2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用课时作业.doc

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资源描述
第八节 正弦定理和余弦定理的应用课时作业A组基础对点练1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45,沿点A向北偏东30前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 m D150 m解析:设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在ABC中,BAC60,ACh,AB100,BCh,根据余弦定理得,(h)2h210022h100cos 60,即h250h5 0000,即(h50)(h100)0,即h50,故水柱的高度是50 m.答案:A2如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析:由条件及图可知,ACBA40,又BCD60,所以CBD30,所以DBA10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80.答案:D3如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D m解析:由正弦定理得,AB50,故A,B两点的距离为50 m.答案:A4(2018昆明市检测)在ABC中,已知AB,AC,tanBAC3,则BC边上的高等于()A1 BC. D2解析:因为tanBAC3,所以sinBAC,cosBAC.由余弦定理,得BC2AC2AB22ACABcosBAC522()9,所以BC3,所以SABCABACsinBAC,所以BC边上的高h1,故选A.答案:A5(2018西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处经测量,AB1 040 m,BC500 m,则sinBAC等于_解析:依题意,设乙的速度为x m/s,则甲的速度为x m/s,因为AB1 040,BC500,所以,解得:AC1 260,在ABC中由余弦定理可知cosBAC,所以sinBAC.答案:6如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的A处测得DAC15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得 DBC45,根据以上数据可得cos _.解析:由DAC15,DBC45可得BDA30,DBA135,BDC90(15)3045,由内角和定理可得DCB180(45)4590,根据正弦定理可得,即DB100sin 15100sin(4530)25(1),又,即,得到cos 1.答案:17已知在岛A南偏西38方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?解析:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC0.5x,AC5海里,依题意,BAC1803822120,由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120,所以BC249,BC0.5x7,解得x14.又由正弦定理得sinABC,所以ABC38,又BAD38,所以BCAD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船8如图,在ABC中,ABC90,AB,BC1,P为ABC内一点,BPC90.(1)若PB,求PA;(2)若APB150,求tanPBA.解析:(1)由已知得PBC60,所以PBA30.在PBA中,由余弦定理得PA232cos 30.故PA.(2)设PBA,由已知得PBsin .在PBA中,由正弦定理得,化简得cos 4sin .所以tan ,即tanPBA.B组能力提升练1一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析:如图所示,易知,在ABC中,AB20海里,CAB30,ACB45,根据正弦定理得,解得BC10(海里)答案:A2如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30,沿倾斜角15的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角60,则山高h()A.a米 B米C.a米 Da米解析:在PAB中,PAB15,BPA(90)(90)30,所以,所以PBa,所以PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a(米)答案:A3如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过1 min后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:1.732)()A8.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km解析:因为AB1 000 km,所以BCsin 30(km)所以航线离山顶的高度hsin 75sin(4530)11.4 km.所以山高为1811.46.6(km)答案:B4如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)测量A,C,b测量a,b,C测量A,B,a则一定能确定A,B间距离的所有方案的个数为()A3 B2C1 D0解析:对于,利用内角和定理先求出BAC,再利用正弦定理解出c,对于,直接利用余弦定理cos C即可解出c,对于,先利用内角和定理求出CAB,再利用正弦定理解出c.答案:A5(2018福州市质检)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C处,依次测得塔顶的仰角分别为,.若90,则塔高为_解析:设塔高为h m依题意得,tan ,tan ,tan .因为90,所以tan()tan tan(90)tan 1,所以tan 1,所以1,解得h80,所以塔高为80 m.答案:80 m6(2018遂宁模拟)海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向,且与A相距10海里的C处,沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时解析:设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时,如图,则由已知得ABC中,AC10,AB21x,BC9x,ACB120,由余弦定理得:(21x)2100(9x)22109xcos 120,整理,得36x29x100,解得x或x(舍)所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时答案:7如图,现要在一块半径为1 m,圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设BOP,平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式(2)求S的最大值及相应的角解析:(1)分别过P,Q作PDOB于点D,QEOB于点E,则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m,得PDsin ,ODcos .在RtOEQ中,OEQEPD,MNQPDEODOEcos sin ,SMNPDsin sin cos sin2,.(2)Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin,因为,所以2,sin.当时,Smax(m2)8(2018宜宾模拟)一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方向航行(22)n mile到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长;(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求CAB的大小解析:(1)由题意,在ABC中,ABC1807515120,AB22,BC4,根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC(22)242(22)424,所以AC2. (2)根据正弦定理得,sinBAC,所以CAB45.
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