本题共4小题,共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知直线l的方程为(2m)x(2m1)y3m40,其中mR.(1)求证:直线l过定点;(2)当m变化时,求点Q(3,4)到直线l的距离的最大值;(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求AOB面积的最小值及此时直线l的方程(1)证明直线l的方程可化为(2xy4)m(x2y3)0,由题意知,其对任意m都成立,所以解得所以直线l过定点(1,2)(2)解由题意可知,点Q与定点(1,2)的距离就是所求最大值,即2.(3)解因为直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,所以可设直线l的方程为y2k(x1),k0,则A,B(0,k2),SAOB|k2|(2k)2224,当且仅当,即k2时取等号,故AOB面积的最小值为4,此时直线l的方程为2xy40.18(12分)一个圆和已知圆x2y22x0外切,并与直线l:xy0相切于点M(3,),求该圆的方程解已知圆方程化为(x1)2y21,其圆心P(1,0),半径为1.设所求圆的圆心为C(a,b)则半径为,因为两圆外切,|PC|1,从而1,又所求圆与直线l:xy0相切于M(3,),所以直线CMl,kCMkl1,于是1,即ba4,将代入化简,得a62|a3|0,解得a0或a4.当a0时,b4,所求圆方程为x2(y4)236,当a4时,b0,所求圆方程为(x4)2y24.19(13分)已知曲线C上任意一点到原点的距离与到E(3,6)的距离之比均为12.(1)求曲线C的方程;(2)设点P(1,2),过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于A,B两点,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,求证:直线AB的斜率为定值(1)解设曲线C上的任意一点为Q(x,y),由题意得,所以曲线C的方程为(x1)2(y2)220.(2)证明由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,点P(1,2)在曲线C上,故可设PA:y2k(x1),由得(1k2)x22(1k24k)xk28k30,因为点P的横坐标1一定是该方程的解,故可得xA,同理可得,xB,所以kAB,故直线AB的斜率为定值.20(13分)已知圆O:x2y24,直线l:ykx4.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当AOB时,求k的值;(2)若k1,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC,PD,切点为C,D,问:直线CD是否过定点?若过定点,则求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)若EF,GH为圆O:x2y24的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),求四边形EGFH的面积S的最大值解(1)设圆O的半径为r,AOB,点O到直线l的距离dr,2,解得k.(2)由题意可知O,P,C,D四点在以OP为直径的圆上,设P(t,t4),则该圆的方程为x(xt)yy(t4)0,即x2txy2(t4)y0.C,D在圆O:x2y24上,直线CD的方程为tx(t4)y40,即(xy)t4y40.由得直线CD过定点(1,1)(3)设圆心O到直线EF,GH的距离分别为d1,d2,则dd|OM|23,|EF|2,|GH|2,S|EF|GH|24d4d835,当且仅当4d4d,dd3,即d1d2时取等号,四边形EGFH的面积S的最大值为5.
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