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应用题A组大题保分练1.在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示)，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点(1)若BCa10，求储存区域ABC面积的最大值；(2)若ABAC10，在折线MBCN内选一点D，使DBDCa20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值解：(1)设ABx，则AC ，所以SABCx 5025，当且仅当x2100x2，即x5时取等号，所以SABC取得最大值为25.(2)由DBDC20知点D在以B，C为焦点的椭圆上因为SABC101050，所以要使四边形DBAC的面积最大，只需DBC的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点由BC10得短半轴长为5，所以SDBC的最大值为10550.因此四边形DBAC面积的最大值为100.2.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A，B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64x100)，中间每个桥墩的平均造价为 万元，桥面每1米长的平均造价为万元(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A，B除外)应建多少个桥墩？解：(1)由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价f(x)640100，即f(x)xxx1 380xxx1 380(64x100)(2)由(1)可求f(x)xxx，整理得f(x)x (9x280x64080)，由f(x)0，解得x180，x2(舍)，又当x(64,80)时，f(x)0，所以当x80时，桥的总造价最低，此时桥墩数为17.3如图所示，有两条道路OM与ON，MON60，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3 km.设OAa km，OBb km.(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为 km，到点O的距离PO为 km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由解：(1)OAOBAB3，AB3ab.MON60，由余弦定理，得AB2a2b22abcos 60.(3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a0，b0,3ab0，及ab3ab，a3abb，b3aba，得0a.综上，b，0a.(2)以O为原点，OM为x轴，建立如图所示的直角坐标系PH，PO，点P.假设AB过点P，A(a,0)，B，即B，直线AP方程为y(xa)，即y(xa)将点B代入，得.化简，得6a210a30.a.a.答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，此时a (km)4(2018南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600，故当a90时，b40，从而包装盒子的侧面积S2x(902x)2x(402x)8x2260x，x(0,20)因为S8x2260x8(x16.25)22 112.5，故当x16.25时，纸盒侧面积最大，最大值为2 112.5平方厘米(2)包装盒子的体积V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x，当且仅当ab60时等号成立设f(x)4x3240x23 600x，x(0,30)则f(x)12(x10)(x30)于是当0x10时，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上单调递增；当10x30时，f(x)0，所以f(x)在(10,30)上单调递减因此当x10时，f(x)有最大值f(10)16 000，此时ab60，x10.答：当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米B组大题增分练1(2018常州期末)已知小明(如图中AB所示)身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从M发出，小明在地面上的影子记作AB.(1)小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB扫过的图形面积；(2)若OA3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，OAA1，且AA110米，如图所示t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位：米)，求f(t)的表达式与最小值解： (1) 由题意ABOM，OA3，所以OB6.小明在地面上的身影AB扫过的图形是圆环，其面积为623227(平方米)(2) 经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B0，由(1)知，所以f(t)A0B0OA0，化简得f(t) ，0t10，当t时，f(t)的最小值为.答：f(t) ，0t10，当t(秒)时，f(t)的最小值为(米)2.(2018南通、泰州一调)如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1)当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由解：(1)当EFP时，由条件得EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC，所以四边形MNPE为矩形，此时PNFNPF321 (m)，所以四边形MNPE的面积SPNMN2(m2). (2)法一：设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN266662 62.当且仅当tan ，即tan ，时取“”此时，(*)成立答：当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE的面积最大，最大值为m2. 法二：设BEt m,3t6，则ME6t.因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即 tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN2662.当且仅当(t3)，即t33时取“”. 此时，(*)成立答：当点E距B点3 m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE的面积最大，最大值为(62)m2.3.(2018扬州期末)如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上经测量得，扇形OPQ的圆心角(即POQ)为、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧相切于点S.设POS(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1) 试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围；(2) 试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值解：(1) 因为MN与扇形弧相切于点S，所以OSMN.在RtOSM中，因为OS1，MOS，所以SMtan .在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtan tan，其中.(2) 法一：(基本不等式) 因为0.令ttan 10，则tan (t1)，所以MN.由基本不等式得MN2，当且仅当t，即t2时取“”此时tan ，由于，故.答：当时，MN的长度最小，为2千米法二：(三角函数) MN.因为，所以2，故sin1，所以当sin1，即时，MNmin2.答：当时，MN的长度最小，为2千米4.如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？解：法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy，则C(1,1)设A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，则直线AB方程为1，即bxayab0.因为AB与圆C相切，所以1.化简得ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB .因为0a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42，或ab42(舍去)所以AB2(ab)2(42)22，当且仅当ab2时取等号，所以AB最小值为22，此时ab2.故当A，B两点离道路的交点都为2(百米)时，小道AB最短法二：如图，设圆C与道路1，道路2，AB的切点分别为E，F，D，连结CE，CA，CD，CB，CF.设DCE，则DCF.在RtCDA中，ADtan.在RtCDB中，BDtan.所以ABADBDtantantan.令ttan，0t1，则ABf(t)tt1222，当且仅当t1时取等号所以AB最小值为22，此时A，B两点离两条道路交点的距离是1(1)2.故当A，B两点离道路的交点都为2(百米)时，小道AB最短
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